Die Sinusfunktion: Amplitude, Periode und Verschiebung
In dieser Lektion lernst du die Sinusfunktion f(x) = a · sin(b · x) + c als periodische Funktion kennen und wie die Parameter a, b und c den Graphen verändern. Du berechnest Amplitude und Periode und zeichnest den Graphen ausgehend vom Standardsinus.
- Fach: Mathematik
- Klasse 10
- Thema: Funktionen
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Eine Funktion, die sich ständig wiederholt
Anders als eine Gerade oder eine Parabel läuft die Sinusfunktion nicht immer weiter in eine Richtung, sondern schwingt zwischen einem höchsten und einem niedrigsten Wert hin und her. Sie beschreibt periodische Vorgänge: die Höhe einer Gondel im Riesenrad im Laufe der Fahrt, den Wechsel von Ebbe und Flut, die Spannung im Stromnetz oder die Schwingung einer Gitarrensaite.
Die Grundfunktion f(x) = sin(x) hat den Wertebereich von −1 bis 1 und wiederholt sich alle 360°, wenn man in Grad rechnet, beziehungsweise alle 2 · Pi, wenn man im Bogenmaß rechnet. An der Stelle x = 0 hat sin(x) den Wert 0, steigt bis x = 90° auf den Höchstwert 1, fällt danach bis x = 270° auf den Tiefstwert −1 und kehrt bei x = 360° wieder zum Ausgangswert 0 zurück.
In der Praxis genügt der einfache Sinus selten, meist braucht man eine allgemeinere Form mit mehreren Parametern, um reale Schwingungen zu beschreiben. Diese Parameter verändern die Höhe der Schwingung, wie schnell sie sich wiederholt und auf welcher Höhe sie mittig verläuft, ohne die grundsätzliche Wellenform zu verändern.
Die Parameter a, b und c
In der allgemeinen Form f(x) = a · sin(b · x) + c bestimmt a die Amplitude, also wie weit die Kurve nach oben und unten vom Mittelwert ausschlägt. Ist a = 3, schwingt der Graph zwischen −3 und 3 statt zwischen −1 und 1. Der Parameter c verschiebt den gesamten Graphen nach oben oder unten und legt damit die neue Mittellinie fest, um die die Kurve schwingt.
Der Parameter b beeinflusst die Periode, also die Länge, nach der sich die Kurve wiederholt. Die neue Periode berechnet sich als 360° geteilt durch b. Ist b = 2, wiederholt sich die Kurve schon nach 180° statt nach 360°, die Schwingung wird also gestaucht und läuft schneller ab. Ist b kleiner als 1, wird die Periode länger, die Schwingung läuft langsamer ab.
- a
- Amplitude, maximaler Ausschlag von der Mittellinie
- b
- bestimmt die Periode: Periode = 360°/b
- c
- Verschiebung der Mittellinie nach oben oder unten
| Parameter | Wirkung | Beispiel |
|---|---|---|
| a | Amplitude, Ausschlag von der Mittellinie | a = 3: Schwingung zwischen −3 und 3 |
| b | Periode = 360°/b | b = 2: Periode 180° statt 360° |
| c | Verschiebung der Mittellinie | c = 4: Mittellinie bei y = 4 |
Beispiel 1: Amplitude und Periode bestimmen
Gegeben ist die Funktion f(x) = 4 · sin(3 · x) − 1. Bestimme Amplitude, Periode und Mittellinie.
Gegeben:
- f(x)4 · sin(3 · x) − 1
Gesucht:
Amplitude, Periode, MittellinieLösung:
- Amplitude ablesen: a4
- Periode berechnen: Periode360°b360°3120°
- Mittellinie ablesen: c−1
- Wertebereich bestimmen: Mittellinie ± Amplitude, also von −1 − 4 = −5 bis −1 + 4 = 3
Die Funktion hat die Amplitude 4, die Periode 120° und die Mittellinie bei y = −1. Der Graph schwingt also zwischen −5 und 3 und wiederholt sich alle 120°, dreimal so oft wie der Standardsinus in demselben Winkelbereich von 360°.
Beispiel 2: Funktionswerte der Sinusfunktion berechnen
Berechne die Funktionswerte von f(x) = 2 · sin(x) für x = 0°, 90°, 180° und 270°.
Gegeben:
- f(x)2 · sin(x)
Gesucht:
Funktionswerte an vier StellenLösung:
- sin(0°)0, also f(0°)2 · 00
- sin(90°)1, also f(90°)2 · 12
- sin(180°)0, also f(180°)2 · 00
- sin(270°)−1, also f(270°)2 · (−1)−2
Die Wertetabelle zeigt den typischen Wellenverlauf: Start bei 0, Anstieg zum Höchstwert 2, Rückkehr zu 0, Abstieg zum Tiefstwert −2. Diese vier markanten Punkte reichen oft schon aus, um den Grundverlauf einer Sinuskurve grob zu skizzieren, bevor man weitere Zwischenwerte berechnet.
Typische Fehler
Ein häufiger Fehler ist, den Parameter b direkt als neue Periode misszuverstehen. Die Periode berechnet sich aber als 360° geteilt durch b, nicht als b selbst. Bei b = 2 verkürzt sich die Periode auf 180°, viele Schüler schreiben hier fälschlicherweise 720° oder verwechseln, ob die Periode länger oder kürzer wird.
Ein zweiter Fehler ist, Amplitude und Mittellinie zu verwechseln oder den Wertebereich falsch zu berechnen. Bei f(x) = a · sin(b · x) + c liegt der Wertebereich zwischen c − a und c + a, nicht zwischen −a und a, sobald c ungleich 0 ist. Wer c vergisst, verschiebt den gesamten berechneten Bereich um c nach oben oder unten.
Ein dritter Fehler ist, beim Rechnen mit dem Taschenrechner den falschen Winkelmodus eingestellt zu haben. Rechnet man in Grad, muss der Taschenrechner im Grad-Modus (DEG) stehen, nicht im Bogenmaß-Modus (RAD), sonst liefert er für sin(90°) einen völlig falschen Wert. Diese Einstellung solltest du vor jeder Rechnung überprüfen.
Tipps für die Klassenarbeit
Zeichne bei jeder Aufgabe zuerst die Mittellinie bei y = c als gestrichelte Hilfslinie ein, denn um sie herum verläuft die gesamte Schwingung symmetrisch. Trage danach die Extremwerte bei c + a und c − a als weitere Hilfslinien ein, bevor du den eigentlichen Kurvenverlauf zeichnest.
Berechne die Periode immer zuerst, bevor du die x-Achse beschriftest, denn die Periode bestimmt, wie du die x-Achse sinnvoll einteilst. Teile die berechnete Periode in vier gleiche Teile, das entspricht den markanten Punkten Nulldurchgang, Maximum, Nulldurchgang, Minimum.
Kontrolliere am Ende immer den Taschenrechner-Modus (Grad oder Bogenmaß), bevor du Funktionswerte berechnest. Ein falsch eingestellter Modus ist einer der häufigsten Punkteverluste bei Aufgaben zur Sinusfunktion, obwohl der Rechenweg selbst richtig war.
Jetzt bist du dran!
Wie groß ist die Periode der Funktion f(x) = sin(4 · x)?
Das Wichtigste in Kürze
- Die Sinusfunktion ist periodisch, der Standardsinus wiederholt sich alle 360° und schwingt zwischen −1 und 1.
- In f(x) = a · sin(b · x) + c bestimmt a die Amplitude, b die Periode (360°/b) und c die Verschiebung der Mittellinie.
- Der Wertebereich liegt zwischen c − a und c + a.
- Die markanten Punkte Nulldurchgang, Maximum, Nulldurchgang, Minimum teilen jede Periode in vier gleiche Abschnitte.
- Typischer Fehler: den Parameter b mit der Periode selbst verwechseln, statt 360° durch b zu teilen.
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Häufige Fragen zu Die Sinusfunktion: Amplitude, Periode und Verschiebung
- Was ist die Amplitude einer Sinusfunktion?
- Die Amplitude ist der maximale Ausschlag der Kurve von ihrer Mittellinie nach oben oder unten. Bei f(x) = a · sin(b · x) + c entspricht die Amplitude dem Betrag von a. Eine größere Amplitude bedeutet eine höher schwingende Kurve, eine kleinere Amplitude eine flachere Schwingung um dieselbe Mittellinie.
- Wie berechnet man die Periode einer Sinusfunktion?
- Die Periode berechnet sich mit der Formel Periode = 360°/b, wenn man in Grad rechnet. Je größer b ist, desto kürzer wird die Periode, das heißt die Funktion wiederholt sich schneller. Bei b = 1 entspricht die Periode dem Standardwert 360° des einfachen Sinus.
- Was bewirkt der Parameter c in der Sinusfunktion?
- Der Parameter c verschiebt den gesamten Graphen entlang der y-Achse nach oben (bei positivem c) oder nach unten (bei negativem c). Er legt die neue Mittellinie fest, um die die Kurve symmetrisch schwingt. Der Wertebereich der Funktion liegt dann zwischen c − a und c + a.
- In welcher Klasse lernt man die Sinusfunktion?
- Die Sinusfunktion mit ihren Parametern wird meist in Klasse 10 eingeführt, nach der Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck. Voraussetzung sind sichere Kenntnisse in Sinus, Kosinus und Tangens sowie im Umgang mit Funktionsgraphen. In der Oberstufe werden Ableitung und Integration von Sinusfunktionen behandelt.
- Was ist der Unterschied zwischen Sinus und Kosinus?
- Sinus und Kosinus haben denselben Kurvenverlauf, sind aber um 90° zueinander verschoben. Der Kosinus startet bei x = 0 auf seinem Höchstwert 1, während der Sinus bei x = 0 den Wert 0 hat. Man kann jede Kosinusfunktion als verschobene Sinusfunktion schreiben und umgekehrt.
- Warum wird die Sinusfunktion für Schwingungen verwendet?
- Die Sinusfunktion beschreibt jede gleichmäßige, sich wiederholende Bewegung sehr genau, weil sie selbst periodisch ist und stetig zwischen einem Höchst- und einem Tiefstwert wechselt. Deshalb wird sie in der Physik für Schallwellen, Lichtwellen, Wechselstrom und mechanische Schwingungen wie Pendel oder Federn verwendet.
- Wie liest man die Periode direkt am Graphen ab?
- Du suchst zwei benachbarte Stellen, an denen die Kurve denselben Wert hat und sich in dieselbe Richtung bewegt, zum Beispiel zwei aufeinanderfolgende Höchstpunkte oder zwei aufeinanderfolgende Nulldurchgänge mit ansteigender Kurve. Der Abstand zwischen diesen beiden Stellen auf der x-Achse ist die Periode.
- Kann die Amplitude einer Sinusfunktion negativ sein?
- Der Parameter a kann rechnerisch negativ sein, dann wird die Kurve zusätzlich an der Mittellinie gespiegelt. Die Amplitude selbst, also der tatsächliche Ausschlag, ist aber immer der Betrag von a und damit nie negativ, denn ein Ausschlag ist eine Streckenlänge und hat kein Vorzeichen.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.