Normalverteilung
In dieser Lektion lernst du die Normalverteilung kennen, die wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Du verstehst, warum ihre Dichtefunktion eine Glockenkurve bildet, wie du Wahrscheinlichkeiten durch Standardisieren berechnest und was die Sigma-Regeln über die Streuung der Werte aussagen.
- Fach: Mathematik
- Klasse 12
- Thema: Stochastik
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Schwer
Die Glockenkurve verstehen
Die Normalverteilung beschreibt stetige Zufallsgrößen, die um einen Mittelwert herum streuen, etwa Körpergrößen, Messfehler oder Füllmengen von Flaschen. Ihre Dichtefunktion hat die charakteristische Form einer Glockenkurve: symmetrisch, mit dem höchsten Punkt genau beim Erwartungswert und abfallenden Flanken nach beiden Seiten.
Zwei Kennzahlen beschreiben eine Normalverteilung vollständig: der Erwartungswert, der die Lage der Kurve festlegt, und die Standardabweichung, die die Breite der Kurve bestimmt. Eine kleine Standardabweichung ergibt eine schmale, hohe Kurve, eine große Standardabweichung eine breite, flache Kurve.
Im Alltag begegnet dir die Normalverteilung überall dort, wo viele kleine, unabhängige Einflüsse zusammenwirken: Die Körpergröße erwachsener Menschen, Messfehler bei physikalischen Experimenten oder die Füllmenge von Getränkeflaschen einer Abfüllanlage folgen näherungsweise dieser Verteilung.
Ein typischer Fehler ist, die Normalverteilung mit der Binomialverteilung zu verwechseln. Die Binomialverteilung beschreibt eine diskrete, also zählbare Anzahl von Treffern, die Normalverteilung dagegen eine stetige Größe, die jeden Wert in einem Intervall annehmen kann, etwa eine Länge oder ein Gewicht.
Standardisieren und die Sigma-Regeln
Um Wahrscheinlichkeiten bei einer Normalverteilung zu berechnen, wird der gesuchte Wert zunächst standardisiert, also in die sogenannte Standardnormalverteilung mit Erwartungswert null und Standardabweichung eins umgerechnet. Der standardisierte Wert heißt z-Wert und lässt sich anschließend in einer Tabelle nachschlagen oder mit dem Taschenrechner berechnen.
Die Sigma-Regeln geben einen schnellen Überblick, wie sich die Werte um den Erwartungswert verteilen. Sie gelten für jede Normalverteilung, unabhängig von ihrem konkreten Erwartungswert und ihrer Standardabweichung, und sind deshalb ein nützliches Werkzeug zur Plausibilitätskontrolle.
- x
- der betrachtete Wert der Zufallsgröße
- μ
- Erwartungswert der Normalverteilung
- σ
- Standardabweichung der Normalverteilung
| Bereich | Breite | Anteil der Werte |
|---|---|---|
| μ plus/minus 1σ | 2σ | rund 68,3 Prozent |
| μ plus/minus 2σ | 4σ | rund 95,4 Prozent |
| μ plus/minus 3σ | 6σ | rund 99,7 Prozent |
Wahrscheinlichkeit mit Standardisierung berechnen
Die Füllmenge einer Flasche ist normalverteilt mit Erwartungswert 500 ml und Standardabweichung 4 ml. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche weniger als 495 ml enthält.
Gegeben:
- μ500 ml
- σ4 ml
- gesucht: P(X < 495)
Gesucht:
Wahrscheinlichkeit für eine Füllmenge unter 495 mlLösung:
- Werte notieren: Erwartungswert 500 ml, Standardabweichung 4 ml.
- Standardisieren: z(495 − 500) durch 4−1,25.
- Wert der Standardnormalverteilung für z = −1,25 nachschlagen oder mit dem Rechner bestimmen.
- Phi(−1,25) ergibt rund 0,106.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Flasche weniger als 495 ml enthält, beträgt rund 10,6 Prozent. Da 495 ml mehr als eine Standardabweichung unter dem Erwartungswert liegt, ist ein solcher Wert eher selten, aber nicht ungewöhnlich.
Sigma-Regeln zur Plausibilitätskontrolle nutzen
Bei derselben Abfüllanlage mit μ = 500 ml und σ = 4 ml: In welchem Bereich liegen rund 95,4 Prozent aller Füllmengen?
Gegeben:
- μ500 ml
- σ4 ml
Gesucht:
Bereich für rund 95,4 Prozent der FüllmengenLösung:
- Die Sigma-Regel für 95,4 Prozent betrifft den Bereich μ plus/minus 2σ.
- 2σ berechnen: 2 · 4 ml8 ml.
- Untere Grenze berechnen: 500 ml − 8 ml492 ml.
- Obere Grenze berechnen: 500 ml + 8 ml508 ml.
Rund 95,4 Prozent aller Flaschen enthalten zwischen 492 ml und 508 ml. Dieser Bereich lässt sich ohne Tabelle allein aus den Sigma-Regeln bestimmen und eignet sich gut, um ein Ergebnis grob zu überschlagen.
Typische Fehler
Ein häufiger Fehler ist, beim Standardisieren die Differenz x minus μ und die Division durch σ in der falschen Reihenfolge oder mit einem Vorzeichenfehler durchzuführen. Kontrolliere deshalb sorgfältig, ob der z-Wert das richtige Vorzeichen hat: negativ, wenn x unterhalb des Erwartungswerts liegt.
Ein zweiter Fehler ist, die Sigma-Regeln unabhängig von der jeweiligen Standardabweichung anzuwenden, ohne σ vorher korrekt in die Bereichsgrenzen einzurechnen. Die Prozentzahlen der Sigma-Regeln gelten immer für Vielfache von σ, nicht für feste Zahlenwerte.
Ein dritter Fehler ist, die Normalverteilung für Zählgrößen wie eine Trefferanzahl zu verwenden, ohne zu prüfen, ob eine Näherung durch die Normalverteilung überhaupt zulässig ist. Bei kleinen Stichprobenumfängen liefert die Binomialverteilung genauere Ergebnisse.
Tipps fürs Abitur
Notiere dir bei jeder Aufgabe zuerst Erwartungswert und Standardabweichung explizit, bevor du in die Rechnung einsteigst. Das verhindert, dass du versehentlich mit den falschen Zahlenwerten standardisierst.
Nutze die Sigma-Regeln als Kontrolle für dein Ergebnis: Liegt dein berechneter Wert plausibel zu den bekannten Prozentzahlen für 1, 2 und 3 Sigma, ist deine Rechnung wahrscheinlich richtig. Weicht das Ergebnis stark ab, lohnt sich eine zweite Kontrolle der Rechnung.
Jetzt bist du dran
Eine Normalverteilung hat μ = 50 und σ = 5. Berechne den z-Wert für x = 60.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Normalverteilung beschreibt stetige Größen mit einer symmetrischen Glockenkurve.
- Erwartungswert und Standardabweichung legen Lage und Breite der Kurve fest.
- Mit z = (x − μ)/σ wird auf die Standardnormalverteilung umgerechnet.
- Die Sigma-Regeln geben die Anteile 68, 95 und 99,7 Prozent für 1, 2 und 3 Sigma um den Erwartungswert an.
- Bei großem Stichprobenumfang lässt sich die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern.
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Häufige Fragen zu Normalverteilung
- Was ist die Normalverteilung?
- Die Normalverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einer symmetrischen, glockenförmigen Dichtefunktion. Sie beschreibt Größen, die um einen Mittelwert streuen, etwa Körpergrößen, Messfehler oder Füllmengen. Bestimmt wird sie vollständig durch Erwartungswert und Standardabweichung.
- Was ist der Unterschied zwischen Normalverteilung und Binomialverteilung?
- Die Binomialverteilung beschreibt eine diskrete, zählbare Anzahl von Treffern bei einer festen Anzahl von Versuchen. Die Normalverteilung beschreibt dagegen eine stetige Größe, die jeden beliebigen Wert in einem Intervall annehmen kann. Bei großem Stichprobenumfang lässt sich die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern.
- Wie berechne ich eine Wahrscheinlichkeit mit der Normalverteilung?
- Du standardisierst den gesuchten Wert mit der Formel z = (x − μ)/σ und liest den zugehörigen Wert in der Tabelle der Standardnormalverteilung ab oder berechnest ihn mit dem Taschenrechner. Für Bereiche zwischen zwei Werten bildest du die Differenz der beiden zugehörigen Tabellenwerte.
- Was besagen die Sigma-Regeln?
- Die Sigma-Regeln geben an, wie viel Prozent der Werte in bestimmten Bereichen um den Erwartungswert liegen: rund 68,3 Prozent im Bereich von einer Standardabweichung, rund 95,4 Prozent im Bereich von zwei Standardabweichungen und rund 99,7 Prozent im Bereich von drei Standardabweichungen.
- In welcher Klasse lernt man die Normalverteilung?
- Die Normalverteilung wird meist in der zwölften Klasse im Rahmen der Stochastik behandelt, nach der Binomialverteilung. Sie ist eine Grundlage für weiterführende Themen wie den Hypothesentest und wird in vielen Bundesländern auch im Leistungskurs vertieft.
- Warum heißt μ Erwartungswert und nicht einfach Mittelwert?
- Der Erwartungswert beschreibt den theoretischen Durchschnittswert der Verteilung, also den Wert, der sich bei unendlich vielen Wiederholungen im Mittel ergeben würde. Der Mittelwert einer konkreten Stichprobe ist dagegen nur eine Schätzung dieses theoretischen Wertes und kann leicht davon abweichen.
- Was ist die Standardnormalverteilung?
- Die Standardnormalverteilung ist die spezielle Normalverteilung mit Erwartungswert null und Standardabweichung eins. Jede beliebige Normalverteilung lässt sich durch Standardisieren, also durch die Formel z = (x − μ)/σ, auf diese Standardform zurückführen, was das Nachschlagen in Tabellen erst ermöglicht.
- Kann die Normalverteilung negative Werte liefern?
- Die Zufallsgröße selbst kann je nach Kontext auch negative Werte annehmen, etwa bei Temperaturabweichungen. Die Dichtefunktion der Normalverteilung ist zwar für jeden reellen Wert definiert, wird aber für sehr weit vom Erwartungswert entfernte Werte extrem klein, ohne jemals genau null zu erreichen.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.