Boxplot: die fünf Kennwerte einer Datenreihe darstellen
In dieser Lektion lernst du, wie ein Boxplot aufgebaut ist und wie du ihn aus einer Datenreihe erstellst. Du berechnest Minimum, Maximum, Median sowie unteres und oberes Quartil und lernst, wie man an der Box und den Antennen die Streuung von Daten ablesen kann.
- Fach: Mathematik
- Klasse 8
- Thema: Stochastik
- Dauer: 18 Min
- Niveau: Mittel
Was zeigt ein Boxplot?
Ein Boxplot, auch Kastengrafik genannt, stellt eine Datenreihe mit fünf Kennwerten dar: dem Minimum, dem unteren Quartil, dem Median, dem oberen Quartil und dem Maximum. Anders als ein Balkendiagramm zeigt der Boxplot nicht jeden einzelnen Wert, sondern fasst die Verteilung der Daten kompakt zusammen und macht auf einen Blick sichtbar, wie stark die Werte streuen.
Der Boxplot besteht aus einer Box, die vom unteren bis zum oberen Quartil reicht und durch einen senkrechten Strich beim Median geteilt wird, sowie zwei Antennen, die von der Box bis zum Minimum und bis zum Maximum reichen. In dieser Box liegen genau die mittleren 50 Prozent aller Datenwerte, was den Boxplot besonders nützlich macht, um Ausreißer und Streuung zu erkennen.
Boxplots werden verwendet, um Datenreihen zu vergleichen, etwa die Notenverteilung zweier Klassen, Gehälter in verschiedenen Berufsgruppen oder Wachstumsdaten von Pflanzen unter verschiedenen Bedingungen. Wer mehrere Boxplots nebeneinander betrachtet, erkennt sofort, welche Gruppe im Durchschnitt besser abschneidet und welche stärker streut.
Die fünf Kennwerte bestimmen
Um einen Boxplot zu erstellen, sortierst du zuerst alle Datenwerte der Größe nach. Das Minimum ist dann der kleinste, das Maximum der größte Wert. Der Median ist der Wert in der Mitte der sortierten Liste: Bei einer ungeraden Anzahl an Werten ist es der mittlere Wert, bei einer geraden Anzahl der Mittelwert der beiden mittleren Werte.
Das untere Quartil ist der Median der unteren Hälfte der Daten, also der Wert, unter dem 25 Prozent aller Datenpunkte liegen. Das obere Quartil ist der Median der oberen Hälfte, unter ihm liegen 75 Prozent aller Werte. Der Abstand zwischen oberem und unterem Quartil heißt Quartilsabstand und beschreibt, wie stark die mittlere Hälfte der Daten streut.
| Kennwert | Bedeutung | Lage im Boxplot |
|---|---|---|
| Minimum | kleinster Wert der Datenreihe | Ende der linken Antenne |
| Unteres Quartil | Median der unteren Hälfte | linker Rand der Box |
| Median | mittlerer Wert der gesamten Reihe | Strich in der Box |
| Oberes Quartil | Median der oberen Hälfte | rechter Rand der Box |
| Maximum | größter Wert der Datenreihe | Ende der rechten Antenne |
Beispiel 1: Boxplot aus Testpunkten erstellen
In einem Test erreichen neun Schüler die Punktzahlen 4, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15. Bestimme die fünf Kennwerte für den Boxplot.
Gegeben:
- sortierte Werte: 4, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15
- Anzahl der Werte: 9
Gesucht:
Minimum, unteres Quartil, Median, oberes Quartil, MaximumLösung:
- Minimum und Maximum ablesen: kleinster Wert 4, größter Wert 15.
- Median bestimmen: Bei neun Werten ist der fünfte Wert der mittlere: 9.
- Untere Hälfte bilden: 4, 6, 7, 8 – Median dieser vier Werte ist (6 + 7)/2 = 6,5.
- Obere Hälfte bilden: 10, 12, 14, 15 – Median dieser vier Werte ist (12 + 14)/2 = 13.
Die fünf Kennwerte lauten: Minimum 4, unteres Quartil 6,5, Median 9, oberes Quartil 13, Maximum 15. Die Box reicht also von 6,5 bis 13 mit einem Strich bei 9, die Antennen reichen von 4 bis 6,5 und von 13 bis 15. Der Quartilsabstand beträgt 13 − 6,5 = 6,5 und zeigt, wie stark die mittlere Hälfte der Punktzahlen streut.
Beispiel 2: Zwei Boxplots vergleichen
Klasse A hat einen Median von 7 Punkten und eine Box von 5 bis 9, Klasse B hat einen Median von 7 Punkten und eine Box von 3 bis 12. Was sagt das über die beiden Klassen aus?
Gegeben:
- Klasse A: Median 7, Box von 5 bis 9
- Klasse B: Median 7, Box von 3 bis 12
Gesucht:
Vergleich der StreuungLösung:
- Mediane vergleichen: Beide Klassen haben denselben mittleren Wert von 7 Punkten.
- Quartilsabstand Klasse A berechnen: 9 − 54
- Quartilsabstand Klasse B berechnen: 12 − 39
- Streuung vergleichen: Klasse B hat einen deutlich größeren Quartilsabstand als Klasse A.
Obwohl beide Klassen im Durchschnitt gleich gut abschneiden, streuen die Ergebnisse in Klasse B viel stärker als in Klasse A. In Klasse A liegen die mittleren 50 Prozent der Punktzahlen eng beieinander, in Klasse B sind sie über einen deutlich größeren Bereich verteilt – ein Hinweis auf größere Leistungsunterschiede innerhalb der Klasse.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler ist, den Median in die Berechnung der Quartile mit einzubeziehen, obwohl er bei einer ungeraden Anzahl an Werten eigentlich zur Mitte gehört. Je nach verwendetem Verfahren wird der Median bei der Aufteilung in obere und untere Hälfte entweder ausgeschlossen oder beiden Hälften zugeordnet – in der Schule gilt meist die Regel, ihn bei ungerader Anzahl aus beiden Hälften auszuschließen.
Ein zweiter Fehler ist, die Antennen mit den Quartilen zu verwechseln. Die Antennen reichen bis zum Minimum und Maximum, also bis zu den Extremwerten, während die Box selbst durch das untere und obere Quartil begrenzt wird. Wer beides vertauscht, liest die Streuung der mittleren Hälfte falsch ab.
Ein dritter Fehler entsteht beim Vergleichen mehrerer Boxplots: Ein größerer Median bedeutet nicht automatisch eine größere Streuung. Median und Quartilsabstand beschreiben unterschiedliche Eigenschaften der Daten, die Lage und die Streuung, und müssen getrennt betrachtet werden.
Tipps für die Klassenarbeit
Sortiere die Datenreihe immer zuerst vollständig, bevor du mit der Berechnung beginnst – ein unsortierter Wert führt sofort zu einem falschen Median oder Quartil. Zähle anschließend genau ab, wie viele Werte insgesamt vorliegen, um zu wissen, ob der Median ein einzelner Wert oder der Mittelwert zweier Werte ist.
Zeichne den Boxplot maßstabsgetreu auf einem Zahlenstrahl, dann fallen dir Fehler bei der Reihenfolge der fünf Kennwerte sofort auf: Minimum muss stets links vom unteren Quartil liegen, das untere Quartil links vom Median, und so weiter bis zum Maximum ganz rechts.
Beim Vergleich mehrerer Boxplots achte getrennt auf zwei Fragen: Wo liegt der Median, also wie gut ist die Gruppe im Schnitt, und wie breit ist die Box beziehungsweise die gesamte Spannweite, also wie stark streuen die Werte. Beide Fragen zusammen ergeben ein vollständiges Bild der Datenreihe.
Jetzt bist du dran!
Bestimme den Median der Datenreihe 3, 5, 8, 9, 20.
Das Wichtigste in Kürze
- Ein Boxplot zeigt fünf Kennwerte: Minimum, unteres Quartil, Median, oberes Quartil und Maximum.
- Die Box enthält die mittleren 50 Prozent der Daten, die Antennen reichen bis zu den Extremwerten.
- Für Median und Quartile werden die Daten zuerst sortiert und dann in Hälften geteilt.
- Der Quartilsabstand zeigt, wie stark die mittlere Hälfte der Daten streut.
- Typischer Fehler: Antennen und Quartile verwechseln. Die Antennen zeigen Minimum und Maximum, nicht die Quartile.
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Häufige Fragen zu Boxplot: die fünf Kennwerte einer Datenreihe darstellen
- Was ist ein Boxplot?
- Ein Boxplot ist eine grafische Darstellung, die eine Datenreihe mit fünf Kennwerten zusammenfasst: Minimum, unteres Quartil, Median, oberes Quartil und Maximum. Die Box zeigt die mittleren 50 Prozent der Daten, die Antennen reichen bis zu den Extremwerten.
- Wie berechnet man die Quartile?
- Man sortiert die Daten zuerst der Größe nach und teilt sie beim Median in eine untere und eine obere Hälfte. Das untere Quartil ist der Median der unteren Hälfte, das obere Quartil ist der Median der oberen Hälfte. Bei einer geraden Anzahl an Werten in einer Hälfte wird der Mittelwert der beiden mittleren Werte gebildet.
- Was zeigt die Box eines Boxplots?
- Die Box reicht vom unteren bis zum oberen Quartil und enthält damit genau die mittleren 50 Prozent aller Datenwerte. Ein Strich innerhalb der Box markiert den Median. Je breiter die Box, desto stärker streuen die mittleren Werte der Datenreihe.
- Was ist der Unterschied zwischen Median und Mittelwert?
- Der Median ist der mittlere Wert einer sortierten Datenreihe und wird von Ausreißern kaum beeinflusst. Der Mittelwert wird dagegen aus der Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl berechnet und reagiert stark auf einzelne sehr große oder sehr kleine Werte. Ein Boxplot verwendet deshalb den Median statt des Mittelwerts.
- In welcher Klasse lernt man Boxplots?
- Boxplots werden meist in Klasse 8 im Rahmen der Statistik eingeführt, nachdem Median und arithmetisches Mittel bekannt sind. Sie bereiten auf spätere Themen der Datenauswertung vor, etwa den Vergleich von Verteilungen oder die Erkennung von Ausreißern in größeren Datensätzen.
- Wie erkennt man Ausreißer in einem Boxplot?
- Werte, die deutlich außerhalb der Antennen liegen, gelten häufig als Ausreißer und werden manchmal als einzelne Punkte zusätzlich zum Boxplot eingezeichnet. In der Schule reicht es meist, Minimum und Maximum als Enden der Antennen zu betrachten, ohne eine strenge Ausreißerdefinition anzuwenden.
- Was sagt ein breiter Quartilsabstand aus?
- Ein breiter Quartilsabstand bedeutet, dass die mittleren 50 Prozent der Datenwerte weit auseinanderliegen, die Daten also stark streuen. Ein schmaler Quartilsabstand zeigt dagegen, dass sich die mittleren Werte eng um den Median gruppieren, die Gruppe also einheitlicher ist.
- Kann man mehrere Boxplots miteinander vergleichen?
- Ja, das ist einer der Hauptgründe für die Verwendung von Boxplots. Zeichnet man mehrere Boxplots nebeneinander, lassen sich Median und Streuung verschiedener Gruppen direkt vergleichen, etwa die Notenverteilung zweier Klassen oder Messwerte aus unterschiedlichen Versuchsbedingungen.
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