Mittelwert, Median und Spannweite

Wenn du die Noten einer Klassenarbeit oder die Temperaturen einer Woche vor dir hast, willst du oft wissen: Wie ist es im Großen und Ganzen gelaufen? Dafür gibt es Kennzahlen. Der Mittelwert, auch arithmetisches Mittel oder Durchschnitt genannt, verteilt die Summe aller Werte gleichmäßig auf alle Werte. Er sagt, wie groß jeder Wert wäre, wenn alle gleich groß wären. Haben drei Freunde 2, 4 und 9 Murmeln, hätte bei gerechter Verteilung jeder 5.

Der Median, auch Zentralwert genannt, ist der Wert in der Mitte, wenn du die Daten der Größe nach ordnest. Bei einer ungeraden Anzahl ist es genau der mittlere Wert, bei einer geraden Anzahl der Mittelwert der beiden mittleren. Die Hälfte der Werte liegt also darunter, die andere Hälfte darüber. Die Spannweite ist der Abstand zwischen dem größten und dem kleinsten Wert und zeigt, wie weit die Daten streuen.

Welche Kennzahl sinnvoller ist, hängt von den Daten ab. Liegen die Werte gleichmäßig verteilt, sind Mittelwert und Median fast gleich, und der Mittelwert ist die übliche Wahl. Gibt es einzelne extreme Werte, beschreibt der Median die typische Situation besser. Die Spannweite ergänzt beide: Zwei Klassen können denselben Notenschnitt haben, aber in der einen liegen alle Noten zwischen 2 und 3, in der anderen zwischen 1 und 6.

Ein typischer Fehler: Den Median aus der ungeordneten Liste abzulesen. Er ist nur dann der mittlere Wert, wenn die Liste sortiert ist. Außerdem lohnt der Blick auf Ausreißer: Verdient einer in einer Gruppe extrem viel, zieht er den Mittelwert stark nach oben, den Median aber kaum. Deshalb wird bei Einkommen oft der Median angegeben. Ein Beispiel: Vier Personen verdienen je 2000 € im Monat, eine fünfte 12 000 €. Der Mittelwert liegt dann bei 4000 € und damit weit über dem, was vier von fünf Personen tatsächlich verdienen. Der Median bleibt bei 2000 € und beschreibt die typische Lage deutlich besser.

Der häufigste Fehler beim Mittelwert ist, einen Wert zu vergessen oder doppelt zu zählen. Zähle die Anzahl n immer separat nach, bevor du teilst, gerade bei langen Datenreihen.

Beim Median wird oft vergessen zu sortieren, oder es werden bei gerader Anzahl die falschen beiden Werte gemittelt. Zähle bei gerader Anzahl n von beiden Seiten gleich weit zur Mitte, um die richtigen zwei Werte zu finden.

Ein weiterer Fehler ist, Mittelwert und Median als austauschbar zu behandeln. Bei Daten mit Ausreißern liefern beide sehr unterschiedliche Aussagen, und nur der Zusammenhang mit der Spannweite zeigt, wie verlässlich eine der beiden Kennzahlen ist.

In Wetterberichten liest du oft die Durchschnittstemperatur eines Monats, das ist ein klassischer Mittelwert. Bei Notenschnitten in der Schule wird ebenfalls der Mittelwert verwendet, obwohl auch hier einzelne sehr schlechte Noten den Schnitt stark verschlechtern können.

In Nachrichten über Gehälter, Immobilienpreise oder Vermögen wird dagegen fast immer der Median genannt, weil wenige extrem reiche Personen den Mittelwert sonst unrealistisch hoch erscheinen lassen würden. Wenn du also liest „Median-Einkommen“, weißt du jetzt, warum diese Kennzahl gewählt wurde.