Lineare Regression Regressionsgerade berechnen: Formel und Beispiele
Lineare Regression Regressionsgerade ist das Verfahren, mit dem du die beste Gerade durch eine Punktwolke findest. Du lernst die Methode der kleinsten Quadrate, berechnest Steigung und Achsenabschnitt Schritt für Schritt und deutest das Ergebnis. Zwei Beispiele und fünf Aufgaben helfen beim Üben.
- Fach: Mathematik
- Klasse 12
- Thema: Stochastik
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Lineare Regression Regressionsgerade: Die beste Gerade durch Messwerte
Bei der linearen Regression Regressionsgerade suchst du die eine Gerade, die eine Punktwolke aus Messwerten am besten beschreibt. Diese Ausgleichsgerade hat die Gleichung y = a + b · x, wobei b die Steigung und a der Achsenabschnitt ist. Mit ihr kannst du Werte vorhersagen, die nicht gemessen wurden.
Messwerte liegen fast nie exakt auf einer Geraden. Wenn du Temperatur und Eisverkauf, Lernzeit und Punktzahl oder Alter und Körpergröße in ein Streudiagramm einträgst, entsteht eine Wolke. Das Auge sieht einen Trend, aber es gibt viele Geraden, die ungefähr passen. Die Regressionsgerade ist die eine, die nach einem klaren Kriterium am besten passt.
Das Kriterium heißt Methode der kleinsten Quadrate. Für jeden Messpunkt gibt es einen senkrechten Abstand zur Geraden, genannt Residuum. Du quadrierst diese Abstände und addierst sie. Die Regressionsgerade ist diejenige, bei der diese Summe so klein wie möglich ist. Quadrieren sorgt dafür, dass positive und negative Abweichungen sich nicht aufheben und große Ausreißer stärker zählen.
| Begriff | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
| Streudiagramm | Punkte aus Messwertpaaren | Temperatur und Eisverkauf |
| Regressionsgerade | beste Gerade nach kleinsten Quadraten | y = 2,5x − 6 |
| Residuum | senkrechter Abstand Punkt–Gerade | +1 oder −1,5 |
| Korrelation r | Maß für den linearen Zusammenhang | r nahe 1 ist stark |
Lineare Regression Regressionsgerade berechnen: die Formeln
Die Steigung b berechnest du aus den Abweichungen von den Mittelwerten. Du bildest für jeden Punkt das Produkt (x − x̄) · (y − ȳ), addierst alle Produkte und teilst durch die Summe der Quadrate (x − x̄)². Ein positives b bedeutet, dass y mit x im Mittel zunimmt, ein negatives, dass y abnimmt.
Den Achsenabschnitt a erhältst du aus der Bedingung, dass die Gerade durch den Schwerpunkt (x̄ | ȳ) geht: a = ȳ − b · x̄. Damit ist die Gerade festgelegt. Zur Kontrolle summierst du die Residuen: Bei der Regressionsgeraden ergibt sich immer genau null.
Der Korrelationskoeffizient r misst, wie eng die Punkte an der Geraden liegen. Er liegt zwischen −1 und 1. Werte nahe 1 oder −1 bedeuten einen starken linearen Zusammenhang, Werte nahe 0 keinen linearen Zusammenhang. Das Quadrat von r heißt Bestimmtheitsmaß und sagt, welcher Anteil der Streuung durch die Gerade erklärt wird.
- b
- Steigung der Regressionsgeraden
- a
- Achsenabschnitt mit a = ȳ − b · x̄
- x
- Messwerte der unabhängigen Größe, x̄ ihr Mittelwert
- y
- Messwerte der abhängigen Größe, ȳ ihr Mittelwert
Beispiel 1: Regressionsgerade aus fünf Messwerten bestimmen
An fünf Tagen wurden Temperatur x (in Grad Celsius) und verkaufte Eiskugeln y (in Hundert) notiert: (10 | 20), (15 | 30), (20 | 45), (25 | 55), (30 | 70). Bestimme die Regressionsgerade.
Gegeben:
- x: 10, 15, 20, 25, 30
- y: 20, 30, 45, 55, 70
Gesucht:
Gleichung ya + b · xLösung:
- Mittelwerte: x̄100 : 520 und ȳ220 : 544.
- Abweichungen: x − x̄ = −10, −5, 0, 5, 10 und y − ȳ = −24, −14, 1, 11, 26. Produkte: 240, 70, 0, 55, 260, Summe 625. Quadrate der x-Abweichungen: 100, 25, 0, 25, 100, Summe 250.
- Steigung: b625 : 2502,5.
- Achsenabschnitt: a44 − 2,5 · 2044 − 50−6.
Die Regressionsgerade lautet y = 2,5x − 6. Pro Grad Temperaturanstieg steigt der Verkauf im Mittel um 2,5 Hundert Kugeln. Die Gerade geht durch den Schwerpunkt (20 | 44).
Beispiel 2: Prognose und Abweichungen bewerten
Nutze die Gerade y = 2,5x − 6 aus Beispiel 1. Wie viele Kugeln werden bei 22 Grad erwartet, und wie groß ist die Summe der quadrierten Abweichungen aller fünf Punkte?
Gegeben:
- Gerade y2,5x − 6
- x22 für die Prognose
Gesucht:
Prognose und Summe der AbweichungsquadrateLösung:
- Prognose: y(22) = 2,5 · 22 − 6 = 55 − 6 = 49. Es werden also etwa 49 Hundert Kugeln erwartet.
- Geradenwerte an den Messstellen: 19, 31,5, 44, 56,5 und 69.
- Abweichungen (Messwert minus Geradenwert): 1, −1,5, 1, −1,5, 1. Ihre Summe ist 1 − 1,5 + 1 − 1,5 + 1 = 0.
- Summe der Quadrate: 1 + 2,25 + 1 + 2,25 + 1 = 7,5. Keine andere Gerade erreicht für diese Daten einen kleineren Wert.
Bei 22 Grad werden etwa 49 Hundert Kugeln erwartet. Die Summe der quadrierten Abweichungen beträgt 7,5, und der Korrelationskoeffizient liegt mit r ≈ 0,998 sehr nahe bei 1, der lineare Zusammenhang ist also sehr stark.
| Temperatur x | Prognose y | Bemerkung |
|---|---|---|
| 18 | 39 | innerhalb der Daten, verlässlich |
| 22 | 49 | innerhalb der Daten, verlässlich |
| 40 | 94 | außerhalb der Daten, unsicher |
Typische Fehler bei der linearen Regression
Der häufigste Fehler ist, Korrelation mit Ursache zu verwechseln. Ein enger Zusammenhang zwischen zwei Größen heißt nicht, dass die eine die andere verursacht. Eisverkauf und Sonnenbrände steigen im Sommer beide, aber Eis verursacht keinen Sonnenbrand. Beide hängen von einer dritten Größe ab, der Temperatur.
Der zweite Fehler ist, die Gerade weit über den Messbereich hinaus zu benutzen. Aus Temperaturen von 10 bis 30 Grad lässt sich nichts verlässlich über 40 Grad sagen. Eine Prognose außerhalb der Daten heißt Extrapolation und ist riskant, weil der Zusammenhang dort nicht mehr linear sein muss. Auch negative Prognosen für Mengen sind ein Warnzeichen.
Der dritte Fehler ist ein Rechenfehler bei den Abweichungen. Vertausche nicht x und y und vergiss nicht, dass die Summe der Residuen null ergeben muss. Wenn sie es nicht tut, steckt ein Fehler in a oder b. Zeichne die Punkte und die Gerade grob in ein Koordinatensystem und prüfe, ob die Punkte sich gleichmäßig um die Gerade verteilen.
Lineare Regression Regressionsgerade in Klausur und Alltag
In der Klausur bekommst du oft die Daten in einer Tabelle und sollst die Regressionsgerade bestimmen, entweder von Hand für wenige Punkte oder mit dem Taschenrechner im Statistikmodus. Beim Taschenrechner gibst du die Wertepaare ein und liest a, b und r ab. Danach kommt fast immer eine Deutung: Was bedeutet die Steigung im Sachzusammenhang? Antworte mit Einheit, zum Beispiel: Pro Grad mehr steigt der Absatz im Mittel um 2,5 Hundert Kugeln.
Auch Fragen nach Prognosen sind üblich: Welchen Wert sagt das Modell für x = 22 voraus? Oder umgekehrt: Bei welchem x wird y = 60 erreicht? Dazu setzt du in die Gleichung ein und löst nach x auf: 60 = 2,5x − 6 ergibt x = 26,4. Weise bei Werten außerhalb des Messbereichs darauf hin, dass die Prognose unsicher ist.
Im Alltag steckt die lineare Regression hinter Trendlinien in Tabellenkalkulationen, hinter Wetter- und Preisprognosen und hinter vielen Studien. Wer versteht, wie eine Trendlinie entsteht, liest solche Grafiken kritischer und fällt weniger auf übertriebene Prognosen herein.
Jetzt bist du dran!
Nach welchem Kriterium wird die Regressionsgerade bestimmt?
Noch nicht. Die Methode der kleinsten Quadrate minimiert die Summe der Quadrate der Residuen. Eine Gerade durch möglichst viele Punkte oder durch Anfangs- und Endpunkt muss nicht die beste Anpassung liefern.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Regressionsgerade y = a + b · x ist die beste Gerade durch eine Punktwolke nach der Methode der kleinsten Quadrate.
- Die Steigung b ist die Summe der Produkte (x − x̄)(y − ȳ) geteilt durch die Summe der Quadrate (x − x̄)².
- Der Achsenabschnitt folgt aus a = ȳ − b · x̄, die Gerade geht durch den Schwerpunkt (x̄ | ȳ).
- Der Korrelationskoeffizient r misst die Stärke des linearen Zusammenhangs, beweist aber keine Ursache.
- Typischer Fehler: Prognosen weit außerhalb der Messdaten für sicher halten.
Lektion abschließen
Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Lineare Regression Regressionsgerade berechnen: Formel und Beispiele
- Was ist die lineare Regression?
- Die lineare Regression sucht eine Gerade, die eine Punktwolke aus Messwerten am besten beschreibt. Du erhältst eine Gleichung y = a + b · x, mit der du Werte vorhersagen und den Zusammenhang zweier Größen beschreiben kannst.
- Was ist eine Regressionsgerade?
- Die Regressionsgerade ist die Gerade, bei der die Summe der quadrierten senkrechten Abstände aller Messpunkte zur Geraden minimal ist. Sie heißt auch Ausgleichsgerade und geht immer durch den Schwerpunkt der Daten, den Punkt aus beiden Mittelwerten.
- Wie berechne ich die Regressionsgerade?
- Du bildest die Mittelwerte x̄ und ȳ, berechnest die Steigung b als Summe der Produkte (x − x̄)(y − ȳ) geteilt durch die Summe von (x − x̄)² und danach den Achsenabschnitt a = ȳ − b · x̄. Im Taschenrechner geht das mit dem Statistikmodus.
- Was bedeutet die Methode der kleinsten Quadrate?
- Die Methode wählt die Gerade so, dass die Summe der quadrierten Abweichungen der Messpunkte von der Geraden so klein wie möglich ist. Das Quadrieren verhindert, dass sich positive und negative Abweichungen aufheben, und gewichtet große Abweichungen stärker.
- Was sagt der Korrelationskoeffizient aus?
- Der Korrelationskoeffizient r liegt zwischen −1 und 1. Werte nahe 1 zeigen einen starken positiven, Werte nahe −1 einen starken negativen linearen Zusammenhang, Werte nahe 0 keinen linearen Zusammenhang. Eine Ursache-Wirkung-Beziehung folgt daraus nicht.
- Was ist ein Residuum?
- Ein Residuum ist die Abweichung eines Messwerts vom Wert der Geraden, also y minus ŷ. Bei der Regressionsgeraden ist die Summe aller Residuen null. Ein großes Residuum zeigt einen Punkt, den die Gerade schlecht beschreibt, etwa einen Ausreißer.
- Wann darf ich die Regressionsgerade für Prognosen benutzen?
- Innerhalb des Bereichs der Messdaten sind Prognosen meist verlässlich, wenn die Punkte eng an der Geraden liegen. Außerhalb davon, bei der Extrapolation, ist das Risiko groß, weil der Zusammenhang dort nicht linear sein muss.
- In welcher Klasse lernt man die lineare Regression?
- Die lineare Regression kommt in der Oberstufe vor, je nach Bundesland in Klasse 11 oder 12, im Rahmen der beschreibenden Statistik. In manchen Bundesländern ist sie nur im Leistungskurs oder als Anwendung mit Taschenrechner und Tabellenkalkulation Pflicht.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.