Konfidenzintervall berechnen und deuten
Ein Konfidenzintervall ist ein Bereich um die relative Häufigkeit einer Stichprobe, in dem der wahre Anteil der Grundgesamtheit mit vorgegebener Sicherheit liegt. In dieser Lektion lernst du, wie du ein Konfidenzintervall für einen Anteil berechnest, wie die Sicherheit und der Stichprobenumfang die Breite beeinflussen und wie du das Ergebnis richtig deutest.
- Fach: Mathematik
- Klasse 12
- Thema: Stochastik
- Dauer: 22 Min
- Niveau: Schwer
Konfidenzintervall: Von der Stichprobe auf das Ganze schließen
Ein Konfidenzintervall gibt an, in welchem Bereich der unbekannte Anteil p der Grundgesamtheit mit einer bestimmten Sicherheit liegt, zum Beispiel mit 95 Prozent. Du berechnest es aus der relativen Häufigkeit h einer Stichprobe, dem Stichprobenumfang n und einem Faktor z, der von der Sicherheit abhängt.
Beim Hypothesentest gehst du von einem vermuteten Anteil p aus und prüfst, ob die Stichprobe dazu passt. Beim Konfidenzintervall ist es umgekehrt: Du kennst die Stichprobe und suchst einen Bereich, in dem der wahre Anteil vermutlich liegt. Diese Fragestellung heißt Schätzen.
Umfragen und Wahlprognosen arbeiten genau so. Von 1000 Befragten stimmen 520 einer Aussage zu. Daraus schließt man nicht, dass genau 52 Prozent aller Menschen zustimmen. Man gibt ein Intervall an, etwa 49 bis 55 Prozent, und sagt dazu, mit welcher Sicherheit der wahre Wert darin liegt.
Die Formel für das Konfidenzintervall
Für große Stichproben gilt das Näherungsintervall h ± z · Wurzel aus (h · (1 − h) / n). Der Term unter der Wurzel beschreibt die Streuung der relativen Häufigkeit. Je mehr Daten du hast, also je größer n ist, desto kleiner wird die Wurzel und desto schmaler das Intervall.
Der Faktor z legt die Sicherheit fest. Für 90 Prozent nimmst du 1,64, für 95 Prozent 1,96 und für 99 Prozent 2,58. Diese Werte stammen aus der Normalverteilung und entsprechen den bekannten Sigma-Regeln. Wählst du eine höhere Sicherheit, wird das Intervall breiter, weil du dir sicherer sein willst.
Die halbe Breite des Intervalls nennt man auch Fehlerspanne. Sie lautet z · Wurzel aus (h(1 − h)/n). Die Näherung ist brauchbar, wenn die Stichprobe groß genug ist. Als Faustregel sollte n mal h mal (1 − h) mindestens 9 betragen, sonst benutzt man genauere Verfahren.
- h
- relative Häufigkeit in der Stichprobe
- n
- Stichprobenumfang
- z
- Faktor für die gewählte Sicherheit
| Sicherheit | Faktor z | Wirkung auf das Intervall |
|---|---|---|
| 90 Prozent | 1,64 | schmaler |
| 95 Prozent | 1,96 | üblicher Standard in der Schule |
| 99 Prozent | 2,58 | deutlich breiter |
Beispiel 1: Konfidenzintervall für eine Umfrage berechnen
In einer Umfrage stimmen 240 von 400 Personen einer Aussage zu. Berechne das 95-Prozent-Konfidenzintervall für den wahren Anteil.
Gegeben:
- n400
- 240 Zustimmungen
- Sicherheit 95 Prozent, z1,96
Gesucht:
Das Konfidenzintervall für den Anteil pLösung:
- Relative Häufigkeit bestimmen: h2404000,6.
- Standardfehler berechnen: Wurzel aus (0,6 · 0,4/400) = Wurzel aus 0,0006 ≈ 0,0245.
- Halbe Breite berechnen: 1,96 · 0,0245 ≈ 0,048.
- Intervall angeben: 0,6 − 0,0480,552 und 0,6 + 0,0480,648.
Das 95-Prozent-Konfidenzintervall ist ungefähr [0,552; 0,648], also von 55,2 bis 64,8 Prozent. Der wahre Anteil liegt mit 95 Prozent Sicherheit in diesem Bereich. Die Fehlerspanne beträgt etwa 4,8 Prozentpunkte.
Beispiel 2: Benötigten Stichprobenumfang bestimmen
Eine Umfrage soll mit 95 Prozent Sicherheit eine Fehlerspanne von höchstens 3 Prozentpunkten haben. Wie groß muss n mindestens sein? Der Anteil ist unbekannt.
Gegeben:
- Sicherheit 95 Prozent, z1,96
- halbe Breite höchstens 0,03
- Anteil unbekannt, daher ungünstigster Fall h = 0,5
Gesucht:
Der kleinste Stichprobenumfang nLösung:
- Ungleichung aufstellen: 1,96 · Wurzel aus (0,5 · 0,5/n) ≤ 0,03.
- Durch 1,96 teilen: Wurzel aus (0,25/n) ≤ 0,03/1,96 ≈ 0,0153.
- Quadrieren: 0,25n ≤ 0,000234, also n ≥ 0,25/0,000234.
- Ausrechnen: n ≥ (1,96/0,03)² · 0,25 ≈ 1067,1. Auf die nächste ganze Zahl aufrunden.
Es werden mindestens 1068 Personen benötigt. Der Wert h = 0,5 ist der ungünstigste Fall, denn dort ist h(1 − h) am größten. Mit dieser Stichprobengröße ist die Fehlerspanne unabhängig vom wahren Anteil höchstens 3 Prozentpunkte.
Typische Fehler beim Konfidenzintervall
Der häufigste Fehler ist die falsche Deutung. Das Konfidenzintervall sagt nicht, dass jede Person oder jeder Messwert in diesem Bereich liegt, sondern es schätzt den Anteil in der Grundgesamtheit. Außerdem ist das Intervall zufällig, der wahre Anteil dagegen fest. Richtig ist: Bei vielen Stichproben überdecken etwa 95 Prozent der berechneten Intervalle den wahren Wert.
Ein zweiter Fehler betrifft die Breite. Viele halbieren n und erwarten ein halb so breites Intervall, in Wirklichkeit steht n unter der Wurzel. Um die Breite zu halbieren, musst du n vervierfachen. Und für eine doppelte Genauigkeit brauchst du viermal so viele Daten, was Umfragen teuer macht.
Ein dritter Fehler ist, den Anteil mit der Anzahl zu verwechseln. In die Formel gehört die relative Häufigkeit h, also 0,6, nicht die absolute Zahl 240. Und die Sicherheit darf nicht mit der Irrtumswahrscheinlichkeit verwechselt werden: Bei 95 Prozent Sicherheit beträgt sie 5 Prozent.
Konfidenzintervall im Alltag und Tipps für die Klassenarbeit
Konfidenzintervalle begegnen dir in Umfragen, bei Qualitätskontrollen und in der Medizin. Ein Hersteller prüft stichprobenartig, wie viele Teile fehlerhaft sind, und schließt auf die gesamte Lieferung. Eine Studie schätzt, wie viele Patienten auf ein Medikament ansprechen. Immer ist das Intervall die ehrliche Angabe der Unsicherheit.
In Klassenarbeiten sind drei Aufgabentypen üblich: das Intervall aus Stichprobenwerten berechnen, aus gegebener Breite den Stichprobenumfang bestimmen und das Ergebnis in einem Satz deuten. Notiere bei jeder Aufgabe zuerst n, h und z, bevor du rechnest. So findest du leichter Fehler und bekommst Teilpunkte.
Gib das Intervall immer mit passender Genauigkeit an und schreibe dazu den Antwortsatz mit der Sicherheit. Prüfe außerdem, ob die Näherungsbedingung erfüllt ist. In manchen Bundesländern wird statt der Näherung die Ungleichung mit der Normalverteilung oder dem Binomialtest verwendet. Halte dich an das Verfahren aus deinem Unterricht.
Jetzt bist du dran!
Welcher Faktor z gehört zu einer Sicherheit von 95 Prozent?
Noch nicht. Für 95 Prozent gilt z = 1,96. Der Wert 1,64 gehört zu 90 Prozent und 2,58 zu 99 Prozent, beide sind in der Praxis ebenfalls üblich.
Das Wichtigste in Kürze
- Das Konfidenzintervall schätzt den wahren Anteil aus einer Stichprobe.
- Es lautet h plus minus z mal Wurzel aus (h mal (1 minus h) durch n).
- Für 90, 95 und 99 Prozent gelten z = 1,64, 1,96 und 2,58.
- Mehr Sicherheit macht das Intervall breiter, vierfaches n halbiert die Breite.
- Etwa 95 Prozent aller solchen Intervalle enthalten den wahren Anteil.
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Häufige Fragen zu Konfidenzintervall berechnen und deuten
- Was ist ein Konfidenzintervall?
- Ein Konfidenzintervall ist ein Bereich, der aus einer Stichprobe berechnet wird und den wahren Anteil oder Mittelwert der Grundgesamtheit mit vorgegebener Sicherheit enthält, zum Beispiel mit 95 Prozent. Es gibt die Unsicherheit einer Schätzung an.
- Wie berechnet man ein Konfidenzintervall?
- Du bestimmst die relative Häufigkeit h der Stichprobe, berechnest die Fehlerspanne z mal Wurzel aus (h · (1 − h)/n) und gibst das Intervall von h minus bis h plus Fehlerspanne an. Für 95 Prozent Sicherheit gilt z = 1,96.
- Wie deutet man ein 95-Prozent-Konfidenzintervall?
- Berechnest du das Intervall für viele Stichproben, enthalten etwa 95 Prozent dieser Intervalle den wahren Anteil. Für eine einzelne Stichprobe sagt man vereinfacht, der wahre Anteil liege mit 95 Prozent Sicherheit im Intervall.
- Was ist der Unterschied zwischen Konfidenzintervall und Hypothesentest?
- Beim Hypothesentest ist der Anteil vorgegeben und du prüfst, ob die Stichprobe dazu passt. Beim Konfidenzintervall ist die Stichprobe gegeben, und du schätzt, in welchem Bereich der Anteil liegt. Beide nutzen die Normalverteilung.
- Wie wirkt sich der Stichprobenumfang auf das Konfidenzintervall aus?
- Je größer der Stichprobenumfang, desto schmaler ist das Intervall. Weil n unter der Wurzel steht, halbiert sich die Breite erst bei vierfachem n. Große Stichproben liefern also genauere Schätzungen.
- Welche Werte für z werden verwendet?
- Üblich sind z = 1,64 für 90 Prozent, z = 1,96 für 95 Prozent und z = 2,58 für 99 Prozent Sicherheit. Sie stammen aus der Normalverteilung und stehen in der Formelsammlung.
- Wie bestimmt man den nötigen Stichprobenumfang?
- Du setzt die gewünschte Fehlerspanne in die Formel ein, löst nach n auf und rundest auf. Ist der Anteil unbekannt, rechnest du mit h = 0,5, denn dann ist die Fehlerspanne am größten und das Ergebnis auf der sicheren Seite.
- In welcher Klasse lernt man das Konfidenzintervall?
- Das Konfidenzintervall wird in der Oberstufe, meist in Klasse 12 oder 13, im Anschluss an Binomialverteilung, Normalverteilung und Hypothesentest behandelt. Die Anforderungen unterscheiden sich je nach Bundesland.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.