Sigma-Regeln
Die Sigma-Regeln geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Werte einer binomialverteilten Zufallsgröße in einem Intervall um den Erwartungswert Mü liegen. In dieser Lektion lernst du die Ein-Sigma-, Zwei-Sigma- und Drei-Sigma-Regel, wie du die passenden Intervalle berechnest und wann diese Näherung überhaupt sinnvoll anwendbar ist.
- Fach: Mathematik
- Klasse 12
- Thema: Stochastik
- Dauer: 18 Min
- Niveau: Schwer
Sigma-Regeln: Streuung um den Erwartungswert
Bei einer binomialverteilten Zufallsgröße liegt nicht jeder Versuch exakt beim Erwartungswert Mü, sondern die tatsächlichen Werte streuen um diesen Mittelwert herum. Wie stark diese Streuung typischerweise ausfällt, beschreibt die Standardabweichung Sigma.
Die Sigma-Regeln nutzen Mü und Sigma, um Intervalle anzugeben, in denen ein großer Teil aller möglichen Werte mit hoher Wahrscheinlichkeit liegt. Sie sind eine praktische Näherung, mit der du ohne aufwendige Einzelberechnung abschätzen kannst, welche Ergebnisse bei einem Zufallsexperiment typisch und welche eher untypisch sind.
Diese Regeln beruhen darauf, dass eine Binomialverteilung bei ausreichend großem Sigma näherungsweise wie eine Normalverteilung aussieht. Deshalb gelten die Sigma-Regeln nur unter einer bestimmten Bedingung an die Größe von Sigma, die du im Verlauf der Lektion noch kennenlernst.
Erwartungswert, Standardabweichung und die drei Sigma-Regeln
Für eine binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern n und p berechnet sich der Erwartungswert als Mü = n mal p und die Standardabweichung als Sigma = Wurzel aus (n mal p mal (1 minus p)). Beide Größen bilden die Grundlage für alle drei Sigma-Regeln.
Die Ein-Sigma-Regel besagt, dass im Intervall von Mü minus Sigma bis Mü plus Sigma etwa 68,3 Prozent aller Werte liegen. Die Zwei-Sigma-Regel erweitert dieses Intervall auf Mü plus minus 2 Sigma und erfasst damit etwa 95,4 Prozent aller Werte, während die Drei-Sigma-Regel mit Mü plus minus 3 Sigma bereits etwa 99,7 Prozent aller Werte abdeckt.
Diese Regeln gelten als brauchbare Näherung, wenn die sogenannte Laplace-Bedingung erfüllt ist, also wenn Sigma größer als 3 ist. Ist Sigma kleiner, weicht die tatsächliche Binomialverteilung noch zu stark von der Normalverteilung ab, und die angegebenen Prozentwerte sind dann weniger genau.
- n
- Anzahl der Versuche
- p
- Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs
- μ
- Erwartungswert Mü, μ = n mal p
| Intervall | Grenzen | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| Mü ± 1 Sigma | 45 bis 55 | rund 68,3 Prozent |
| Mü ± 2 Sigma | 40 bis 60 | rund 95,4 Prozent |
| Mü ± 3 Sigma | 35 bis 65 | rund 99,7 Prozent |
Beispiel 1: Ein-Sigma-Intervall berechnen
Eine Münze wird 100-mal geworfen, die Wahrscheinlichkeit für Kopf beträgt p = 0,5. Berechne das Ein-Sigma-Intervall für die Anzahl der Würfe mit Kopf.
Gegeben:
- n100
- p0,5
Gesucht:
Ein-Sigma-Intervall um den ErwartungswertLösung:
- Erwartungswert berechnen: Mü = n mal p = 100 mal 0,5 = 50.
- Standardabweichung berechnen: Sigma = Wurzel aus (100 mal 0,5 mal 0,5) = Wurzel aus 25 = 5.
- Intervallgrenzen bilden: Mü minus Sigma = 45 und Mü plus Sigma = 55.
- Wahrscheinlichkeit zuordnen: Im Intervall von 45 bis 55 liegen nach der Ein-Sigma-Regel etwa 68,3 Prozent aller Werte.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 68,3 Prozent liegt die Anzahl der Würfe mit Kopf zwischen 45 und 55. Da Sigma hier 5 und damit größer als 3 ist, ist die Laplace-Bedingung erfüllt und die Sigma-Regel liefert eine brauchbare Näherung.
Beispiel 2: Wahrscheinlichkeit außerhalb eines Intervalls
Berechne für dasselbe Zufallsexperiment (n = 100, p = 0,5), mit welcher Wahrscheinlichkeit die Anzahl der Würfe mit Kopf außerhalb des Zwei-Sigma-Intervalls liegt.
Gegeben:
- Mü50
- Sigma5
- Zwei-Sigma-Intervall: 40 bis 60 mit rund 95,4 Prozent
Gesucht:
Wahrscheinlichkeit außerhalb des Intervalls von 40 bis 60Lösung:
- Wahrscheinlichkeit innerhalb des Intervalls notieren: Im Intervall von 40 bis 60 liegen laut Zwei-Sigma-Regel etwa 95,4 Prozent aller Werte.
- Gegenwahrscheinlichkeit bilden: Die Wahrscheinlichkeit außerhalb des Intervalls ergibt sich als 100 Prozent minus 95,4 Prozent.
- Ergebnis berechnen: 100 Prozent minus 95,4 Prozent ergibt 4,6 Prozent.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 4,6 Prozent liegt die Anzahl der Würfe mit Kopf außerhalb des Bereichs von 40 bis 60. Diese Restwahrscheinlichkeit verteilt sich dabei ungefähr gleichmäßig auf beide Seiten des Intervalls, also auf Werte unter 40 und Werte über 60.
Typische Fehler bei den Sigma-Regeln
Ein häufiger Fehler ist, die Sigma-Regeln auch dann anzuwenden, wenn Sigma sehr klein ist, etwa unter 3. In diesem Fall ist die Näherung durch die Normalverteilung ungenau, und die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten können deutlich von den festen Prozentwerten 68,3, 95,4 und 99,7 abweichen.
Ein zweiter Fehler ist, die Formel für Sigma falsch zu berechnen, etwa den Faktor (1 minus p) zu vergessen. Ohne diesen Faktor entsteht eine viel zu große Standardabweichung, was wiederum zu falschen Intervallgrenzen führt.
Ein dritter Fehler ist, die Prozentwerte der drei Regeln zu verwechseln, etwa 95,4 Prozent für das Ein-Sigma-Intervall statt für das Zwei-Sigma-Intervall zu verwenden. Die drei Werte gehören fest zu den jeweiligen Vielfachen von Sigma und dürfen nicht vertauscht werden.
Tipps für die Klassenarbeit
Berechne bei jeder Aufgabe zuerst Mü und Sigma getrennt und notiere beide Werte, bevor du die Intervallgrenzen bildest. So behältst du auch bei mehreren Teilaufgaben den Überblick, welche Zwischenwerte du bereits berechnet hast.
Prüfe vor der Anwendung der Sigma-Regeln immer die Laplace-Bedingung Sigma größer 3. Wird danach explizit gefragt, solltest du dies in deiner Lösung auch schriftlich erwähnen, um die Anwendbarkeit der Regel zu begründen.
Runde die Intervallgrenzen bei ganzzahligen Zufallsgrößen wie einer Anzahl von Würfen sinnvoll, meist auf ganze Zahlen, und gib in deiner Antwort sowohl die Grenzen als auch die zugehörige Wahrscheinlichkeit an.
Jetzt bist du dran!
Wie berechnet man die Standardabweichung Sigma einer binomialverteilten Zufallsgröße?
Noch nicht. Die Standardabweichung einer Binomialverteilung wird mit der Formel Sigma = Wurzel aus (n mal p mal (1 minus p)) berechnet, während der Erwartungswert separat als Mü = n mal p bestimmt wird.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Erwartungswert einer Binomialverteilung ist Mü = n mal p, die Standardabweichung ist Sigma = Wurzel aus (n mal p mal (1 minus p)).
- Im Intervall Mü ± 1 Sigma liegen etwa 68,3 Prozent aller Werte.
- Im Intervall Mü ± 2 Sigma liegen etwa 95,4 Prozent aller Werte.
- Im Intervall Mü ± 3 Sigma liegen etwa 99,7 Prozent aller Werte.
- Die Sigma-Regeln sind nur eine gute Näherung, wenn die Laplace-Bedingung Sigma größer 3 erfüllt ist.
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Häufige Fragen zu Sigma-Regeln
- Was sind die Sigma-Regeln?
- Die Sigma-Regeln geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Werte einer binomialverteilten Zufallsgröße in einem bestimmten Intervall um den Erwartungswert Mü liegen. Sie unterscheiden zwischen dem Ein-Sigma-, Zwei-Sigma- und Drei-Sigma-Intervall mit jeweils festen Prozentwerten.
- Wie berechnet man Mü und Sigma für die Sigma-Regeln?
- Der Erwartungswert wird mit Mü = n mal p berechnet, wobei n die Anzahl der Versuche und p die Erfolgswahrscheinlichkeit ist. Die Standardabweichung berechnet sich als Sigma = Wurzel aus (n mal p mal (1 minus p)).
- Welche Prozentwerte gehören zu den drei Sigma-Regeln?
- Im Ein-Sigma-Intervall liegen etwa 68,3 Prozent aller Werte, im Zwei-Sigma-Intervall etwa 95,4 Prozent und im Drei-Sigma-Intervall etwa 99,7 Prozent aller Werte um den Erwartungswert Mü.
- Wann darf man die Sigma-Regeln anwenden?
- Die Sigma-Regeln sind nur eine brauchbare Näherung, wenn die Laplace-Bedingung erfüllt ist, also wenn die Standardabweichung Sigma größer als 3 ist. Bei kleinerem Sigma weicht die tatsächliche Binomialverteilung noch zu stark von der Normalverteilung ab.
- Was ist der Unterschied zwischen Erwartungswert und Standardabweichung?
- Der Erwartungswert Mü gibt den mittleren, im Durchschnitt zu erwartenden Wert einer Zufallsgröße an. Die Standardabweichung Sigma beschreibt dagegen, wie stark die tatsächlichen Werte typischerweise um diesen Mittelwert streuen.
- In welcher Klasse werden die Sigma-Regeln unterrichtet?
- Die Sigma-Regeln werden meist in Klasse 12 im Rahmen der Stochastik behandelt, aufbauend auf der Binomialverteilung und dem Erwartungswert. Sie bilden eine wichtige Grundlage für spätere Themen wie die Normalverteilung und Hypothesentests.
- Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit außerhalb eines Sigma-Intervalls?
- Man zieht die Wahrscheinlichkeit innerhalb des Intervalls von 100 Prozent ab, um die Gegenwahrscheinlichkeit zu erhalten. Bei einem Zwei-Sigma-Intervall mit rund 95,4 Prozent innerhalb liegt die Wahrscheinlichkeit außerhalb also bei rund 4,6 Prozent.
- Sind die Prozentwerte 68,3, 95,4 und 99,7 immer exakt gleich?
- Diese Prozentwerte gelten exakt für die tatsächliche Normalverteilung und werden bei einer Binomialverteilung nur näherungsweise erreicht. Je größer Sigma ist, desto genauer stimmen die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten mit diesen Näherungswerten überein.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.