Erwartungswert berechnen – Formel und Beispiele
Der Erwartungswert berechnet den mittleren Wert, der bei sehr häufiger Wiederholung eines Zufallsexperiments im Durchschnitt herauskommt. Du multiplizierst dafür jeden möglichen Wert einer Zufallsgröße mit seiner Wahrscheinlichkeit und addierst alle diese Produkte – das lernst du hier an einem Würfelspiel Schritt für Schritt.
- Fach: Mathematik
- Klasse 10
- Thema: Stochastik
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Was ist der Erwartungswert?
Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsgröße X gibt an, welcher Wert im Durchschnitt herauskommt, wenn man ein Zufallsexperiment sehr, sehr oft wiederholt. Er ist also kein Wert, der bei einer einzelnen Durchführung tatsächlich auftreten muss, sondern ein langfristiger Mittelwert über viele Wiederholungen hinweg.
Ein bekanntes Beispiel ist der Würfel: Bei einem fairen Würfel mit den Zahlen 1 bis 6 ist der Erwartungswert 3,5, obwohl diese Zahl selbst nie gewürfelt werden kann. Würfelst du aber tausendmal und bildest den Durchschnitt aller Ergebnisse, kommst du sehr nah an diesen Wert heran.
Der Erwartungswert wird vor allem bei Glücksspielen, Versicherungen und Prognosen verwendet, um zu entscheiden, ob sich eine Sache auf lange Sicht lohnt. Ein Spiel mit einem positiven Erwartungswert bringt langfristig einen Gewinn, ein Spiel mit negativem Erwartungswert langfristig einen Verlust.
Die Formel für den Erwartungswert
Um den Erwartungswert zu berechnen, brauchst du zunächst alle möglichen Werte der Zufallsgröße X sowie deren Wahrscheinlichkeiten. Diese Angaben trägst du am besten in einer Tabelle zusammen, damit nichts vergessen wird.
Dann multiplizierst du jeden Wert x_i mit seiner Wahrscheinlichkeit P(X = x_i) und addierst alle diese Produkte. Diese Summe ist der Erwartungswert E(X). Wichtig ist dabei, dass sich alle Wahrscheinlichkeiten zusammen immer zu 1 addieren müssen, sonst wurde ein Ergebnis vergessen oder falsch berechnet.
Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert genau 0 ist: Einsatz und erwarteter Gewinn gleichen sich langfristig aus. Ist E(X) positiv, ist das Spiel für den Spieler auf Dauer vorteilhaft, ist E(X) negativ, verliert der Spieler auf lange Sicht Geld.
- x
- möglicher Wert der Zufallsgröße X
- P
- Wahrscheinlichkeit, mit der dieser Wert eintritt
| Ereignis | Wert von X | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| Sechs gewürfelt | +6 Euro | 1/6 |
| Keine Sechs gewürfelt | −1 Euro | 5/6 |
Beispiel 1: Erwartungswert eines Würfelspiels
Bei einem Spiel gewinnst du 6 Euro, wenn du mit einem fairen Würfel eine Sechs würfelst. Bei jeder anderen Zahl verlierst du 1 Euro. Berechne den Erwartungswert des Gewinns.
Gegeben:
- P(Sechs) = 1/6, Gewinn dabei: +6 Euro
- P(keine Sechs) = 5/6, Gewinn dabei: −1 Euro
Gesucht:
Erwartungswert E(X)Lösung:
- Werte und Wahrscheinlichkeiten notieren: X = 6 mit P = 1/6, X = −1 mit P = 5/6.
- Erstes Produkt berechnen: 6 Euro · 1/6 = 1 Euro.
- Zweites Produkt berechnen: −1 Euro · 5/6 = −5/6 Euro.
- Produkte addieren: E(X) = 1 Euro + (−5/6 Euro).
- Ergebnis berechnen: E(X) = 1/6 Euro ≈ 0,17 Euro.
Der Erwartungswert des Spiels beträgt rund 0,17 Euro pro Spiel. Da dieser Wert positiv ist, ist das Spiel für den Spieler langfristig vorteilhaft: Bei sehr vielen Wiederholungen gewinnt man im Durchschnitt etwa 17 Cent je Spielrunde.
Beispiel 2: Ist das Spiel fair?
Bei einem Glücksrad mit vier gleich großen Feldern gewinnst du bei einem Feld 12 Euro, bei den anderen drei Feldern gewinnst du nichts. Der Einsatz beträgt 3 Euro. Ist das Spiel fair?
Gegeben:
- P(Gewinnfeld)14, Auszahlung 12 Euro
- P(Nietenfeld)34, Auszahlung 0 Euro
- Einsatz: 3 Euro
Gesucht:
Erwartungswert des ReingewinnsLösung:
- Erwartungswert der Auszahlung berechnen: 12 Euro · 1/4 + 0 Euro · 3/4 = 3 Euro.
- Einsatz vom erwarteten Gewinn abziehen: 3 Euro − 3 Euro = 0 Euro.
Der Erwartungswert des Reingewinns beträgt genau 0 Euro. Das Spiel ist deshalb fair: Auf lange Sicht gleichen sich Einsatz und Auszahlung genau aus, weder die Spielerin noch der Anbieter gewinnen im Durchschnitt etwas.
Typische Fehler beim Erwartungswert berechnen
Ein häufiger Fehler ist, die Wahrscheinlichkeiten und die Werte zu vertauschen, also P(X) statt X mit sich selbst zu multiplizieren. In der Formel wird immer der Wert x mit seiner Wahrscheinlichkeit P(X = x) multipliziert, nicht die Wahrscheinlichkeit mit sich selbst.
Ein zweiter Fehler ist, Verluste als positive Zahl statt mit Minuszeichen einzusetzen. Wird bei einem Verlust von 1 Euro versehentlich +1 statt −1 verwendet, verändert sich der Erwartungswert erheblich, und ein eigentlich unfaires Spiel erscheint plötzlich als vorteilhaft.
Ein dritter Fehler ist, nicht alle möglichen Ereignisse zu berücksichtigen. Vor der Berechnung solltest du immer prüfen, ob sich alle Wahrscheinlichkeiten zu 1 addieren – tun sie das nicht, wurde ein Ergebnis vergessen oder eine Wahrscheinlichkeit falsch berechnet.
Tipps für die Klassenarbeit
Erstelle für jede Aufgabe zuerst eine vollständige Tabelle mit allen möglichen Werten von X und ihren Wahrscheinlichkeiten, bevor du irgendetwas ausrechnest. So verlierst du keinen Fall und siehst sofort, ob sich die Wahrscheinlichkeiten zu 1 addieren.
Behalte bei Gewinnen und Verlusten immer die richtigen Vorzeichen bei. Ein Verlust wird als negative Zahl eingesetzt, ein Gewinn als positive Zahl – das Endergebnis zeigt dir dann direkt, ob im Mittel ein Gewinn oder ein Verlust zu erwarten ist.
Bei Aufgaben mit einem Einsatz rechnest du zunächst den Erwartungswert der reinen Auszahlung und ziehst den Einsatz erst am Ende ab. So behältst du den Überblick und kannst leicht erkennen, ob ein Spiel fair, vorteilhaft oder nachteilig ist.
Jetzt bist du dran!
Bei Kopf gewinnst du 4 Euro, bei Zahl verlierst du 2 Euro (jeweils Wahrscheinlichkeit 1/2). Berechne den Erwartungswert in Euro.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Erwartungswert E(X) ist der theoretische Mittelwert einer Zufallsgröße bei sehr vielen Wiederholungen.
- Formel: E(X) = Summe aus Wert mal Wahrscheinlichkeit für jedes mögliche Ergebnis.
- Alle Wahrscheinlichkeiten müssen sich zu 1 addieren, sonst fehlt ein Ereignis.
- Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert des Reingewinns genau 0 beträgt.
- Verluste gehen mit negativem Vorzeichen in die Rechnung ein.
Lektion abschließen
Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Erwartungswert berechnen – Formel und Beispiele
- Wie berechnet man den Erwartungswert?
- Du multiplizierst jeden möglichen Wert einer Zufallsgröße X mit seiner Wahrscheinlichkeit und addierst alle diese Produkte. Die Formel lautet E(X) = Summe aus x mal P(X = x). Wichtig ist eine vollständige Übersicht aller Werte und Wahrscheinlichkeiten, bevor du zu rechnen beginnst.
- Was bedeutet der Erwartungswert?
- Der Erwartungswert ist der Mittelwert, der bei sehr häufiger Wiederholung eines Zufallsexperiments im Durchschnitt herauskommt. Er ist kein bei einer einzelnen Durchführung tatsächlich mögliches Ergebnis, sondern ein langfristiger theoretischer Durchschnittswert über viele Wiederholungen hinweg.
- Was ist ein faires Spiel?
- Ein Glücksspiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Reingewinns genau 0 beträgt. Einsatz und erwartete Auszahlung gleichen sich dann langfristig aus, sodass weder die Spielerin noch der Anbieter im Mittel etwas gewinnen oder verlieren.
- Was ist der Unterschied zwischen Erwartungswert und Mittelwert?
- Der Mittelwert bezieht sich auf tatsächlich beobachtete Daten aus einer Stichprobe, zum Beispiel gemessene Werte. Der Erwartungswert dagegen ist ein theoretischer Wert, der aus den Wahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperiments berechnet wird. Bei sehr vielen Wiederholungen nähert sich der beobachtete Mittelwert dem Erwartungswert an.
- Kann der Erwartungswert negativ sein?
- Ja, ein negativer Erwartungswert ist möglich und bedeutet, dass bei sehr vielen Wiederholungen im Durchschnitt ein Verlust entsteht. Das ist bei fast allen kommerziellen Glücksspielen der Fall, denn der Anbieter kalkuliert seinen Gewinn genau über einen negativen Erwartungswert für die Spielerinnen und Spieler.
- In welcher Klasse lernt man den Erwartungswert?
- Der Erwartungswert wird meist in Klasse 10 im Rahmen der Wahrscheinlichkeitsrechnung eingeführt, nachdem Grundbegriffe wie Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit bekannt sind. In der Oberstufe wird er im Zusammenhang mit der Binomialverteilung und Erwartungswerten größerer Zufallsgrößen vertieft.
- Warum addieren sich alle Wahrscheinlichkeiten zu 1?
- Weil bei jeder Durchführung eines Zufallsexperiments garantiert genau eines der möglichen Ergebnisse eintritt. Die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten muss deshalb den vollen Ergebnisraum abdecken, also 1 ergeben. Kommt bei der Kontrolle nicht 1 heraus, wurde ein Ereignis vergessen oder eine Wahrscheinlichkeit falsch berechnet.
- Wie hängt der Erwartungswert mit der Binomialverteilung zusammen?
- Bei einer binomialverteilten Zufallsgröße mit n Versuchen und Trefferwahrscheinlichkeit p berechnet sich der Erwartungswert vereinfacht mit E(X) = n · p, ohne dass jeder einzelne Wert und seine Wahrscheinlichkeit aufgeschrieben werden müssen. Diese Kurzformel spart bei vielen Versuchen deutlich Rechenaufwand.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.