Baumdiagramme und Pfadregeln
In dieser Lektion lernst du, mehrstufige Zufallsexperimente mit einem Baumdiagramm darzustellen. Mit den beiden Pfadregeln berechnest du Wahrscheinlichkeiten für einzelne Ergebnisse und für ganze Ereignisse.
- Fach: Mathematik
- Klasse 8
- Thema: Stochastik
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Zufall in mehreren Stufen
Wirfst du eine Münze zweimal oder ziehst du nacheinander zwei Kugeln aus einer Urne, dann besteht das Experiment aus mehreren Stufen. Ein Baumdiagramm zeigt alle Möglichkeiten übersichtlich: Von einem Startpunkt gehen Äste zu den Ergebnissen der ersten Stufe, von dort weitere Äste zur zweiten Stufe. An jeden Ast schreibst du die Wahrscheinlichkeit, am Ende jedes Wegs steht das zugehörige Ergebnis, etwa KZ für „erst Kopf, dann Zahl“.
Ein Weg vom Start bis zum Ende heißt Pfad. Die erste Pfadregel sagt: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfads ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfads. Das ist logisch, denn von allen Fällen der ersten Stufe tritt nur ein Anteil ein, und davon wieder nur ein Anteil. Die Hälfte von der Hälfte ist ein Viertel. Die zweite Pfadregel sagt: Gehören mehrere Pfade zu einem Ereignis, addierst du ihre Wahrscheinlichkeiten.
Baumdiagramme helfen überall, wo Zufall in Etappen abläuft: beim Elfmeterschießen, bei der Frage, ob es an zwei Tagen hintereinander regnet, oder bei einem medizinischen Test, der positiv oder negativ ausfällt.
Multiplizieren oder addieren?
Welche Regel du brauchst, hängt davon ab, ob du einem Pfad folgst oder mehrere Pfade zusammenfasst. Entlang eines Pfads wird multipliziert, weil jede Stufe den Anteil weiter verkleinert. Zwischen verschiedenen Pfaden wird addiert, weil sich die Fälle nicht überschneiden und einfach zusammengezählt werden dürfen.
Bei den meisten Aufgaben brauchst du beide Regeln nacheinander. Erst berechnest du mit der ersten Pfadregel jeden passenden Pfad einzeln, dann fasst du sie mit der zweiten zusammen. Markiere dir dafür im Baumdiagramm alle Pfade, die zum gesuchten Ereignis gehören. So übersiehst du keinen, etwa bei „genau einmal Kopf“ sowohl KZ als auch ZK.
1. Pfadregel: multiplizieren
Du berechnest die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfads, also eines Ergebnisses wie „erst rot, dann blau“.
Beispiele
- zweimal Kopf: 1/2 · 1/2 = 1/4
- rot, dann rot: 3/5 · 2/4 = 6/20
Signalwörter
- erst … dann …
- und
- entlang eines Pfads
- nacheinander
2. Pfadregel: addieren
Zu einem Ereignis gehören mehrere Pfade, zum Beispiel „genau einmal Kopf“.
Beispiele
- genau einmal Kopf: 1/4 + 1/4 = 1/2
- gleiche Farbe: P(rr) + P(bb)
Signalwörter
- oder
- genau einmal
- mindestens
- mehrere Pfade
| Situation | Zweite Stufe nach Rot | P(rot, rot) |
|---|---|---|
| mit Zurücklegen | wieder 3/5 | 9/25 |
| ohne Zurücklegen | nur noch 2/4 | 6/20 |
Beispiel 1: zwei Kugeln ohne Zurücklegen
In einer Urne liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?
Gegeben:
- 3 rote, 2 blaue Kugeln
- ohne Zurücklegen
Gesucht:
P(gleiche Farbe)Lösung:
- Erste Stufe: P(rot) = 3/5 und P(blau) = 2/5. Zusammen ergibt das 1.
- Zweite Stufe nach Rot: Es liegen noch 2 rote und 2 blaue von 4 Kugeln in der Urne, also je 2/4.
- Zweite Stufe nach Blau: Es liegen noch 3 rote und 1 blaue von 4 Kugeln in der Urne, also 3/4 und 1/4.
- Zum Ereignis „gleiche Farbe“ gehören die Pfade rot-rot und blau-blau.
- 1. Pfadregel: P(rot, rot) = 3/5 · 2/4 = 6/20 und P(blau, blau) = 2/5 · 1/4 = 2/20
- 2. Pfadregel: P(gleiche Farbe)62022082025
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 2/5, also 40 %. Zur Kontrolle: Die beiden gemischten Pfade haben 6/20 + 6/20 = 12/20, und 8/20 + 12/20 ergibt genau 1. Mit Zurücklegen käme übrigens 13/25 = 52 % heraus, weil sich dann in der zweiten Stufe nichts ändert.
Beispiel 2: mindestens einmal Sechs
Ein Würfel wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs?
Gegeben:
- 2 Würfe
- P(Sechs)16 pro Wurf
Gesucht:
P(mindestens eine Sechs)Lösung:
- Gegenereignis wählen: „keine Sechs“ ist einfacher als alle Fälle mit mindestens einer Sechs einzeln
- P(keine Sechs bei einem Wurf) = 5/6
- P(keine Sechs bei beiden Würfen) = 5/6 · 5/6 = 25/36
- P(mindestens eine Sechs)1 − 25361136
Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs beträgt 11/36, also etwa 30,6 %. Der Umweg über das Gegenereignis spart Arbeit, weil du sonst drei einzelne Pfade – genau eine Sechs beim ersten Wurf, genau eine beim zweiten, oder beide Sechsen – berechnen und addieren müsstest.
Typische Fehler
Ein typischer Fehler: Beim Ziehen ohne Zurücklegen werden in der zweiten Stufe dieselben Wahrscheinlichkeiten wie in der ersten verwendet. Wenn aber eine Kugel fehlt, ändern sich Anzahl und Nenner. Liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln in der Urne und du ziehst zuerst Rot, sind danach nur noch 2 rote von 4 Kugeln übrig.
Ein zweiter Fehler ist, bei „genau einmal“ nur einen der passenden Pfade zu berücksichtigen. Bei „genau einmal Kopf“ gehören sowohl KZ als auch ZK dazu, nicht nur einer von beiden. Wer nur einen Pfad zählt, erhält ein Ergebnis, das nur halb so groß ist wie das richtige.
Ein dritter Fehler ist, die Kontrolle an den Verzweigungspunkten zu vergessen. Die Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die von einem Punkt ausgehen, müssen zusammen immer genau 1 ergeben. Stimmt das nicht, ist irgendwo im Baum ein Fehler passiert, den du vor dem Weiterrechnen korrigieren solltest.
Tipps für die Klassenarbeit
Bei den meisten Aufgaben brauchst du beide Regeln nacheinander. Erst berechnest du mit der ersten Pfadregel jeden passenden Pfad einzeln, dann fasst du sie mit der zweiten zusammen. Markiere dir dafür im Baumdiagramm alle Pfade, die zum gesuchten Ereignis gehören, damit du keinen übersiehst.
Im Alltag begegnen dir mehrstufige Zufallsexperimente öfter, als du denkst: bei zwei Elfmetern hintereinander, bei der Frage, ob es an zwei aufeinanderfolgenden Tagen regnet, oder bei zwei medizinischen Tests, die beide positiv oder negativ ausfallen können. Überall dort hilft ein sauber gezeichnetes Baumdiagramm.
Für die Klassenarbeit lohnt sich immer die Kontrollrechnung: Addiere am Ende alle Pfadwahrscheinlichkeiten deines vollständigen Baums. Kommt dabei genau 1 heraus, hast du wahrscheinlich keinen Pfad vergessen und keine Wahrscheinlichkeit falsch berechnet.
Jetzt bist du dran!
Du würfelst zweimal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zweimal eine Sechs?
Noch nicht. „Zweimal eine Sechs“ ist ein einzelner Pfad, also multiplizierst du nach der ersten Pfadregel: 1/6 · 1/6 = 1/36. Die Würfe beeinflussen sich nicht, deshalb ist die Wahrscheinlichkeit in beiden Stufen gleich.
Das Wichtigste in Kürze
- Ein Baumdiagramm zeigt alle Stufen eines Zufallsexperiments.
- 1. Pfadregel: entlang eines Pfads multiplizieren.
- 2. Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten mehrerer Pfade addieren.
- Ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe.
- Die Äste an einem Verzweigungspunkt ergeben zusammen 1.
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Häufige Fragen zu Baumdiagramme und Pfadregeln
- Wie zeichne ich ein Baumdiagramm?
- Setze links oder oben einen Startpunkt. Zeichne für jedes mögliche Ergebnis der ersten Stufe einen Ast und schreibe die Wahrscheinlichkeit daran. An jedes Astende hängst du die Äste der zweiten Stufe, wieder mit Wahrscheinlichkeiten. Prüfe an jedem Verzweigungspunkt, ob die Äste zusammen 1 ergeben. Am Ende jedes Pfads notierst du das Ergebnis, zum Beispiel „rr“ für zweimal rot.
- Was ist der Unterschied zwischen mit und ohne Zurücklegen?
- Mit Zurücklegen kommt die gezogene Kugel wieder in die Urne, die Wahrscheinlichkeiten bleiben in jeder Stufe gleich. Ohne Zurücklegen fehlt sie danach. Dadurch sinkt die Gesamtzahl um 1, und die Anzahl der gezogenen Farbe ebenfalls. Bei 3 roten und 2 blauen Kugeln ist P(rot, rot) mit Zurücklegen 9/25, ohne Zurücklegen nur 6/20.
- Wann multipliziere ich und wann addiere ich Wahrscheinlichkeiten?
- Du multiplizierst entlang eines Pfads, also wenn mehrere Dinge nacheinander passieren sollen: erst dies und dann das. Du addierst, wenn verschiedene Pfade zum selben Ereignis führen, also bei „oder“. Merkhilfe: Auf dem Weg nach unten wird multipliziert, zwischen den Wegen nebeneinander wird addiert. Viele Aufgaben brauchen beide Regeln in genau dieser Reihenfolge.
- Wie rechne ich „mindestens einmal“ im Baumdiagramm?
- Am schnellsten über das Gegenereignis. Das Gegenteil von „mindestens einmal Sechs“ ist „keinmal Sechs“, und dafür gibt es nur einen einzigen Pfad. Bei zwei Würfen ist das 5/6 · 5/6 = 25/36. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann 1 − 25/36 = 11/36. Das spart dir, drei einzelne Pfade zu berechnen und zu addieren.
- In welcher Klasse kommen Baumdiagramme dran?
- Baumdiagramme und Pfadregeln werden meist in Klasse 7 oder 8 eingeführt, je nach Bundesland und Schulform. Sie bauen auf einfachen Wahrscheinlichkeiten und dem Rechnen mit Brüchen auf. In der Oberstufe kommen sie bei bedingten Wahrscheinlichkeiten und der Binomialverteilung wieder. Wer die beiden Pfadregeln jetzt sicher beherrscht, hat es dort deutlich leichter.
- Wie viele Stufen kann ein Baumdiagramm haben?
- Grundsätzlich beliebig viele, auch wenn in der Schule meist zwei oder drei Stufen gezeichnet werden. Bei mehr Stufen wächst die Anzahl der Pfade schnell an, bei drei Münzwürfen sind es bereits acht Pfade. Die beiden Pfadregeln funktionieren unabhängig von der Anzahl der Stufen immer gleich: entlang eines Pfads multiplizieren, zwischen mehreren Pfaden addieren.
- Was bedeutet „unabhängig“ bei Zufallsexperimenten?
- Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Ergebnis des einen keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des anderen hat. Beim Werfen einer Münze oder eines Würfels mit Zurücklegen ist das der Fall, die Wahrscheinlichkeiten bleiben in jeder Stufe gleich. Beim Ziehen ohne Zurücklegen sind die Züge dagegen nicht unabhängig, weil sich die Zusammensetzung der Urne nach jedem Zug ändert.
- Kann ein Baumdiagramm auch mehr als zwei Ergebnisse pro Stufe haben?
- Ja, ein Baumdiagramm ist nicht auf zwei Äste pro Verzweigung beschränkt. Beim Würfeln gibt es zum Beispiel sechs mögliche Äste pro Stufe, bei einer Ziehung mit drei Farben entsprechend drei Äste. Die Pfadregeln gelten unverändert: Alle Äste an einem Punkt müssen zusammen 1 ergeben, und für jeden Pfad wird weiterhin entlang multipliziert.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.