Die Vierfeldertafel: zwei Merkmale gemeinsam auswerten
In dieser Lektion lernst du, wie du eine Vierfeldertafel für zwei Merkmale mit je zwei Ausprägungen aufstellst und ausfüllst. Du berechnest absolute und relative Häufigkeiten sowie bedingte Wahrscheinlichkeiten und prüfst, ob zwei Merkmale voneinander unabhängig sind.
- Fach: Mathematik
- Klasse 10
- Thema: Stochastik
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Wenn zwei Merkmale gleichzeitig untersucht werden
Ein Baumdiagramm eignet sich gut, um mehrstufige Zufallsexperimente Schritt für Schritt darzustellen. Sobald aber genau zwei Merkmale mit je zwei Ausprägungen gleichzeitig ausgewertet werden sollen, ist eine Vierfeldertafel übersichtlicher. Sie ordnet alle vier möglichen Kombinationen in einer Tabelle mit zwei Zeilen und zwei Spalten an.
Ein Beispiel: An einer Schule mit 200 Schülern wird erfasst, wer ein Fahrrad besitzt und wer ein ÖPNV-Ticket hat. Beide Merkmale haben jeweils zwei Ausprägungen: Fahrrad oder kein Fahrrad, Ticket oder kein Ticket. Daraus ergeben sich vier Gruppen: Fahrrad und Ticket, Fahrrad und kein Ticket, kein Fahrrad und Ticket, kein Fahrrad und kein Ticket.
Die Vierfeldertafel taucht überall dort auf, wo zwei Ja-Nein-Fragen gemeinsam ausgewertet werden: bei medizinischen Tests, wo Testergebnis und tatsächliche Erkrankung verglichen werden, bei Umfragen zu zwei Eigenschaften oder bei Qualitätskontrollen, die zwischen fehlerhaft und in Ordnung sowie zwischen zwei Maschinen unterscheiden.
Aufbau, Randsummen und bedingte Wahrscheinlichkeit
Die vier Innenfelder der Tafel enthalten die absoluten Häufigkeiten jeder Merkmalskombination. Am rechten und unteren Rand stehen die Zeilen- und Spaltensummen, in der Ecke unten rechts die Gesamtsumme aller untersuchten Personen oder Objekte. Jede Zeilensumme und jede Spaltensumme muss zusammen die Gesamtsumme ergeben – das ist die wichtigste Kontrolle beim Ausfüllen.
Aus einer Vierfeldertafel lässt sich auch die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen: Wie wahrscheinlich ist ein Merkmal, wenn das andere bereits bekannt ist. Dafür teilst du das entsprechende Innenfeld durch die passende Randsumme, nicht durch die Gesamtsumme. Willst du wissen, wie viele Fahrrad-Besitzer auch ein Ticket haben, teilst du die Zahl im Feld Fahrrad-und-Ticket durch die Zeilensumme der Fahrrad-Besitzer.
- A
- die Ausprägung, deren Wahrscheinlichkeit gesucht ist
- B
- die bereits bekannte Ausprägung, auf die sich die Bedingung bezieht
- P
- Wahrscheinlichkeit, hier als bedingte Wahrscheinlichkeit
| Ticket | kein Ticket | Summe | |
|---|---|---|---|
| Fahrrad | 50 | 70 | 120 |
| kein Fahrrad | 60 | 20 | 80 |
| Summe | 110 | 90 | 200 |
Beispiel 1: Vierfeldertafel ausfüllen
An einer Schule mit 200 Schülern besitzen 120 ein Fahrrad. Von diesen haben 50 auch ein Ticket. Von den Schülern ohne Fahrrad haben 60 ein Ticket. Fülle die Vierfeldertafel vollständig aus.
Gegeben:
- Gesamt: 200 Schüler
- Fahrrad: 120, davon 50 mit Ticket
- kein Fahrrad: 80, davon 60 mit Ticket
Gesucht:
alle acht Werte der Tafel inklusive RandsummenLösung:
- Randsummen eintragen: Fahrrad 120, kein Fahrrad 200 - 120 = 80
- Fahrrad und Ticket: 50 (gegeben)
- Fahrrad und kein Ticket: 120 - 50 = 70
- kein Fahrrad und Ticket: 60 (gegeben)
- kein Fahrrad und kein Ticket: 80 - 60 = 20
- Spaltensummen prüfen: Ticket 50 + 60 = 110, kein Ticket 70 + 20 = 90
- Gesamtsumme prüfen: 110 + 90200, stimmt
Die vollständige Tafel zeigt 50 Schüler mit Fahrrad und Ticket, 70 mit Fahrrad ohne Ticket, 60 ohne Fahrrad mit Ticket und 20 ohne beides. Die Kontrolle über beide Randsummen und die Gesamtsumme von 200 bestätigt, dass die Tafel korrekt ausgefüllt ist.
Beispiel 2: bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler mit Fahrrad auch ein Ticket hat? Sind die Merkmale Fahrrad und Ticket unabhängig voneinander?
Gegeben:
- Fahrrad und Ticket: 50
- Fahrrad insgesamt: 120
- Ticket insgesamt: 110 von 200
Gesucht:
P(Ticket|Fahrrad) und UnabhängigkeitsprüfungLösung:
- P(Ticket|Fahrrad) = Feld Fahrrad-und-Ticket/Randsumme Fahrrad = 50/120
- 50120 ≈ 0,417, also rund 41,7 %
- P(Ticket) insgesamt1102000,55, also 55 %
- Vergleich: 41,7 % ist ungleich 55 %
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler mit Fahrrad auch ein Ticket hat, beträgt rund 41,7 %. Da dieser Wert von der allgemeinen Ticket-Wahrscheinlichkeit von 55 % abweicht, sind die Merkmale Fahrrad und Ticket nicht unabhängig: Wer ein Fahrrad hat, hat seltener ein Ticket als der Durchschnitt aller Schüler. Bei Unabhängigkeit müssten beide Prozentsätze übereinstimmen.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler bei bedingten Wahrscheinlichkeiten ist, durch die Gesamtsumme statt durch die passende Randsumme zu teilen. Bei P(Ticket|Fahrrad) muss durch 120 geteilt werden, die Zahl der Fahrrad-Besitzer, nicht durch 200, die Gesamtzahl aller Schüler. Wer durch 200 teilt, berechnet stattdessen den Anteil an der Gesamtheit, nicht die bedingte Wahrscheinlichkeit.
Ein zweiter Fehler ist, beim Ausfüllen der Tafel Zeile und Spalte zu verwechseln. Jede Zeile steht für eine Ausprägung des einen Merkmals, jede Spalte für eine Ausprägung des anderen. Wird eine Zahl versehentlich in die falsche Zeile oder Spalte eingetragen, stimmen anschließend beide Randsummen nicht mehr, was sich aber durch die Kontrolle am Ende leicht aufdecken lässt.
Ein dritter Fehler ist, Unabhängigkeit vorschnell anzunehmen. Zwei Merkmale sind nur dann unabhängig, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit exakt mit der unbedingten übereinstimmt. Kleine Abweichungen, wie im Beispiel zwischen 41,7 % und 55 %, bedeuten bereits eine Abhängigkeit, auch wenn der Unterschied klein wirkt.
Tipps für die Klassenarbeit
Zeichne die Vierfeldertafel immer vollständig mit Beschriftung von Zeilen, Spalten und allen Randsummen, auch wenn nur eine einzelne Wahrscheinlichkeit gefragt ist. Das schafft einen Überblick über alle vier Kombinationen und macht Rechenfehler sofort sichtbar.
Achte bei jeder bedingten Wahrscheinlichkeit genau darauf, welches Merkmal die Bedingung ist – sie steht rechts vom senkrechten Strich und bestimmt, durch welche Randsumme geteilt wird. P(A|B) und P(B|A) sind unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten und liefern in der Regel unterschiedliche Werte.
Vierfeldertafeln begegnen dir auch außerhalb der Schule: In der Medizin werden Testergebnis und tatsächliche Erkrankung so gegenübergestellt, um die Zuverlässigkeit eines Tests zu beurteilen. Auch in der Qualitätskontrolle oder bei Marktforschungsumfragen mit zwei Ja-Nein-Fragen wird diese Darstellung verwendet.
Jetzt bist du dran!
In einer Vierfeldertafel mit 150 Personen haben 90 Merkmal A. Von diesen 90 haben 40 auch Merkmal B. Wie viele Personen mit Merkmal A haben Merkmal B nicht?
Das Wichtigste in Kürze
- Eine Vierfeldertafel stellt zwei Merkmale mit je zwei Ausprägungen in vier Innenfeldern gegenüber.
- Zeilen- und Spaltensummen sowie die Gesamtsumme dienen als Kontrolle beim Ausfüllen.
- Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = Feld A-und-B geteilt durch die Randsumme von B.
- Zwei Merkmale sind unabhängig, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit gleich der unbedingten ist.
- Typischer Fehler: bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit durch die Gesamtsumme statt durch die Randsumme der Bedingung teilen.
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Häufige Fragen zu Die Vierfeldertafel: zwei Merkmale gemeinsam auswerten
- Was ist eine Vierfeldertafel?
- Eine Vierfeldertafel ist eine Tabelle, die zwei Merkmale mit je zwei Ausprägungen gegenüberstellt. Sie besteht aus vier Innenfeldern für die Kombinationen sowie Randsummen für die Zeilen und Spalten und einer Gesamtsumme. Sie eignet sich, um Zusammenhänge zwischen zwei Ja-Nein-Merkmalen übersichtlich darzustellen und bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.
- Wie berechnet man eine bedingte Wahrscheinlichkeit aus einer Vierfeldertafel?
- Du teilst das gemeinsame Innenfeld beider Merkmale durch die Randsumme der Bedingung. Für P(B|A) nimmst du das Feld A-und-B und teilst es durch die Zeilen- oder Spaltensumme von A. Wichtig ist, nicht durch die Gesamtsumme zu teilen, denn das würde einen anderen Wert liefern, nämlich den Anteil an der Gesamtheit.
- Was ist der Unterschied zwischen Vierfeldertafel und Baumdiagramm?
- Beide werten Zufallsexperimente mit mehreren Merkmalen aus. Ein Baumdiagramm zeigt Stufen nacheinander und eignet sich auch für mehr als zwei Ausprägungen oder mehr als zwei Merkmale. Die Vierfeldertafel ist auf genau zwei Merkmale mit je zwei Ausprägungen beschränkt, zeigt dafür aber alle Randsummen auf einen Blick.
- Wie prüft man, ob zwei Merkmale unabhängig sind?
- Du vergleichst die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) mit der unbedingten Wahrscheinlichkeit P(B). Sind beide Werte gleich, sind die Merkmale unabhängig, das Eintreten von A verändert die Wahrscheinlichkeit von B also nicht. Weichen die Werte voneinander ab, besteht eine Abhängigkeit zwischen den Merkmalen.
- Wie fülle ich eine Vierfeldertafel aus einer Textaufgabe aus?
- Trage zuerst alle gegebenen Zahlen in die passenden Felder oder Randsummen ein. Berechne dann fehlende Innenfelder, indem du eine Zeilen- oder Spaltensumme von der bekannten Zahl abziehst. Kontrolliere am Ende, ob alle Zeilensummen, Spaltensummen und die Gesamtsumme zueinander passen.
- In welcher Klasse lernt man die Vierfeldertafel?
- Die Vierfeldertafel wird meist in Klasse 10 im Anschluss an Baumdiagramme und bedingte Wahrscheinlichkeit behandelt. Sie ist eine wichtige Grundlage für die Stochastik in der Oberstufe, etwa für Hypothesentests und die Auswertung von Studien in Biologie und Sozialwissenschaften.
- Was bedeuten die Randsummen in einer Vierfeldertafel?
- Die Randsummen zeigen, wie viele Personen oder Objekte insgesamt jede einzelne Ausprägung eines Merkmals haben, unabhängig vom anderen Merkmal. Die Zeilensumme fasst eine Zeile zusammen, die Spaltensumme eine Spalte. Alle Randsummen zusammen ergeben stets die Gesamtsumme aller untersuchten Fälle.
- Kann eine Vierfeldertafel auch mit Prozentangaben statt absoluten Zahlen arbeiten?
- Ja, dazu teilst du jede absolute Häufigkeit durch die Gesamtsumme und erhältst relative Häufigkeiten in Prozent. Die Struktur der Tafel bleibt gleich, nur die Zahlen ändern sich. Relative Häufigkeiten sind besonders praktisch, wenn du Vierfeldertafeln unterschiedlicher Größe miteinander vergleichen willst.
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