Standardabweichung berechnen
Die Standardabweichung berechnen bedeutet, ein Maß dafür zu bestimmen, wie stark die Werte einer Datenreihe im Durchschnitt vom Mittelwert abweichen. In dieser Lektion lernst du die Formel für die Standardabweichung und rechnest sie an einer vollständigen Datenreihe Schritt für Schritt durch.
- Fach: Mathematik
- Klasse 10
- Thema: Stochastik
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Standardabweichung: Wie stark streuen die Werte?
Der Mittelwert einer Datenreihe verrät, wo die Werte im Schnitt liegen, aber nicht, wie unterschiedlich sie tatsächlich sind. Zwei Klassen können in einer Klassenarbeit denselben Notendurchschnitt haben, obwohl in der einen Klasse fast alle ähnlich abgeschnitten haben und in der anderen die Noten stark auseinanderliegen. Die Standardabweichung schließt genau diese Lücke.
Die Standardabweichung gibt an, wie weit die Werte einer Datenreihe im Durchschnitt vom Mittelwert entfernt liegen. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Werte eng um den Mittelwert gruppiert sind, eine große Standardabweichung bedeutet, dass die Werte stark streuen.
In der Praxis wird die Standardabweichung überall dort verwendet, wo Messwerte, Noten, Größen oder Preise verglichen werden sollen. Wetterdienste geben zum Beispiel nicht nur die durchschnittliche Temperatur eines Monats an, sondern oft auch, wie stark die Temperaturen im Laufe des Monats um diesen Durchschnitt geschwankt haben.
Von der Varianz zur Standardabweichung
Um die Standardabweichung zu berechnen, bestimmt man zuerst für jeden Wert einer Datenreihe die Abweichung vom Mittelwert. Da sich positive und negative Abweichungen sonst gegenseitig aufheben würden, wird jede Abweichung quadriert, bevor sie weiterverwendet wird.
Der Mittelwert dieser quadrierten Abweichungen heißt Varianz. Die Varianz allein ist aber schwer zu deuten, weil sie in einer quadrierten Einheit angegeben wird, etwa in Quadratnoten oder Quadratzentimetern. Zieht man aus der Varianz die Wurzel, erhält man die Standardabweichung, die wieder in der ursprünglichen Einheit der Daten angegeben wird.
Die Standardabweichung ist deshalb das gebräuchlichste Streuungsmaß: Sie lässt sich direkt mit den Ausgangswerten vergleichen und zeigt anschaulich, wie weit die Werte im Mittel vom Durchschnitt entfernt liegen.
- s
- Standardabweichung der Datenreihe
- n
- Anzahl der Werte in der Datenreihe
- x
- einzelner Wert der Datenreihe
| Kennwert | Aussage | Beispiel bei 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 |
|---|---|---|
| Spannweite | Abstand zwischen größtem und kleinstem Wert | 9 minus 2 gleich 7 |
| Varianz | Mittlere quadrierte Abweichung vom Mittelwert | 4 |
| Standardabweichung | Wurzel aus der Varianz, in derselben Einheit wie die Daten | 2 |
Beispiel 1: Standardabweichung einer Datenreihe
Berechne die Standardabweichung der Datenreihe 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.
Gegeben:
- Werte: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
- Anzahl der Werte n8
Gesucht:
Standardabweichung sLösung:
- Mittelwert berechnen: Die Summe aller Werte beträgt 40, geteilt durch 8 ergibt den Mittelwert 5.
- Abweichungen bestimmen und quadrieren: Für jeden Wert wird die Differenz zum Mittelwert 5 berechnet und quadriert, das ergibt der Reihe nach 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 und 16.
- Varianz berechnen: Die Summe der quadrierten Abweichungen beträgt 32, geteilt durch 8 ergibt die Varianz 4.
- Wurzel ziehen: Die Wurzel aus 4 ist 2, das ist die Standardabweichung.
Die Standardabweichung der Datenreihe beträgt 2. Das bedeutet, die Werte weichen im Durchschnitt um 2 vom Mittelwert 5 ab, was zu den Werten der Datenreihe gut passt, da die meisten zwischen 4 und 9 liegen.
Beispiel 2: Zwei Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen haben denselben Mittelwert 5 bei einem Test. Gruppe A hat die Werte 4, 5, 5, 6, Gruppe B hat die Werte 1, 3, 7, 9. Welche Gruppe streut stärker?
Gegeben:
- Gruppe A: 4, 5, 5, 6, Mittelwert 5
- Gruppe B: 1, 3, 7, 9, Mittelwert 5
Gesucht:
Vergleich der Streuung beider GruppenLösung:
- Abweichungen von Gruppe A quadrieren: 1, 0, 0, 1, Summe 2, Varianz 2 durch 4 gleich 0,5.
- Abweichungen von Gruppe B quadrieren: 16, 4, 4, 16, Summe 40, Varianz 40 durch 4 gleich 10.
- Standardabweichungen berechnen: Wurzel aus 0,5 ist rund 0,7 für Gruppe A, Wurzel aus 10 ist rund 3,2 für Gruppe B.
Gruppe B streut deutlich stärker als Gruppe A, obwohl beide Gruppen denselben Mittelwert 5 haben. Das zeigt, wie wichtig die Standardabweichung als Ergänzung zum Mittelwert ist, um Datenreihen richtig einzuschätzen.
Typische Fehler bei der Standardabweichung
Der häufigste Fehler ist, das Quadrieren der Abweichungen zu vergessen oder falsch anzuwenden. Ohne das Quadrieren würden sich positive und negative Abweichungen gegenseitig aufheben, und die Summe der Abweichungen wäre immer 0.
Ein zweiter Fehler ist, am Ende die Wurzel zu vergessen und die Varianz als Standardabweichung anzugeben. Die Varianz und die Standardabweichung sind zwei unterschiedliche Kennwerte, die Standardabweichung ist immer die Wurzel aus der Varianz.
Ein dritter Fehler entsteht, wenn bei der Berechnung des Mittelwerts nicht alle Werte berücksichtigt oder falsch addiert werden. Da die gesamte weitere Rechnung auf dem Mittelwert aufbaut, wirkt sich ein Fehler an dieser Stelle auf das gesamte Ergebnis aus.
Tipps für die Klassenarbeit
Lege dir für die Berechnung eine Tabelle mit den Spalten Wert, Abweichung und quadrierte Abweichung an. So behältst du bei mehreren Werten den Überblick und übersiehst keinen Rechenschritt.
Rechne den Mittelwert besonders sorgfältig aus, weil sich ein Fehler an dieser Stelle auf alle folgenden Schritte auswirkt. Am besten addierst du alle Werte zweimal in unterschiedlicher Reihenfolge, um deine Summe zu kontrollieren.
Vergiss am Ende nicht die Wurzel: Erst nach dem Wurzelziehen aus der Varianz hast du die eigentliche Standardabweichung berechnet, nicht schon nach der Berechnung der Varianz.
Jetzt bist du dran!
Berechne den Mittelwert der Datenreihe 3, 5, 7, 9.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Standardabweichung zeigt, wie stark die Werte einer Datenreihe im Durchschnitt vom Mittelwert abweichen.
- Zuerst wird für jeden Wert die Abweichung vom Mittelwert berechnet und quadriert.
- Die Varianz ist der Mittelwert dieser quadrierten Abweichungen.
- Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz und liegt in derselben Einheit wie die Ausgangsdaten.
- Eine kleine Standardabweichung bedeutet enge Streuung, eine große Standardabweichung bedeutet starke Streuung.
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Häufige Fragen zu Standardabweichung berechnen
- Wie berechnet man die Standardabweichung?
- Man berechnet zuerst den Mittelwert der Datenreihe, bestimmt dann für jeden Wert die quadrierte Abweichung vom Mittelwert und mittelt diese Abweichungen zur Varianz. Die Wurzel aus der Varianz ergibt die Standardabweichung.
- Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?
- Die Varianz ist der Mittelwert der quadrierten Abweichungen und wird in einer quadrierten Einheit angegeben. Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz und liegt deshalb in derselben Einheit wie die ursprünglichen Daten, was den Vergleich erleichtert.
- Warum werden die Abweichungen bei der Standardabweichung quadriert?
- Ohne das Quadrieren würden sich positive und negative Abweichungen vom Mittelwert gegenseitig aufheben, sodass die Summe immer 0 ergäbe. Durch das Quadrieren werden alle Abweichungen positiv und lassen sich sinnvoll mitteln.
- Was sagt eine große Standardabweichung aus?
- Eine große Standardabweichung bedeutet, dass die Werte einer Datenreihe stark um den Mittelwert streuen, also weit auseinanderliegen. Eine kleine Standardabweichung zeigt dagegen, dass die Werte eng um den Mittelwert gruppiert sind.
- In welcher Klasse lernt man die Standardabweichung berechnen?
- Die Standardabweichung wird meist in Klasse 10 eingeführt, nachdem Mittelwert, Median und einfache Streuungsmaße wie die Spannweite bereits bekannt sind. Sie ist eine wichtige Grundlage für spätere Themen wie die Normalverteilung.
- Wozu braucht man die Standardabweichung im Alltag?
- Die Standardabweichung wird verwendet, um die Streuung von Messwerten, Noten, Temperaturen oder Aktienkursen zu beschreiben. Sie hilft dabei, einzuschätzen, wie zuverlässig ein Mittelwert die tatsächlichen Werte einer Datenreihe widerspiegelt.
- Kann die Standardabweichung negativ sein?
- Nein, die Standardabweichung kann nie negativ sein, weil sie als Wurzel aus einer Summe von Quadraten berechnet wird und Quadratzahlen immer positiv oder null sind. Der kleinste mögliche Wert der Standardabweichung ist 0, wenn alle Werte identisch sind.
- Wie kontrolliert man ein Ergebnis bei der Standardabweichung?
- Man prüft, ob die berechnete Standardabweichung zur Streuung der Datenreihe passt, indem man sie mit dem Abstand der Werte vom Mittelwert vergleicht. Zusätzlich lässt sich die Rechnung noch einmal Schritt für Schritt mit den Zwischenergebnissen Mittelwert und Varianz kontrollieren.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.