Kumulierte Binomialverteilung berechnen und anwenden
Die kumulierte Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer an und entsteht durch Aufsummieren der Einzelwahrscheinlichkeiten. In dieser Lektion rechnest du Bereichsfragen mit Tabelle und Gegenereignis, siehst zwei vorgerechnete Beispiele und lernst die typischen Fehler bei den Grenzen kennen.
- Fach: Mathematik
- Klasse 12
- Thema: Stochastik
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Schwer
Kumulierte Binomialverteilung: Wahrscheinlichkeiten aufsummieren
Die kumulierte Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Trefferzahl höchstens einen bestimmten Wert k erreicht. Du schreibst sie als P(X ≤ k) und berechnest sie, indem du die Einzelwahrscheinlichkeiten von 0 bis k addierst. Weil das mühsam ist, gibt es dafür Tabellen und den Taschenrechner.
Die einfache Binomialverteilung beantwortet die Frage: Wie wahrscheinlich sind genau k Treffer bei n Versuchen mit der Trefferwahrscheinlichkeit p? Im Alltag fragt man aber meist nach Bereichen: Wie wahrscheinlich sind höchstens drei Fehler, mindestens acht Treffer oder zwischen vier und acht Treffer? Dafür brauchst du die kumulierte Verteilung.
Die Bezeichnung kumuliert heißt angehäuft oder aufsummiert. Die Werte der Verteilungsfunktion F(k) = P(X ≤ k) wachsen mit k immer weiter an und erreichen bei k = n den Wert 1. Das ist sinnvoll, denn mit Sicherheit gibt es höchstens n Treffer. Dieses Verhalten kannst du zur Kontrolle nutzen.
| Schreibweise | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
| P(X = k) | genau k Treffer | P(X = 3) |
| P(X ≤ k) | höchstens k Treffer | P(X ≤ 3) |
| P(X ≥ k) | mindestens k Treffer | P(X ≥ 3) |
| P(a ≤ X ≤ b) | zwischen a und b Treffer | P(4 ≤ X ≤ 8) |
Kumulierte Binomialverteilung: Summe und Umformungen
Die Definition lautet P(X ≤ k) = P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = k). Jede einzelne Wahrscheinlichkeit berechnest du mit der Formel der Binomialverteilung. Meist liest du die Summe aber direkt aus einer Tabelle ab, in der F(k) für verschiedene n und p steht, oder du nutzt die Funktion des Taschenrechners.
Tabellen und Rechner geben nur Werte für höchstens k an. Alle anderen Fragen formst du darauf um. Für mindestens k Treffer nutzt du das Gegenereignis: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Für einen Bereich gilt P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1). Für genau k Treffer gilt P(X = k) = P(X ≤ k) − P(X ≤ k − 1).
Die wichtigste Fehlerquelle liegt bei der unteren Grenze. Bei mindestens k musst du bis k − 1 aufsummieren, denn k selbst soll ja dazugehören. Mache dir das mit einem kleinen Beispiel klar: Mindestens 3 Treffer bedeutet, dass 0, 1 oder 2 Treffer nicht vorkommen. Also ziehst du P(X ≤ 2) von 1 ab.
- P
- Wahrscheinlichkeit
- X
- Zufallsgröße, hier die Trefferzahl
- k
- größte erlaubte Trefferzahl
Beispiel 1: Kumulierte Binomialverteilung von Hand berechnen
Eine faire Münze wird 10-mal geworfen. X ist die Anzahl der Würfe mit Zahl. Berechne die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ 3).
Gegeben:
- n10, p0,5
- gesucht P(X ≤ 3)
Gesucht:
P(X ≤ 3)Lösung:
- Bei p0,5 ist P(Xk)C(10; k) : 1024, denn 0,5¹⁰1 : 1024.
- Binomialkoeffizienten: C(10; 0)1, C(10; 1)10, C(10; 2)45 und C(10; 3)120.
- Aufsummieren: 1 + 10 + 45 + 120176.
- Wahrscheinlichkeit: P(X ≤ 3)176 : 10240,171875.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 17,2 Prozent erhältst du bei 10 Würfen höchstens dreimal Zahl. Die Summe wächst schnell: Schon bei k = 5 ist F(5) ≈ 0,623.
Beispiel 2: Mindestens und zwischen mit der Tabelle
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n = 20 und p = 0,3. Aus der Tabelle: F(3) = 0,1071, F(5) = 0,4164, F(7) = 0,7723 und F(8) = 0,8867. Berechne P(X ≥ 8) und P(4 ≤ X ≤ 8).
Gegeben:
- n20, p0,3
- F(3)0,1071, F(7)0,7723, F(8)0,8867
Gesucht:
P(X ≥ 8) und P(4 ≤ X ≤ 8)Lösung:
- Mindestens 8: P(X ≥ 8)1 − P(X ≤ 7)1 − 0,77230,2277.
- Zwischen 4 und 8: P(4 ≤ X ≤ 8)P(X ≤ 8) − P(X ≤ 3).
- Einsetzen: 0,8867 − 0,10710,7796.
- Kontrolle: Der Bereich 4 bis 8 enthält den Erwartungswert 20 · 0,3 = 6. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit hoch.
Es gilt P(X ≥ 8) = 0,2277 und P(4 ≤ X ≤ 8) = 0,7796. Mit gut 78 Prozent liegt die Trefferzahl also zwischen 4 und 8.
| k | F(k) = P(X ≤ k) | Verwendung |
|---|---|---|
| 3 | 0,1071 | untere Grenze minus 1 |
| 5 | 0,4164 | höchstens 5 |
| 7 | 0,7723 | für mindestens 8 |
| 8 | 0,8867 | obere Grenze |
Typische Fehler bei der kumulierten Binomialverteilung
Der häufigste Fehler ist die verschobene Grenze. Bei mindestens k rechnen viele 1 − P(X ≤ k) und ziehen damit auch den Wert für genau k ab. Richtig ist 1 − P(X ≤ k − 1). Schreibe dir das Gegenereignis aus: Das Gegenteil von mindestens 8 ist höchstens 7.
Der zweite Fehler betrifft den Bereich. Bei P(a ≤ X ≤ b) ziehen viele P(X ≤ a) statt P(X ≤ a − 1) ab. Dadurch fehlt der Wert für genau a. Mit der Zeichnung eines Zahlenstrahls erkennst du den Fehler: Alle Zahlen von a bis b müssen im Ergebnis enthalten sein.
Der dritte Fehler ist die falsche Tabelle. Tabellen sind nach n und p geordnet. Ein Wert aus der Tabelle für p = 0,3 ist für p = 0,7 falsch. Ist p größer als 0,5, nutzen manche Tabellen die Symmetrie: P(X ≤ k) bei p ist 1 − P(X ≤ n − k − 1) bei 1 − p. Prüfe vor dem Ablesen immer n und p.
Kumulierte Binomialverteilung in Klausur und Alltag
In der Klausur sollst du oft Wahrscheinlichkeiten für Bereiche berechnen und ein Ergebnis im Sachzusammenhang deuten. Notiere zuerst n, p und die Zufallsgröße. Forme dann das gesuchte Ereignis in höchstens-Aussagen um und lies die Werte aus der Tabelle oder dem Taschenrechner ab. Den Antwortsatz mit Prozentangabe vergisst du nicht.
Die kumulierte Verteilung ist die Grundlage des Hypothesentests. Dort entscheidest du mit ihr, ab welcher Trefferzahl du eine Annahme verwirfst. Auch bei Qualitätskontrollen, Umfragen und Medikamententests wird sie eingesetzt. Wer sie sicher beherrscht, versteht den Test viel besser.
Beim Würfeln zeigt sich ein klassisches Beispiel. Du würfelst 10-mal und fragst nach mindestens einer Sechs. Das Gegenereignis ist keine Sechs. Es gilt P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (5/6)¹⁰ ≈ 0,8385. Die Chance auf mindestens eine Sechs liegt also bei etwa 84 Prozent.
Jetzt bist du dran!
Wie berechnest du P(X ≥ 5) mit der kumulierten Verteilung?
Noch nicht. Das Gegenereignis von mindestens 5 ist höchstens 4. Deshalb gilt P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4).
Das Wichtigste in Kürze
- Die kumulierte Binomialverteilung P(X ≤ k) addiert die Einzelwahrscheinlichkeiten von 0 bis k.
- Höchstens k liest du direkt ab. Mindestens k berechnest du als 1 − P(X ≤ k − 1).
- Für einen Bereich gilt P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1).
- F(k) wächst mit k und erreicht bei k = n den Wert 1.
- Typischer Fehler: bei mindestens k und bei Bereichen die untere Grenze um 1 zu groß wählen.
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Häufige Fragen zu Kumulierte Binomialverteilung berechnen und anwenden
- Was ist die kumulierte Binomialverteilung?
- Die kumulierte Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ k) an, dass bei n Versuchen höchstens k Treffer auftreten. Sie entsteht, indem du die Wahrscheinlichkeiten für 0, 1, ... bis k Treffer addierst.
- Wie berechnet man P(X ≥ k) mit der kumulierten Verteilung?
- Du nutzt das Gegenereignis: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Das Gegenteil von mindestens k Treffern ist höchstens k − 1 Treffer. Den Wert P(X ≤ k − 1) liest du aus der Tabelle ab.
- Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich?
- Für P(a ≤ X ≤ b) rechnest du P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1). Von allen Werten bis b ziehst du die Werte ab, die kleiner als a sind. So bleiben genau die Trefferzahlen von a bis b.
- Wie benutzt man die Tabelle der kumulierten Binomialverteilung?
- Du suchst die Tabelle für dein n und dein p, gehst zur Zeile für k und liest F(k) = P(X ≤ k) ab. Aus diesen Werten berechnest du alle anderen Wahrscheinlichkeiten durch Umformen mit dem Gegenereignis.
- Was ist der Unterschied zwischen Binomialverteilung und kumulierter Binomialverteilung?
- Die Binomialverteilung gibt P(X = k) für genau k Treffer an. Die kumulierte Verteilung gibt P(X ≤ k) für höchstens k Treffer an und ist die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten bis k.
- Wie berechne ich P(X = k) aus der kumulierten Verteilung?
- Du subtrahierst: P(X = k) = P(X ≤ k) − P(X ≤ k − 1). Aus F(6) = 0,6080 und F(5) = 0,4164 bei n = 20 und p = 0,3 wird P(X = 6) = 0,1916. Das ist praktisch, wenn nur die Summentabelle vorliegt.
- Wofür braucht man die kumulierte Binomialverteilung im Hypothesentest?
- Mit ihr bestimmst du, ab welcher Trefferzahl du eine Nullhypothese ablehnst. Die Wahrscheinlichkeit für extreme Ergebnisse berechnest du als P(X ≤ k) oder P(X ≥ k). Das Signifikanzniveau legt fest, wie klein sie sein muss.
- In welcher Klasse lernt man die kumulierte Binomialverteilung?
- Sie steht meist in Klasse 12 im Lehrplan, nach der Binomialverteilung und vor dem Hypothesentest. In vielen Bundesländern ist sie Pflichtstoff im Abitur und wird mit Tabellen oder dem Taschenrechner gerechnet.
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