Dreisatz
In dieser Lektion lernst du, wie du mit dem Dreisatz von einer gegebenen Menge auf eine gesuchte schließt. Du unterscheidest den proportionalen vom umgekehrt proportionalen Fall und erkennst, woran du beide auseinanderhältst.
- Fach: Mathematik
- Klasse 7
- Thema: Prozentrechnung
- Dauer: 15 Min
- Niveau: Einfach
Über die Einheit zum Ergebnis
Der Dreisatz ist ein Rechenweg in drei Zeilen. In der ersten Zeile steht, was du weißt. In der zweiten rechnest du auf eine einzige Einheit herunter – ein Stück, eine Minute, ein Kilogramm. In der dritten rechnest du von dieser Einheit auf die gesuchte Menge hoch. Dieser Umweg über die Eins ist der ganze Trick: Sobald du den Wert für eins kennst, ist jede andere Menge nur noch eine Multiplikation.
Entscheidend ist, ob die beiden Größen proportional zusammenhängen. Proportional bedeutet: doppelt so viel von der einen Größe, doppelt so viel von der anderen. Sechs Brötchen kosten doppelt so viel wie drei. Hier teilst du in der Mittelzeile und multiplizierst danach. Diesen Fall nennt man auch „je mehr, desto mehr“.
Beim umgekehrt proportionalen Dreisatz gilt „je mehr, desto weniger“. Arbeiten doppelt so viele Maler an einer Wand, brauchen sie halb so lange. Hier dreht sich die Rechnung: In der Mittelzeile multiplizierst du, danach teilst du. Der typische Fehler besteht darin, beide Fälle gleich zu behandeln und stur zu teilen. Prüfe das Ergebnis deshalb immer mit einer Überschlagsfrage: Muss die gesuchte Zahl größer oder kleiner werden als die gegebene?
Proportional oder umgekehrt proportional?
Beide Fälle sehen in der Aufgabe fast gleich aus, werden aber unterschiedlich gerechnet. Entscheide zuerst, welcher Fall vorliegt, und rechne erst dann.
Proportional – je mehr, desto mehr
Wenn sich beide Größen im gleichen Verhältnis ändern. Erst durch die gegebene Anzahl teilen, dann mit der gesuchten multiplizieren.
Beispiele
- 3 Brötchen kosten 1,50 € – was kosten 7 Brötchen?
- In 2 h fährt ein Zug 160 km – wie weit in 5 h?
- 4 m Stoff wiegen 600 g – wie viel wiegen 9 m?
Signalwörter
- kosten
- pro Stück
- in dieser Zeit
- wiegen
- Menge und Preis
Umgekehrt proportional – je mehr, desto weniger
Wenn eine Größe größer wird, während die andere im gleichen Verhältnis kleiner wird. Erst multiplizieren, dann teilen.
Beispiele
- 4 Arbeiter brauchen 6 Tage – wie lange brauchen 8?
- Ein Vorrat reicht 12 Tieren 10 Tage – wie lange bei 15 Tieren?
- Bei 60 km/h dauert die Fahrt 3 h – wie lange bei 90 km/h?
Signalwörter
- brauchen … Tage
- Vorrat reicht
- Geschwindigkeit und Dauer
- mehr Helfer
- aufteilen
Proportionaler Dreisatz
5 Hefte kosten 7,50 €. Wie viel kosten 8 Hefte?
Gegeben:
- 5 Hefte kosten 7,50 €
Gesucht:
Preis für 8 HefteLösung:
- 5 Hefte kosten 7,50 €
- 1 Heft kostet 7,50 €51,50 €
- 8 Hefte kosten 8 · 1,50 €
- 8 Hefte kosten 12 €
Acht Hefte kosten 12 €. Das Ergebnis ist größer als 7,50 €, und das passt: mehr Hefte, mehr Geld.
Jetzt bist du dran!
3 kg Äpfel kosten 5,40 €. Wie viel kosten 7 kg?
Das Wichtigste in Kürze
- Der Dreisatz rechnet in drei Zeilen über den Wert für eine Einheit.
- Proportional („je mehr, desto mehr“): erst teilen, dann multiplizieren.
- Umgekehrt proportional („je mehr, desto weniger“): erst multiplizieren, dann teilen.
- Entscheide vor dem Rechnen, welcher der beiden Fälle vorliegt.
- Typischer Fehler: immer zu teilen. Prüfe am Ende, ob das Ergebnis größer oder kleiner sein muss.
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Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Das solltest du vorher können
- Brüche und Dezimalzahlenin Arbeit
- Schriftlich multiplizieren und dividierenin Arbeit