Dreisatz

Der Dreisatz ist ein Rechenweg in drei Zeilen. In der ersten Zeile steht, was du weißt. In der zweiten rechnest du auf eine einzige Einheit herunter – ein Stück, eine Minute, ein Kilogramm. In der dritten rechnest du von dieser Einheit auf die gesuchte Menge hoch. Dieser Umweg über die Eins ist der ganze Trick: Sobald du den Wert für eins kennst, ist jede andere Menge nur noch eine Multiplikation.

Entscheidend ist, ob die beiden Größen proportional zusammenhängen. Proportional bedeutet: doppelt so viel von der einen Größe, doppelt so viel von der anderen. Sechs Brötchen kosten doppelt so viel wie drei. Hier teilst du in der Mittelzeile und multiplizierst danach. Diesen Fall nennt man auch „je mehr, desto mehr“. Du begegnest ihm beim Einkaufen, beim Umrechnen von Rezepten für mehr Personen oder beim Tanken.

Beim umgekehrt proportionalen Dreisatz gilt „je mehr, desto weniger“. Arbeiten doppelt so viele Maler an einer Wand, brauchen sie halb so lange. Hier dreht sich die Rechnung: In der Mittelzeile multiplizierst du, danach teilst du. Der Grund: Die Gesamtarbeit bleibt gleich, sie wird nur auf mehr oder weniger Schultern verteilt. Ein einzelner Maler bräuchte also viel länger als die ganze Gruppe.

Der typische Fehler besteht darin, beide Fälle gleich zu behandeln und stur zu teilen. Wer bei „4 Arbeiter brauchen 9 Tage, wie lange brauchen 6?“ proportional rechnet, kommt auf 13,5 Tage – mehr Arbeiter würden also länger brauchen, was offensichtlich unsinnig ist. Prüfe das Ergebnis deshalb immer mit einer Überschlagsfrage: Muss die gesuchte Zahl größer oder kleiner werden als die gegebene?

Der mit Abstand häufigste Fehler ist, den Dreisatz immer gleich zu rechnen, egal ob proportional oder umgekehrt proportional. Wer bei einer Arbeiter-Zeit-Aufgabe reflexartig teilt, weil das beim Einkaufen immer funktioniert hat, bekommt ein Ergebnis, das die Aufgabe auf den Kopf stellt: mehr Helfer würden angeblich länger brauchen. Bestimme deshalb vor jeder Rechnung bewusst den Fall, bevor du überhaupt eine Zahl einsetzt.

Ein zweiter Fehler ist das Verrutschen der Spalten. Wenn du Menge und Wert nicht sauber untereinanderschreibst, gerätst du durcheinander, welche Zahl du gerade durch welche teilst. Schreibe deshalb immer in zwei klar getrennten Spalten: links die eine Größe, rechts die andere, Zeile für Zeile.

Ein dritter Fehler betrifft das Runden. Wird bei einer Zwischenrechnung zu früh und zu grob gerundet, etwa 1,333 € auf 1,30 € statt auf 1,33 €, verschiebt sich das Endergebnis merklich. Runde deshalb erst am Ende der Rechnung, oder mindestens auf zwei Nachkommastellen bei Zwischenschritten mit Geldbeträgen.

Lies die Aufgabe zweimal, bevor du rechnest, und formuliere in eigenen Worten, was passiert, wenn sich die erste Größe verdoppelt. Diese eine Überlegung entscheidet über den ganzen Rechenweg und dauert nur wenige Sekunden, erspart dir aber den häufigsten Fehler überhaupt.

Schreibe die Einheiten in jeder Zeile mit, auch wenn es mehr Schreibarbeit bedeutet. So siehst du sofort, ob am Ende Euro, Tage oder Kilogramm herauskommen, und erkennst Verwechslungen, bevor sie zum falschen Endergebnis führen. Prüfe zum Schluss immer mit einem Überschlag, ob die Größenordnung des Ergebnisses überhaupt plausibel ist.

Der Dreisatz begegnet dir weit über die Mathestunde hinaus. Beim Kochen rechnest du Zutatenmengen für mehr oder weniger Personen um, beim Reisen rechnest du Fremdwährungen anhand eines Wechselkurses um, und beim Tanken berechnest du, wie weit eine bestimmte Menge Kraftstoff reicht. Wer den Dreisatz sicher beherrscht, braucht für solche Alltagsfragen keine Formelsammlung.