Logarithmusgesetze: Regeln, Beispiele und Übungen
Logarithmusgesetze sind drei Rechenregeln, mit denen du Produkte, Quotienten und Potenzen im Logarithmus in Summen, Differenzen und Faktoren verwandelst. Du lernst das Produkt-, Quotienten- und Potenzgesetz sowie den Basiswechsel, rechnest zwei Beispiele vor und löst eine Logarithmusgleichung samt Probe. Dazu kommen fünf Aufgaben.
- Fach: Mathematik
- Klasse 11
- Thema: Terme
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Logarithmusgesetze: Warum sie aus den Potenzgesetzen folgen
Der Logarithmus logₐ(x) gibt an, mit welcher Zahl du die Basis a potenzieren musst, um x zu erhalten. Wegen log₂(8) = 3 gilt 2³ = 8. Die Logarithmusgesetze sind nichts anderes als die Potenzgesetze in anderer Schreibweise: Beim Malnehmen von Potenzen addierst du die Exponenten, und der Logarithmus ist genau so ein Exponent.
Das siehst du an einem Beispiel. Es gilt 8 · 4 = 32. Mit der Basis 2 sind das 2³ · 2² = 2⁵. Die Exponenten 3 und 2 addieren sich zu 5. Auf den Logarithmus übersetzt heißt das log₂(8 · 4) = log₂(8) + log₂(4) = 3 + 2 = 5. Aus einem Produkt im Logarithmus wird eine Summe.
Genauso wird aus einem Quotienten eine Differenz, weil du beim Teilen von Potenzen die Exponenten subtrahierst. Und aus einer Potenz im Logarithmus wird ein Faktor, weil du beim Potenzieren einer Potenz die Exponenten multiplizierst. Wer diese Verbindung versteht, muss die Regeln nicht auswendig lernen, sondern kann sie herleiten.
Wofür braucht man die Gesetze? Sie vereinfachen Terme mit Logarithmen und sind der Schlüssel zum Lösen von Logarithmusgleichungen. Früher haben sie sogar das Rechnen revolutioniert: Mit Logarithmentafeln wurden Multiplikationen auf Additionen zurückgeführt. Heute helfen sie vor allem beim Umformen von Termen in der Analysis und bei Wachstumsmodellen.
| Potenzgesetz | Logarithmusgesetz | Name |
|---|---|---|
| aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | logₐ(u · v) = logₐ(u) + logₐ(v) | Produktgesetz |
| aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | logₐ(u : v) = logₐ(u) − logₐ(v) | Quotientengesetz |
| (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ | logₐ(uʳ) = r · logₐ(u) | Potenzgesetz |
Logarithmusgesetze mit Formel: Produkt, Quotient, Potenz
Das Produktgesetz lautet logₐ(u · v) = logₐ(u) + logₐ(v). Es gilt für alle positiven u und v und eine Basis a > 0 mit a ≠ 1. Du kannst es in beide Richtungen nutzen: von links nach rechts zerlegst du ein Produkt, von rechts nach links fasst du zwei Logarithmen zu einem zusammen.
Das Quotientengesetz folgt dem gleichen Muster: logₐ(u : v) = logₐ(u) − logₐ(v). Das Potenzgesetz lautet logₐ(uʳ) = r · logₐ(u). Besonders nützlich ist es für Wurzeln, denn √u = u^(1/2) liefert logₐ(√u) = ½ · logₐ(u). Beide Gesetze gelten wieder nur für positive Argumente.
Dazu kommen zwei Sonderwerte: logₐ(1) = 0, weil a⁰ = 1 ist, und logₐ(a) = 1, weil a¹ = a ist. Für den Taschenrechner gilt der Basiswechsel logₐ(x) = ln(x) : ln(a). So berechnest du log₂(10) = ln(10) : ln(2) ≈ 3,32, obwohl der Rechner keine Taste für die Basis 2 hat.
- a
- Basis, positiv und ungleich 1
- u
- Erstes Argument, größer als 0
- v
- Zweites Argument, größer als 0
- r
- Exponent beim Potenzgesetz
Beispiel 1: Logarithmusgesetze zum Zusammenfassen
Fasse zusammen und berechne ohne Taschenrechner: a) log₂(4) + log₂(8), b) log₃(54) − log₃(2), c) 3 · log₂(4).
Gegeben:
- a) log₂(4) + log₂(8)
- b) log₃(54) − log₃(2)
- c) 3 · log₂(4)
Gesucht:
Werte der drei TermeLösung:
- a) Produktgesetz rückwärts: log₂(4) + log₂(8) = log₂(4 · 8) = log₂(32) = 5, denn 2⁵ = 32.
- b) Quotientengesetz rückwärts: log₃(54) − log₃(2) = log₃(54 : 2) = log₃(27) = 3, denn 3³ = 27.
- c) Potenzgesetz rückwärts: 3 · log₂(4) = log₂(4³) = log₂(64) = 6, denn 2⁶ = 64.
- Kontrolle durch Einzelwerte: log₂(4) = 2 und log₂(8) = 3 ergeben 5. Außerdem ist 3 · 2 = 6.
Die Ergebnisse sind a) 5, b) 3 und c) 6. Jedes Mal wurde zuerst ein einziger Logarithmus gebildet und dann als Exponent ausgewertet.
| Aufgabe | Zusammengefasst | Wert |
|---|---|---|
| a) | log₂(32) | 5 |
| b) | log₃(27) | 3 |
| c) | log₂(64) | 6 |
Beispiel 2: Logarithmusgleichung lösen
Löse log₂(x) + log₂(x − 2) = 3.
Gegeben:
- log₂(x) + log₂(x − 2)3
- Definitionsmenge: x > 2
Gesucht:
Lösung xLösung:
- Definitionsmenge: Beide Argumente müssen positiv sein, also x > 0 und x − 2 > 0. Zusammen gilt x > 2.
- Produktgesetz: log₂(x · (x − 2)) = 3. Wandle in die Exponentialform um: x · (x − 2) = 2³ = 8.
- Löse die quadratische Gleichung: x² − 2x − 8 = 0. Mit der pq-Formel folgt x = 1 ± 3, also x = 4 oder x = −2.
- Probe an der Definitionsmenge: x = −2 liegt nicht in x > 2 und fällt weg. Für x = 4 gilt log₂(4) + log₂(2) = 2 + 1 = 3.
Die einzige Lösung ist x = 4. Die zweite Lösung x = −2 ist wegen der Definitionsmenge ausgeschlossen, denn dort wäre das Argument negativ.
Typische Fehler bei den Logarithmusgesetzen
Der häufigste Fehler ist die erfundene Summenregel. Viele schreiben logₐ(u + v) = logₐ(u) + logₐ(v), weil sie das Produktgesetz auf die Summe übertragen. Das ist falsch: Beispielsweise ist log₂(4 + 4) = log₂(8) = 3, aber log₂(4) + log₂(4) = 2 + 2 = 4. Probiere stets ein Zahlenbeispiel aus, wenn du dir unsicher bist. Für Summen im Argument gibt es keine Vereinfachung.
Der zweite Fehler ist, den Potenzfaktor falsch zu platzieren. logₐ(uʳ) = r · logₐ(u) gilt, wenn nur u potenziert wird. Bei (logₐ u)ʳ passiert etwas ganz anderes, hier lässt sich nichts herausziehen. Auch die Verwechslung von logₐ(u) : logₐ(v) mit logₐ(u : v) tritt oft auf. Der Quotient der Logarithmen ist nicht der Logarithmus des Quotienten, sondern bei gleicher Basis ein Basiswechsel.
Der dritte Fehler ist, bei Gleichungen die Definitionsmenge zu vergessen. Nach dem Zusammenfassen sieht die Gleichung harmlos aus, aber durch das Umformen können Lösungen entstehen, die das Original nicht erfüllen. Setze jede Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein und streiche alles, was zu einem Logarithmus von null oder einer negativen Zahl führt.
Logarithmusgesetze in Klausur und Anwendung
In Klausuren tauchen die Gesetze in drei Formen auf: als Term, der zusammengefasst oder zerlegt werden soll, als Logarithmusgleichung mit Definitionsmenge und als Exponentialgleichung, die du durch Logarithmieren löst. Bei der letzten Form hilft das Potenzgesetz, denn aus 2ˣ = 10 wird x · log(2) = log(10), also x = log(10) : log(2). Das Ergebnis liest du am Taschenrechner ab.
Der Basiswechsel ist der Schlüssel zum Taschenrechner, weil er nur ln und lg kennt. Bei Zinsrechnungen und Wachstumsvorgängen fragst du oft, wann ein Wert sich verdoppelt: Das ist eine Exponentialgleichung, die du mit dem Logarithmus löst. Bei Halbwertszeiten ist es genauso.
Auch außerhalb der Schule begegnen dir Logarithmen. Das Dezibel misst Lautstärke, die Richterskala die Stärke von Erdbeben, und der pH-Wert die Säurekonzentration. Jedes Mal wird eine Größe in einem logarithmischen Maßstab angegeben, damit riesige Unterschiede in einer übersichtlichen Zahl Platz haben.
Jetzt bist du dran!
Welche Gleichung beschreibt das Produktgesetz?
Noch nicht. Beim Produktgesetz wird aus dem Produkt im Logarithmus eine Summe. Die Summe im Argument lässt sich dagegen nicht zerlegen.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Logarithmusgesetze folgen aus den Potenzgesetzen: Produkt wird Summe, Quotient wird Differenz, Potenz wird Faktor.
- Produktgesetz: logₐ(u · v) = logₐ(u) + logₐ(v). Quotientengesetz: logₐ(u : v) = logₐ(u) − logₐ(v). Potenzgesetz: logₐ(uʳ) = r · logₐ(u).
- Die Argumente müssen positiv sein, die Basis ist positiv und ungleich 1.
- Basiswechsel: logₐ(x) = ln(x) : ln(a). Damit rechnest du jede Basis am Taschenrechner.
- Typischer Fehler: logₐ(u + v) zerlegen oder bei Gleichungen die Definitionsmenge vergessen.
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Häufige Fragen zu Logarithmusgesetze: Regeln, Beispiele und Übungen
- Welche Logarithmusgesetze gibt es?
- Es gibt drei Hauptgesetze: das Produktgesetz logₐ(u · v) = logₐ(u) + logₐ(v), das Quotientengesetz logₐ(u : v) = logₐ(u) − logₐ(v) und das Potenzgesetz logₐ(uʳ) = r · logₐ(u). Dazu kommen der Basiswechsel und die Sonderwerte logₐ(1) = 0 und logₐ(a) = 1.
- Wie lautet das Logarithmusgesetz für das Produkt?
- Das Produktgesetz sagt, dass der Logarithmus eines Produkts die Summe der Logarithmen ist: logₐ(u · v) = logₐ(u) + logₐ(v). Es gilt für positive u und v. Beispiel: log₂(8 · 4) = log₂(8) + log₂(4) = 3 + 2 = 5.
- Warum gilt logₐ(u + v) nicht als Summe der Logarithmen?
- Weil die Logarithmusgesetze aus den Potenzgesetzen folgen und diese keine Regel für Summen kennen. Ein Beispiel zeigt es: log₂(4 + 4) = log₂(8) = 3, aber log₂(4) + log₂(4) = 4. Für Summen im Argument gibt es keine Vereinfachung.
- Wie funktioniert der Basiswechsel beim Logarithmus?
- Mit dem Basiswechsel schreibst du logₐ(x) = ln(x) : ln(a) oder mit lg statt ln. So rechnest du jede Basis mit dem Taschenrechner aus, der meist nur ln und lg hat. Beispiel: log₂(10) = ln(10) : ln(2) ≈ 3,32.
- Was ist der Logarithmus von 1?
- Der Logarithmus von 1 ist für jede Basis null, denn a⁰ = 1. Ebenso gilt logₐ(a) = 1, weil a¹ = a ist. Diese beiden Werte helfen beim Vereinfachen, zum Beispiel beim Auflösen von Termen mit logₐ(a³) = 3.
- Wie löse ich Logarithmusgleichungen?
- Du bestimmst zuerst die Definitionsmenge, bei der alle Argumente positiv sein müssen. Dann fasst du mit den Logarithmusgesetzen zu einem Logarithmus zusammen, wandelst in die Exponentialform um und löst die entstehende Gleichung. Zum Schluss prüfst du, ob die Lösungen in der Definitionsmenge liegen.
- Wie löse ich Exponentialgleichungen mit Logarithmusgesetzen?
- Du logarithmierst beide Seiten und ziehst den Exponenten mit dem Potenzgesetz nach vorn. Aus 2ˣ = 10 wird x · log(2) = log(10), also x = log(10) : log(2) ≈ 3,32. Mit ln oder lg am Taschenrechner bekommst du das Ergebnis direkt.
- In welcher Klasse lernt man Logarithmusgesetze?
- Der Logarithmus kommt meist in Klasse 10 oder 11 vor, die Logarithmusgesetze in der Einführungsphase der Oberstufe. Sie bauen auf den Potenzgesetzen und auf den Exponentialfunktionen auf und werden später bei der e-Funktion und der Logarithmusfunktion gebraucht.
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