Potenzgesetze
Potenzgesetze sind feste Rechenregeln, mit denen du Terme mit Potenzen vereinfachst, ohne jede Potenz einzeln auszurechnen. In dieser Lektion lernst du die Regeln für die Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis sowie für das Potenzieren einer Potenz und für Potenzen mit gleichem Exponenten.
- Fach: Mathematik
- Klasse 9
- Thema: Terme
- Dauer: 18 Min
- Niveau: Mittel
Potenzgesetze: Rechenregeln für Terme mit Potenzen
Potenzgesetze sind Regeln, mit denen sich Terme, die aus Potenzen bestehen, vereinfachen, zusammenfassen oder umformen lassen. Sie funktionieren ähnlich wie die Wurzelgesetze, nur dass hier Exponenten addiert, subtrahiert oder multipliziert werden, statt Radikanden zu verrechnen.
Diese Regeln sind besonders wichtig, wenn Zahlen sehr groß oder sehr klein werden, etwa in der Naturwissenschaft, wo Größen wie die Anzahl von Atomen oder die Entfernung zu Sternen mit Zehnerpotenzen angegeben werden. Ohne Potenzgesetze müsste man solche Zahlen jedes Mal vollständig ausmultiplizieren.
Wichtig ist, dass die Potenzgesetze für Multiplikation und Division nur gelten, wenn entweder die Basis oder der Exponent bei beiden Potenzen übereinstimmt. Stimmt weder die Basis noch der Exponent überein, lässt sich der Term im Allgemeinen nicht mit den Potenzgesetzen vereinfachen.
Die vier wichtigsten Potenzgesetze
Werden zwei Potenzen mit gleicher Basis multipliziert, werden die Exponenten addiert: a hoch m mal a hoch n ist gleich a hoch (m plus n). Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten dagegen subtrahiert: a hoch m durch a hoch n ist gleich a hoch (m minus n).
Wird eine Potenz selbst noch einmal potenziert, werden die beiden Exponenten miteinander multipliziert: (a hoch m) hoch n ist gleich a hoch (m mal n). Dieses Gesetz wird oft mit der Multiplikationsregel verwechselt, deshalb lohnt sich ein genauer Blick auf die Klammersetzung.
Haben zwei Potenzen denselben Exponenten, aber unterschiedliche Basen, dürfen die Basen zuerst miteinander verrechnet werden: a hoch n mal b hoch n ist gleich (a mal b) hoch n. Dieses Gesetz ist besonders praktisch, wenn die Basen zusammen eine runde Zahl ergeben.
- a
- gemeinsame Basis beider Potenzen
- m
- erster Exponent
- n
- zweiter Exponent
| Regel | Gesetz | Beispiel |
|---|---|---|
| Produkt gleicher Basis | a hoch m mal a hoch n = a hoch (m plus n) | 2 hoch 3 mal 2 hoch 4 = 2 hoch 7 = 128 |
| Quotient gleicher Basis | a hoch m durch a hoch n = a hoch (m minus n) | 3 hoch 5 durch 3 hoch 2 = 3 hoch 3 = 27 |
| Potenz einer Potenz | (a hoch m) hoch n = a hoch (m mal n) | (2 hoch 3) hoch 2 = 2 hoch 6 = 64 |
| Produkt gleicher Exponenten | a hoch n mal b hoch n = (a mal b) hoch n | 2 hoch 3 mal 5 hoch 3 = 10 hoch 3 = 1000 |
Beispiel 1: Produkt zweier Potenzen mit gleicher Basis
Vereinfache 2 hoch 3 mal 2 hoch 4.
Gegeben:
- Basis a2
- Exponenten m3 und n4
Gesucht:
Vereinfachter Wert des ProduktsLösung:
- Basen vergleichen: Beide Potenzen haben die Basis 2, das Gesetz für gleiche Basis ist anwendbar.
- Exponenten addieren: 3 plus 4 ergibt 7.
- Ergebnis notieren: 2 hoch 3 mal 2 hoch 4 wird zu 2 hoch 7.
- 2 hoch 7 ausrechnen: Das ergibt 128.
2 hoch 3 mal 2 hoch 4 ergibt 128. Zur Kontrolle lässt sich auch direkt rechnen: 2 hoch 3 ist 8 und 2 hoch 4 ist 16, und 8 mal 16 ergibt ebenfalls 128.
Beispiel 2: Potenz einer Potenz
Vereinfache (2 hoch 3) hoch 2.
Gegeben:
- Basis a2
- Innerer Exponent m3
- Äußerer Exponent n2
Gesucht:
Vereinfachter Wert der Potenz einer PotenzLösung:
- Gesetz anwenden: (a hoch m) hoch n wird zu a hoch (m mal n).
- Exponenten multiplizieren: 3 mal 2 ergibt 6.
- Ergebnis notieren: (2 hoch 3) hoch 2 wird zu 2 hoch 6.
- 2 hoch 6 ausrechnen: Das ergibt 64.
(2 hoch 3) hoch 2 ergibt 64. Rechnet man stattdessen zuerst die innere Potenz aus, erhält man 2 hoch 3 gleich 8, und 8 hoch 2 ergibt ebenfalls 64, was das Ergebnis bestätigt.
Typische Fehler bei Potenzgesetzen
Der häufigste Fehler ist, die Exponenten zu multiplizieren statt zu addieren, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden. 2 hoch 3 mal 2 hoch 4 ist nicht 2 hoch 12, sondern 2 hoch 7, weil bei der Multiplikation die Exponenten addiert werden.
Ein zweiter Fehler ist, das Gesetz für die Potenz einer Potenz mit dem Gesetz für das Produkt gleicher Basis zu verwechseln. Bei (a hoch m) hoch n werden die Exponenten multipliziert, bei a hoch m mal a hoch n werden sie addiert.
Ein dritter Fehler passiert, wenn die Potenzgesetze auf Potenzen mit unterschiedlicher Basis und unterschiedlichem Exponenten angewendet werden. Bei 2 hoch 3 mal 5 hoch 4 stimmt weder die Basis noch der Exponent überein, deshalb lässt sich dieser Term mit den Potenzgesetzen nicht vereinfachen.
Tipps für die Klassenarbeit
Prüfe bei jeder Aufgabe zuerst, ob die Basen oder die Exponenten übereinstimmen, bevor du ein Potenzgesetz anwendest. Nur bei einer dieser beiden Übereinstimmungen lässt sich der Term mit den Potenzgesetzen vereinfachen.
Merke dir die Zuordnung: Bei gleicher Basis wird mit den Exponenten addiert oder subtrahiert, bei einer Potenz einer Potenz wird mit den Exponenten multipliziert. Diese klare Trennung verhindert die häufigste Verwechslung.
Kontrolliere dein Ergebnis bei kleineren Zahlen, indem du die ursprünglichen Potenzen einzeln ausrechnest und miteinander verrechnest. Stimmt das Ergebnis mit deiner vereinfachten Potenz überein, hast du richtig gerechnet.
Jetzt bist du dran!
Vereinfache 3 hoch 2 mal 3 hoch 3 zu einer einzigen Potenz mit Basis 3 und gib den Exponenten an.
Das Wichtigste in Kürze
- Bei Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten bei der Multiplikation addiert und bei der Division subtrahiert.
- Wird eine Potenz erneut potenziert, werden die Exponenten miteinander multipliziert.
- Haben zwei Potenzen denselben Exponenten, dürfen die Basen zuerst miteinander verrechnet werden.
- Alle Potenzgesetze für Multiplikation und Division gelten nur bei gleicher Basis oder gleichem Exponenten.
- Ein Ergebnis lässt sich kontrollieren, indem man die ursprünglichen Potenzen einzeln ausrechnet.
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Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Potenzgesetze
- Was sind Potenzgesetze?
- Potenzgesetze sind feste Rechenregeln, mit denen sich Terme mit Potenzen vereinfachen, zusammenfassen oder umformen lassen. Sie beschreiben, wie sich Potenzen bei Multiplikation, Division und erneutem Potenzieren verhalten.
- Wie multipliziert man Potenzen mit gleicher Basis?
- Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert: a hoch m mal a hoch n ist gleich a hoch (m plus n). Zum Beispiel wird aus 2 hoch 3 mal 2 hoch 4 die Potenz 2 hoch 7, also 128.
- Wie dividiert man Potenzen mit gleicher Basis?
- Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert: a hoch m durch a hoch n ist gleich a hoch (m minus n). Zum Beispiel wird aus 3 hoch 5 durch 3 hoch 2 die Potenz 3 hoch 3, also 27.
- Was bedeutet eine Potenz einer Potenz?
- Eine Potenz einer Potenz entsteht, wenn eine bereits potenzierte Zahl noch einmal potenziert wird, geschrieben als (a hoch m) hoch n. In diesem Fall werden die beiden Exponenten miteinander multipliziert, also a hoch (m mal n).
- Gelten die Potenzgesetze auch bei unterschiedlicher Basis und unterschiedlichem Exponenten?
- Nein, die Potenzgesetze für Multiplikation und Division lassen sich nur anwenden, wenn entweder die Basis oder der Exponent bei beiden Potenzen übereinstimmt. Stimmt keines von beidem überein, lässt sich der Term im Allgemeinen nicht direkt vereinfachen.
- In welcher Klasse werden Potenzgesetze unterrichtet?
- Potenzgesetze werden meist in Klasse 9 vertieft, nachdem die Grundlagen der Potenzrechnung bereits bekannt sind. Sie bilden eine wichtige Grundlage für spätere Themen wie Wurzelgesetze, Exponentialfunktionen und den Logarithmus.
- Wozu braucht man Potenzgesetze im Alltag?
- Potenzgesetze helfen dabei, sehr große oder sehr kleine Zahlen übersichtlich zu berechnen, etwa in der Informatik bei Speichergrößen oder in den Naturwissenschaften bei extrem großen oder kleinen Größenordnungen. Ohne die Gesetze müsste man solche Zahlen jedes Mal vollständig ausmultiplizieren.
- Wie prüft man, ob ein Term mit Potenzgesetzen richtig vereinfacht wurde?
- Man rechnet die ursprünglichen Potenzen bei kleineren Zahlen einzeln aus und vergleicht das Ergebnis mit dem vereinfachten Term. Stimmen beide Werte überein, wurde der Term korrekt vereinfacht, andernfalls ist bei der Anwendung der Potenzgesetze ein Fehler unterlaufen.
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