Wurzelgesetze
Wurzelgesetze sind feste Rechenregeln, mit denen du Wurzelterme vereinfachst, zusammenfasst oder auseinanderziehst, ohne den Taschenrechner zu benutzen. In dieser Lektion lernst du die Produktregel, die Quotientenregel und die Potenzregel für Wurzeln sowie die Grenzen, innerhalb derer diese Regeln überhaupt gelten.
- Fach: Mathematik
- Klasse 9
- Thema: Zahlenräume
- Dauer: 18 Min
- Niveau: Mittel
Wurzelgesetze: Rechenregeln für Wurzelterme
Wurzelgesetze sind Regeln, mit denen du Terme mit Wurzeln umformen kannst, ähnlich wie die Potenzgesetze bei Termen mit Exponenten. Sie erlauben es dir, zwei Wurzeln zu einer zusammenzufassen, eine Wurzel in zwei Teile zu zerlegen oder einen Faktor vor die Wurzel zu ziehen.
Diese Regeln sind besonders nützlich, wenn du ohne Taschenrechner rechnen musst oder wenn ein Ergebnis in einer bestimmten, vereinfachten Form angegeben werden soll. Statt Wurzel aus 8 stehen zu lassen, kannst du mit den Wurzelgesetzen zeigen, dass sich das zu 2 mal Wurzel aus 2 vereinfachen lässt.
Wichtig ist dabei, dass die Wurzelgesetze nicht für beliebige Zahlen gelten, sondern nur unter bestimmten Bedingungen, etwa dass die Zahl unter der Wurzel, der sogenannte Radikand, nicht negativ sein darf. Diese Einschränkung wird häufig vergessen und führt sonst zu falschen Ergebnissen.
Produktregel, Quotientenregel und Potenzregel
Die Produktregel besagt, dass das Produkt zweier Wurzeln gleich der Wurzel aus dem Produkt der beiden Radikanden ist. Aus Wurzel aus a mal Wurzel aus b wird also Wurzel aus (a mal b), solange a und b beide nicht negativ sind.
Die Quotientenregel funktioniert nach demselben Prinzip für die Division: Wurzel aus a durch Wurzel aus b ist gleich Wurzel aus (a durch b), sofern b nicht 0 ist. Beide Regeln lassen sich in beide Richtungen anwenden, also sowohl zum Zusammenfassen als auch zum Auseinanderziehen von Wurzeln.
Die Potenzregel schließlich beschreibt, was passiert, wenn eine Wurzel potenziert wird: Wurzel aus a hoch n ist gleich Wurzel aus (a hoch n). Zieht man umgekehrt eine Wurzel aus einer bereits gezogenen Wurzel, entsteht eine Wurzel mit höherem Grad, etwa die vierte Wurzel, wenn zweimal die Quadratwurzel gezogen wird.
- a
- erster Radikand, a ist größer oder gleich 0
- b
- zweiter Radikand, b ist größer oder gleich 0
| Regel | Gesetz | Beispiel |
|---|---|---|
| Produktregel | Wurzel aus a mal Wurzel aus b = Wurzel aus (a mal b) | Wurzel aus 4 mal Wurzel aus 9 = Wurzel aus 36 = 6 |
| Quotientenregel | Wurzel aus a durch Wurzel aus b = Wurzel aus (a durch b) | Wurzel aus 100 durch Wurzel aus 4 = Wurzel aus 25 = 5 |
| Potenzregel | Wurzel aus a, hoch n = Wurzel aus (a hoch n) | Wurzel aus 3, hoch 2 = Wurzel aus 9 = 3 |
Beispiel 1: Ein Produkt aus zwei Wurzeln
Vereinfache Wurzel aus 8 mal Wurzel aus 2.
Gegeben:
- Erster Radikand a8
- Zweiter Radikand b2
Gesucht:
Vereinfachter Wert des ProduktsLösung:
- Produktregel anwenden: Wurzel aus 8 mal Wurzel aus 2 wird zu Wurzel aus (8 mal 2).
- Produkt unter der Wurzel berechnen: 8 mal 2 ergibt 16.
- Wurzel ziehen: Wurzel aus 16 ist 4, denn 4 mal 4 ergibt 16.
Wurzel aus 8 mal Wurzel aus 2 ergibt 4. Zur Kontrolle lässt sich das Ergebnis quadrieren: 4 hoch 2 ist 16, und 16 ist tatsächlich das Produkt der beiden ursprünglichen Radikanden 8 und 2.
Beispiel 2: Teilweises Radizieren
Vereinfache Wurzel aus 200, indem du eine Quadratzahl aus dem Radikanden herausziehst.
Gegeben:
- Radikand200
Gesucht:
Vereinfachter WurzeltermLösung:
- 200 als Produkt aus einer Quadratzahl und einem Rest schreiben: 200 = 100 mal 2.
- Produktregel anwenden: Wurzel aus 200 wird zu Wurzel aus 100 mal Wurzel aus 2.
- Quadratwurzel der Quadratzahl ziehen: Wurzel aus 100 ist 10.
- Ergebnis zusammensetzen: Es bleibt 10 mal Wurzel aus 2 stehen.
Wurzel aus 200 lässt sich zu 10 mal Wurzel aus 2 vereinfachen. Diese Form heißt teilweise radiziert, weil aus dem Radikanden alles herausgezogen wurde, was eine Quadratzahl ist, während der Rest unter der Wurzel stehen bleibt.
Typische Fehler bei Wurzelgesetzen
Der häufigste Fehler ist, die Produktregel fälschlicherweise auch auf Summen anzuwenden. Wurzel aus (a plus b) ist nicht dasselbe wie Wurzel aus a plus Wurzel aus b, wie ein einfaches Zahlenbeispiel zeigt: Wurzel aus (9 plus 16) ist Wurzel aus 25, also 5, während Wurzel aus 9 plus Wurzel aus 16 gleich 3 plus 4, also 7 ergibt. Eine Summenregel für Wurzeln gibt es nicht.
Ein zweiter Fehler ist, die Bedingung nichtnegativer Radikanden zu übersehen. Bei negativen Zahlen unter der Wurzel darf man die Produkt- oder Quotientenregel nicht anwenden, weil im Bereich der reellen Zahlen keine Wurzel aus einer negativen Zahl existiert.
Ein dritter Fehler passiert beim teilweisen Radizieren, wenn nicht die größtmögliche Quadratzahl aus dem Radikanden herausgezogen wird. Wer bei Wurzel aus 200 nur den Faktor 4 statt 100 herauszieht, muss anschließend noch weiter vereinfachen, was zusätzliche Rechenschritte kostet.
Tipps für die Klassenarbeit
Suche beim teilweisen Radizieren zuerst nach der größten Quadratzahl, die im Radikanden als Faktor steckt, etwa 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 oder 100. Je größer die gefundene Quadratzahl, desto weniger Rechenschritte brauchst du danach noch.
Prüfe bei jeder Aufgabe zuerst, ob überhaupt eine der drei Regeln anwendbar ist, bevor du zu rechnen beginnst. Steht eine Summe oder Differenz unter der Wurzel, hilft dir keine der Produkt-, Quotienten- oder Potenzregeln direkt weiter.
Kontrolliere dein Endergebnis, indem du es quadrierst und mit dem ursprünglichen Radikanden vergleichst. Stimmen beide Werte überein, hast du richtig vereinfacht, andernfalls lohnt sich ein zweiter Blick auf deinen Rechenweg.
Jetzt bist du dran!
Vereinfache Wurzel aus 5 mal Wurzel aus 20 zu einer ganzen Zahl.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Produktregel besagt: Wurzel aus a mal Wurzel aus b ist gleich Wurzel aus (a mal b).
- Die Quotientenregel besagt: Wurzel aus a durch Wurzel aus b ist gleich Wurzel aus (a durch b).
- Die Potenzregel verbindet Wurzeln und Potenzen: Wurzel aus a, hoch n ist gleich Wurzel aus (a hoch n).
- Alle Wurzelgesetze für Produkt und Quotient gelten nur bei nichtnegativen Radikanden.
- Für Summen und Differenzen unter der Wurzel gibt es keine entsprechende Zusammenfassungsregel.
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Häufige Fragen zu Wurzelgesetze
- Was sind Wurzelgesetze?
- Wurzelgesetze sind feste Rechenregeln, mit denen sich Terme mit Wurzeln vereinfachen, zusammenfassen oder auseinanderziehen lassen. Die wichtigsten sind die Produktregel, die Quotientenregel und die Potenzregel, die jeweils beschreiben, wie sich Wurzeln bei Multiplikation, Division und Potenzieren verhalten.
- Wie lautet die Produktregel für Wurzeln?
- Die Produktregel besagt, dass das Produkt zweier Wurzeln gleich der Wurzel aus dem Produkt ihrer Radikanden ist: Wurzel aus a mal Wurzel aus b ist gleich Wurzel aus (a mal b). Diese Regel gilt nur, wenn a und b nicht negativ sind, und lässt sich in beide Richtungen anwenden.
- Gibt es auch eine Summenregel für Wurzeln?
- Nein, es gibt keine Regel, mit der man Wurzel aus (a plus b) zu Wurzel aus a plus Wurzel aus b umformen darf. Die Wurzelgesetze gelten ausschließlich für Multiplikation und Division, nicht für Addition und Subtraktion unter der Wurzel.
- Was ist teilweises Radizieren?
- Teilweises Radizieren bedeutet, aus einem Radikanden eine enthaltene Quadratzahl herauszuziehen, um den Wurzelterm zu vereinfachen. Aus Wurzel aus 50 wird so zum Beispiel 5 mal Wurzel aus 2, weil 50 als 25 mal 2 geschrieben und die Wurzel aus 25 direkt gezogen werden kann.
- Warum gelten die Wurzelgesetze nur für nichtnegative Zahlen?
- Im Bereich der reellen Zahlen ist eine Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert, weil es keine reelle Zahl gibt, die mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt. Deshalb setzen die Wurzelgesetze für Produkt und Quotient voraus, dass die beteiligten Radikanden größer oder gleich 0 sind.
- Wie hängen Wurzelgesetze und Potenzgesetze zusammen?
- Eine Wurzel lässt sich immer auch als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben, zum Beispiel entspricht die Quadratwurzel dem Exponenten ein halb. Deshalb lassen sich viele Wurzelgesetze direkt aus den bekannten Potenzgesetzen ableiten, wenn man Wurzeln als solche Potenzen auffasst.
- In welcher Klasse werden Wurzelgesetze unterrichtet?
- Wurzelgesetze werden meist in Klasse 9 behandelt, nachdem die Grundlagen des Wurzelziehens und der Quadratzahlen bereits bekannt sind. Sie bilden eine wichtige Grundlage für spätere Themen wie die Mitternachtsformel, reelle Zahlen und quadratische Gleichungen.
- Wie prüft man, ob ein Wurzelterm richtig vereinfacht wurde?
- Man quadriert das vereinfachte Ergebnis und vergleicht es mit dem ursprünglichen Radikanden. Stimmen beide Werte überein, wurde der Term korrekt vereinfacht, andernfalls ist bei der Anwendung der Wurzelgesetze ein Fehler unterlaufen.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.