Reelle Zahlen: rational und irrational
In dieser Lektion lernst du, warum die rationalen Zahlen allein nicht ausreichen und wie die irrationalen Zahlen den Zahlenstrahl vollständig auffüllen. Du siehst am Beispiel der Wurzel aus 2, warum diese Zahl sich nicht als Bruch schreiben lässt, und ordnest Zahlen in das System der reellen Zahlen ein.
- Fach: Mathematik
- Klasse 9
- Thema: Zahlenräume
- Dauer: 18 Min
- Niveau: Mittel
Warum reichen Brüche nicht für alle Zahlen?
Bisher kanntest du vor allem rationale Zahlen: alle Zahlen, die sich als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben lassen, also als p/q mit q ungleich 0. Dazu gehören ganze Zahlen wie −3, Brüche wie 3/4 und auch alle endlichen oder periodischen Dezimalzahlen wie 0,75 oder 0,333… Diese Zahlen liegen dicht auf dem Zahlenstrahl, zwischen zwei rationalen Zahlen findet man immer noch unendlich viele weitere.
Trotzdem füllen die rationalen Zahlen den Zahlenstrahl nicht vollständig aus. Berechnest du die Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge 1, erhältst du nach dem Satz des Pythagoras die Wurzel aus 2. Diese Zahl lässt sich, wie ein berühmter Beweis zeigt, durch keinen Bruch ganzer Zahlen exakt darstellen. Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich lang und wiederholt sich nie periodisch: 1,41421356… Solche Zahlen nennt man irrational.
Die Vereinigung aus rationalen und irrationalen Zahlen bildet die Menge der reellen Zahlen. Sie füllt den Zahlenstrahl lückenlos aus: Zu jedem Punkt auf dem Zahlenstrahl gehört genau eine reelle Zahl, und zu jeder reellen Zahl gehört genau ein Punkt. Neben Wurzeln aus Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, gehört auch die Kreiszahl (das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises) zu den irrationalen Zahlen.
Rationale und irrationale Zahlen im Vergleich
Der entscheidende Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen liegt in ihrer Dezimaldarstellung. Eine rationale Zahl hat entweder eine endliche Dezimaldarstellung, wie 0,25, oder eine unendliche, aber periodische Darstellung, wie 0,166666… Eine irrationale Zahl dagegen hat unendlich viele Nachkommastellen, ohne dass sich jemals ein Block von Ziffern wiederholt.
In der Praxis erkennst du irrationale Zahlen meist an bestimmten Bauformen: Wurzeln aus Zahlen, die keine Quadratzahlen sind (Wurzel aus 2, Wurzel aus 3, Wurzel aus 5), die Kreiszahl und die eulersche Zahl. Wurzeln aus Quadratzahlen wie 4, 9 oder 16 sind dagegen rational, denn Wurzel aus 9 ist genau 3, also eine ganze Zahl.
Rationale Zahlen
Zahl lässt sich als Bruch ganzer Zahlen schreiben
Beispiele
- 1/2 = 0,5
- 2/3 = 0,666…
- Wurzel aus 16 = 4
Signalwörter
- endliche Dezimalzahl
- periodische Dezimalzahl
- Bruch zweier ganzer Zahlen
Irrationale Zahlen
Zahl lässt sich durch keinen Bruch ganzer Zahlen exakt darstellen
Beispiele
- Wurzel aus 2 = 1,41421356…
- Kreiszahl = 3,14159265…
- Wurzel aus 3 = 1,7320508…
Signalwörter
- unendliche, nicht periodische Dezimalzahl
- Wurzel aus einer Nicht-Quadratzahl
- keine Bruchdarstellung möglich
| Zahlenbereich | Beispiel | Teilmenge von |
|---|---|---|
| natürliche Zahlen | 0, 1, 2, 3, … | ganze Zahlen |
| ganze Zahlen | …, −2, −1, 0, 1, 2, … | rationale Zahlen |
| rationale Zahlen | 3/4, −2, 0,25 | reelle Zahlen |
| irrationale Zahlen | Wurzel aus 2, Kreiszahl | reelle Zahlen |
Beispiel 1: Warum die Wurzel aus 2 irrational ist
Zeige, dass sich die Wurzel aus 2 nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen ohne gemeinsamen Teiler schreiben lässt.
Gegeben:
- Annahme: Wurzel aus 2 = p/q, vollständig gekürzt, p und q ganzzahlig
Gesucht:
Widerspruch zur AnnahmeLösung:
- Annahme quadrieren: 2p²q², also p²2 · q²
- p² ist damit gerade, also muss auch p gerade sein (das Quadrat einer ungeraden Zahl ist stets ungerade)
- p durch 2 · k ersetzen: (2k)² = 2 · q², also 4k² = 2q², also q² = 2k²
- q² ist ebenfalls gerade, also ist auch q gerade
- Widerspruch: p und q wären beide gerade und hätten den gemeinsamen Teiler 2, obwohl der Bruch vollständig gekürzt sein sollte
Die Annahme führt zu einem Widerspruch, also kann die Wurzel aus 2 nicht als gekürzter Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. Dieser sogenannte Widerspruchsbeweis ist einer der ältesten mathematischen Beweise überhaupt und zeigte den antiken Griechen erstmals, dass es Zahlen jenseits der Brüche geben muss.
Beispiel 2: Zahlen in das Zahlensystem einordnen
Ordne die Zahlen −5, 0,75, Wurzel aus 9, Wurzel aus 7 und die Kreiszahl den passenden Zahlenmengen zu.
Gegeben:
- −5
- 0,75
- Wurzel aus 9
- Wurzel aus 7
- Kreiszahl
Gesucht:
Zuordnung zu natürlich, ganz, rational oder irrationalLösung:
- −5 ist eine ganze Zahl, aber keine natürliche Zahl, da sie negativ ist
- 0,75 ist eine endliche Dezimalzahl, also eine rationale Zahl (0,75 = 3/4)
- Wurzel aus 9 = 3, eine natürliche und damit auch rationale Zahl, weil 9 eine Quadratzahl ist
- Wurzel aus 7 lässt sich nicht als Bruch schreiben, weil 7 keine Quadratzahl ist, also irrational
- Die Kreiszahl ist eine irrationale Zahl mit unendlicher, nicht periodischer Dezimaldarstellung
Alle fünf Zahlen sind reelle Zahlen, aber sie gehören zu unterschiedlichen Teilmengen: −5 ist ganz, 0,75 und Wurzel aus 9 sind rational, Wurzel aus 7 und die Kreiszahl sind irrational. Diese Einordnung zeigt, wie die verschiedenen Zahlenmengen ineinander verschachtelt sind wie Schichten einer Zwiebel.
Typische Fehler
Ein häufiger Fehler ist, jede Wurzel automatisch für irrational zu halten. Wurzeln aus Quadratzahlen wie 4, 9, 16, 25 oder 100 ergeben immer eine ganze Zahl und sind damit rational. Prüfe deshalb bei jeder Wurzel zuerst, ob die Zahl darunter eine Quadratzahl ist, bevor du sie als irrational einstufst.
Ein zweiter Fehler ist die Verwechslung von periodischen und irrationalen Dezimalzahlen. Eine Zahl wie 0,121212… mit sich wiederholendem Block ist trotz ihrer unendlich vielen Nachkommastellen rational, denn sie lässt sich als Bruch schreiben (hier als 4/33). Irrational sind nur Zahlen, deren Nachkommastellen niemals ein sich wiederholendes Muster bilden.
Ein dritter Fehler ist zu glauben, ein Taschenrechner könne beweisen, dass eine Zahl irrational ist. Ein Taschenrechner zeigt nur endlich viele Nachkommastellen an und kann nicht erkennen, ob sich irgendwann ein periodisches Muster einstellt. Ob eine Zahl irrational ist, muss man mathematisch beweisen, wie im Fall der Wurzel aus 2, nicht durch bloßes Hinschauen auf die angezeigten Ziffern.
Tipps für die Klassenarbeit
Lerne die Quadratzahlen von 1 bis 15 auswendig (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225), denn damit erkennst du sofort, ob eine Wurzel rational ist. Das spart in der Klassenarbeit wertvolle Zeit und verhindert Fehleinschätzungen bei Aufgaben zur Zahlbereichseinordnung.
Wenn du eine Zahl einordnen sollst, gehe systematisch von außen nach innen vor: Prüfe zuerst, ob die Zahl überhaupt reell ist (bei Schulaufgaben immer der Fall), dann ob sie rational oder irrational ist, und bei rationalen Zahlen schließlich, ob sie sogar ganz oder natürlich ist. Diese Reihenfolge verhindert, dass du eine Zuordnung überspringst.
Bei Beweisaufgaben zur Irrationalität, wie dem Beweis für die Wurzel aus 2, hilft es, den Beweis in klar benannte Schritte zu gliedern: Annahme, Umformung, Schlussfolgerung, Widerspruch. Lerne den Beweisaufbau für die Wurzel aus 2 als Muster, denn er lässt sich auf ähnliche Wurzeln wie Wurzel aus 3 oder Wurzel aus 5 übertragen.
Jetzt bist du dran!
Welche der folgenden Zahlen ist rational?
Noch nicht. 36 ist eine Quadratzahl (6 · 6 = 36), also ist Wurzel aus 36 genau 6, eine ganze und damit rationale Zahl. Die anderen drei Zahlen sind irrational, weil weder 2 noch 7 Quadratzahlen sind und die Kreiszahl generell nicht als Bruch darstellbar ist.
Das Wichtigste in Kürze
- Rationale Zahlen lassen sich als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben, ihre Dezimaldarstellung ist endlich oder periodisch.
- Irrationale Zahlen lassen sich durch keinen Bruch exakt darstellen, ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch.
- Rationale und irrationale Zahlen zusammen bilden die reellen Zahlen und füllen den Zahlenstrahl lückenlos aus.
- Wurzeln aus Quadratzahlen sind rational, Wurzeln aus allen anderen positiven Zahlen sind irrational.
- Typischer Fehler: jede Wurzel oder jede unendliche Dezimalzahl automatisch für irrational halten, ohne auf Quadratzahlen oder Perioden zu prüfen.
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Häufige Fragen zu Reelle Zahlen: rational und irrational
- Was ist der Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen?
- Rationale Zahlen lassen sich als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben und haben eine endliche oder periodische Dezimaldarstellung. Irrationale Zahlen lassen sich durch keinen solchen Bruch exakt darstellen, ihre Dezimalstellen sind unendlich lang und wiederholen sich nie periodisch. Beide Arten zusammen bilden die reellen Zahlen.
- Warum ist die Wurzel aus 2 irrational?
- Ein Widerspruchsbeweis zeigt: Nimmt man an, Wurzel aus 2 ließe sich als vollständig gekürzter Bruch p/q schreiben, führt das Quadrieren zu der Erkenntnis, dass sowohl p als auch q gerade sein müssten. Das widerspricht aber der Annahme, dass der Bruch vollständig gekürzt ist, denn dann hätten beide Zahlen den gemeinsamen Teiler 2.
- Sind alle Wurzeln irrational?
- Nein, nur Wurzeln aus Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, wie Wurzel aus 2, Wurzel aus 3 oder Wurzel aus 5. Wurzeln aus Quadratzahlen wie 4, 9, 16 oder 25 ergeben ganze Zahlen und sind damit rational. Man muss also vor jeder Einordnung prüfen, ob die Zahl unter der Wurzel eine Quadratzahl ist.
- Was sind reelle Zahlen?
- Die reellen Zahlen sind die Vereinigung aller rationalen und aller irrationalen Zahlen. Sie entsprechen genau allen Punkten auf dem Zahlenstrahl, es gibt keine Lücken. Zu jeder Dezimalzahl, egal wie ihre Nachkommastellen aussehen, gehört eine reelle Zahl, und umgekehrt.
- In welcher Klasse lernt man reelle Zahlen und irrationale Zahlen?
- Das Thema wird meist in Klasse 9 eingeführt, im Zusammenhang mit dem Wurzelziehen und dem Satz des Pythagoras. Voraussetzung ist sicheres Rechnen mit Brüchen, Dezimalzahlen und Quadratzahlen. Später sind reelle Zahlen die Grundlage für Funktionen, Analysis und alle weiteren mathematischen Zahlbereiche in der Oberstufe.
- Ist die Kreiszahl eine rationale oder irrationale Zahl?
- Die Kreiszahl ist irrational, sogar noch mehr: Sie ist eine sogenannte transzendente Zahl, was bedeutet, dass sie nicht einmal Lösung einer Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten sein kann. Ihre Dezimaldarstellung 3,14159265… ist unendlich lang und zeigt kein periodisches Muster.
- Wie erkennt man, ob eine Dezimalzahl rational ist?
- Eine Dezimalzahl ist rational, wenn sie entweder nach endlich vielen Stellen abbricht oder sich ab einer bestimmten Stelle ein Ziffernblock periodisch wiederholt. Findet man dagegen kein Muster, das sich beliebig oft wiederholt, handelt es sich vermutlich um eine irrationale Zahl, auch wenn sich das in der Praxis oft erst mathematisch beweisen lässt.
- Kann man irrationale Zahlen exakt auf dem Zahlenstrahl einzeichnen?
- Ja, mit geometrischen Konstruktionen. Die Wurzel aus 2 lässt sich zum Beispiel als Diagonale eines Einheitsquadrats konstruieren: Zeichnest du ein Quadrat mit Seitenlänge 1 und schlägst mit dem Zirkel einen Bogen von einer Ecke über die Diagonale zum Zahlenstrahl, markierst du den exakten Punkt für Wurzel aus 2, obwohl sich die Zahl selbst nicht vollständig als Dezimalzahl aufschreiben lässt.
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