Exponentialgleichungen mit dem Logarithmus lösen
In dieser Lektion lernst du, wie du Gleichungen löst, bei denen die gesuchte Variable im Exponenten steht. Mit dem Logarithmus holst du die Variable aus dem Exponenten herunter und rechnest die Gleichung wie eine gewöhnliche lineare Gleichung fertig.
- Fach: Mathematik
- Klasse 10
- Thema: Terme und Gleichungen
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Schwer
Wenn die Unbekannte im Exponenten steht
Bei einer normalen Gleichung wie 3 · x = 12 steht die Unbekannte als Faktor, und du löst sie durch Division. Bei einer Exponentialgleichung wie 2^x = 32 steht die Unbekannte x dagegen im Exponenten. Mit den bisherigen Rechenregeln für lineare Gleichungen kommst du hier nicht weiter, denn Division oder Multiplikation ziehen die Variable nicht aus dem Exponenten heraus.
Für solche Gleichungen brauchst du den Logarithmus, die Umkehroperation zum Potenzieren. Der Logarithmus beantwortet die Frage: Mit welchem Exponenten muss ich eine bestimmte Basis potenzieren, um eine gegebene Zahl zu erhalten? Bei 2^x = 32 fragt der Logarithmus also: Mit welchem Exponenten ergibt 2 die Zahl 32? Die Antwort ist 5, denn 2^5 = 32.
Exponentialgleichungen tauchen überall dort auf, wo etwas mit einer festen Rate wächst oder schrumpft: bei Zinseszins, radioaktivem Zerfall, Bakterienwachstum oder der Abkühlung einer Flüssigkeit. Meist ist dabei nicht sofort erkennbar, welcher Exponent zur gesuchten Zahl gehört, deshalb ist der Logarithmus ein unverzichtbares Werkzeug, um solche Gleichungen systematisch zu lösen.
Exponentialgleichungen mit dem Logarithmus lösen
Um eine Gleichung der Form b^x = a nach x aufzulösen, wendest du auf beiden Seiten den Logarithmus an. In der Schule wird meist der dekadische Logarithmus (lg, Basis 10) oder der natürliche Logarithmus (ln, Basis e) verwendet, weil beide auf jedem Taschenrechner direkt verfügbar sind. Nach dem Logarithmieren nutzt du die Potenzregel des Logarithmus, um den Exponenten x als Faktor vor den Logarithmus zu ziehen.
Damit wird aus der ursprünglichen Exponentialgleichung eine normale, nach x auflösbare Gleichung: x · lg(b) = lg(a), und damit x = lg(a)/lg(b). Dieser Weg funktioniert für jede Basis b, solange b positiv und ungleich 1 ist, denn nur dann ist die Exponentialfunktion umkehrbar und der Logarithmus definiert.
- a
- Zahl, die durch b hoch x entstehen soll (rechte Seite der Gleichung)
- b
- Basis der Exponentialgleichung
- x
- gesuchter Exponent
| Schritt | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
| Logarithmieren | lg(b^x) = lg(a) | x · lg(b) = lg(a) |
| Nach x auflösen | x = lg(a)/lg(b) | Exponent als Bruch aus zwei Logarithmen |
| Mit Taschenrechner berechnen | lg(a) und lg(b) eingeben, dividieren | Dezimalzahl für x |
Beispiel 1: Eine einfache Exponentialgleichung lösen
Löse die Gleichung 5^x = 200.
Gegeben:
- 5^x200
Gesucht:
xLösung:
- Logarithmus auf beiden Seiten anwenden: lg(5^x) = lg(200)
- Potenzregel des Logarithmus anwenden: x · lg(5) = lg(200)
- Nach x auflösen: xlg(200)lg(5)
- Werte einsetzen und mit dem Taschenrechner berechnen: x = 2,301/0,699
- x ≈ 3,29
Die Lösung ist x ≈ 3,29. Zur Kontrolle rechnest du 5^3,29 mit dem Taschenrechner nach und erhältst ungefähr 200, was die Lösung bestätigt. Da 5³ = 125 und 5⁴ = 625 ist, liegt die Lösung sinnvollerweise zwischen 3 und 4, was als grobe Plausibilitätsprüfung schon vor der genauen Rechnung möglich ist.
Beispiel 2: Wachstumsaufgabe mit Exponentialgleichung
Eine Bakterienkultur mit 500 Bakterien wächst um 8 % pro Stunde. Nach wie vielen Stunden hat sich der Bestand verdoppelt?
Gegeben:
- Startbestand: 500 Bakterien
- Wachstumsrate: 8 % pro Stunde
- gesuchter Bestand: 1000 Bakterien
Gesucht:
Zeit t in StundenLösung:
- Wachstumsgleichung aufstellen: 500 · 1,08^t1000
- Durch 500 teilen: 1,08^t2
- Logarithmus anwenden: t · lg(1,08)lg(2)
- Nach t auflösen: tlg(2)lg(1,08)
- t ≈ 9,01 Stunden
Nach etwa 9 Stunden hat sich die Bakterienkultur verdoppelt. Diese Zeit nennt man auch Verdopplungszeit, sie hängt nur von der Wachstumsrate ab, nicht vom Startbestand, denn der Startbestand kürzt sich beim Teilen durch 500 bereits heraus.
Typische Fehler
Ein häufiger Fehler ist, den Logarithmus falsch anzuwenden, etwa lg(a)/lg(b) mit lg(a/b) zu verwechseln. Diese beiden Ausdrücke sind grundverschieden: lg(a)/lg(b) ist eine Division zweier Logarithmuswerte, lg(a/b) ist der Logarithmus eines Bruchs. Nur die erste Form löst die Exponentialgleichung, die zweite Umformung ist bei diesem Aufgabentyp nicht anwendbar.
Ein zweiter Fehler ist, die Potenzregel falsch zu übertragen, also lg(b^x) fälschlicherweise als x + lg(b) statt als x · lg(b) zu schreiben. Die Potenzregel des Logarithmus besagt aber: Der Exponent wird zu einem Faktor vor dem Logarithmus, nicht zu einem Summanden. Diese Verwechslung mit der Produktregel führt zu einem völlig falschen Ergebnis.
Ein dritter Fehler ist, das Ergebnis zu stark zu runden und dann eine falsche Kontrolle vorzunehmen. Rechnest du mit x = 3,3 statt x = 3,29 weiter, weichen die Kontrollrechnung und der tatsächliche Wert der ursprünglichen Gleichung merklich voneinander ab. Runde deshalb erst im letzten Schritt, und behalte während der Rechnung möglichst viele Nachkommastellen bei.
Tipps für die Klassenarbeit
Prüfe vor jeder Rechnung, ob die Variable tatsächlich im Exponenten steht, denn nur dann brauchst du den Logarithmus. Steht die Variable in der Basis, wie bei x³ = 27, löst du die Gleichung stattdessen durch Wurzelziehen, nicht durch Logarithmieren. Diese Unterscheidung entscheidet über die richtige Lösungsmethode.
Mache dir vor der genauen Rechnung immer eine grobe Abschätzung, zwischen welchen ganzen Zahlen die Lösung liegen muss, indem du benachbarte Potenzen der Basis berechnest. Das hilft dir, offensichtliche Rechenfehler beim Logarithmieren sofort zu erkennen, wenn dein Ergebnis weit außerhalb dieser Schätzung liegt.
Bei Sachaufgaben zu Wachstum und Zerfall stelle zunächst die vollständige Exponentialgleichung mit Anfangswert, Wachstumsfaktor und gesuchter Zeit auf, bevor du zu rechnen beginnst. Teile danach beide Seiten durch den Anfangswert, sodass eine einfache Gleichung der Form Wachstumsfaktor^t = Zielverhältnis entsteht, die du wie im Grundschema löst.
Jetzt bist du dran!
Löse die Gleichung 3^x = 81 und gib das Ergebnis als ganze Zahl an.
Das Wichtigste in Kürze
- Steht die gesuchte Variable im Exponenten, löst man die Gleichung mit dem Logarithmus statt mit gewöhnlicher Umformung.
- Aus b^x = a folgt nach Logarithmieren und der Potenzregel: x = lg(a)/lg(b).
- Die Wahl des Logarithmus (lg oder ln) spielt für das Ergebnis keine Rolle, solange beide Seiten gleich behandelt werden.
- Bei Wachstumsaufgaben stellt man zuerst die vollständige Gleichung auf und teilt dann durch den Anfangswert.
- Typischer Fehler: lg(a)/lg(b) mit lg(a/b) verwechseln oder die Potenzregel mit der Produktregel des Logarithmus vertauschen.
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Häufige Fragen zu Exponentialgleichungen mit dem Logarithmus lösen
- Was ist eine Exponentialgleichung?
- Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, in der die gesuchte Variable im Exponenten einer Potenz steht, zum Beispiel 2^x = 32. Solche Gleichungen lassen sich nicht mit den gewöhnlichen Umformungsregeln für lineare Gleichungen lösen, sondern erfordern den Logarithmus als Umkehroperation des Potenzierens.
- Wie löst man eine Gleichung, bei der x im Exponenten steht?
- Du wendest auf beiden Seiten der Gleichung denselben Logarithmus an, zum Beispiel den dekadischen Logarithmus lg. Mit der Potenzregel des Logarithmus wird der Exponent zu einem Faktor, sodass eine nach x auflösbare Gleichung entsteht: x = lg(a)/lg(b) bei einer Gleichung der Form b^x = a.
- Was ist der Unterschied zwischen lg und ln?
- lg ist der dekadische Logarithmus zur Basis 10, ln ist der natürliche Logarithmus zur Basis e (der eulerschen Zahl, etwa 2,71828). Für das Lösen von Exponentialgleichungen ist es egal, welchen der beiden man verwendet, solange man ihn konsequent auf beiden Seiten der Gleichung anwendet, das Endergebnis für x ist identisch.
- In welcher Klasse lernt man Exponentialgleichungen?
- Exponentialgleichungen werden meist in Klasse 10 behandelt, im Anschluss an Exponentialfunktionen und den Logarithmus. Voraussetzung sind sichere Kenntnisse im Potenzrechnen und im Umgang mit dem Logarithmus. In der Oberstufe werden Exponentialgleichungen bei Wachstums- und Zerfallsprozessen sowie in der Differentialrechnung vertieft.
- Wie berechnet man die Verdopplungszeit bei exponentiellem Wachstum?
- Man stellt die Gleichung Wachstumsfaktor hoch t gleich 2 auf und löst sie mit dem Logarithmus: t = lg(2)/lg(Wachstumsfaktor). Diese Zeit hängt nur vom Wachstumsfaktor ab, nicht vom Startwert, weil sich der Startwert beim Aufstellen der Verhältnisgleichung bereits herauskürzt.
- Warum kann man Exponentialgleichungen nicht durch einfaches Wurzelziehen lösen?
- Wurzelziehen löst Gleichungen, bei denen die Variable in der Basis einer Potenz mit festem Exponenten steht, zum Beispiel x³ = 27. Bei einer Exponentialgleichung steht die Variable dagegen im Exponenten selbst, dort hilft nur der Logarithmus, weil er genau die Umkehroperation zum Potenzieren mit variablem Exponenten ist.
- Kann jede Exponentialgleichung mit dem Logarithmus gelöst werden?
- Ja, solange die Basis positiv und ungleich 1 ist und die rechte Seite der Gleichung ebenfalls positiv ist, denn der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert. Bei komplizierteren Gleichungen mit mehreren Exponentialtermen sind manchmal zusätzliche Umformungen wie Substitution nötig, bevor man logarithmieren kann.
- Wie prüft man das Ergebnis einer Exponentialgleichung nach?
- Du setzt den berechneten Wert für x wieder in die ursprüngliche Gleichung ein und berechnest b hoch x mit dem Taschenrechner. Kommt näherungsweise wieder der ursprüngliche Wert a heraus, ist die Lösung richtig. Wegen der Rundung des Logarithmus stimmt das Ergebnis meist nur näherungsweise überein, nicht exakt.
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