Der Logarithmus
In dieser Lektion lernst du, was ein Logarithmus ist und wie er mit Potenzen zusammenhängt. Du kannst einfache Logarithmen im Kopf bestimmen und Exponentialgleichungen damit lösen.
- Fach: Mathematik
- Klasse 10
- Thema: Funktionen
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Schwer
Die Frage nach dem Exponenten
Bei einer Potenz wie 2³ = 8 kennst du Basis und Exponent und rechnest das Ergebnis aus. Oft ist es aber umgekehrt: Du weißt, dass 2 hoch irgendetwas 8 ergibt, und suchst den Exponenten. Genau diese Frage beantwortet der Logarithmus. Man schreibt log₂(8) = 3 und liest: „Der Logarithmus von 8 zur Basis 2 ist 3.“ Die kleine Zahl unten ist die Basis, die Zahl in der Klammer heißt Numerus.
Allgemein ist log zur Basis b von x die Zahl, mit der du b potenzieren musst, um x zu erhalten. Der Logarithmus ist also die Umkehrung des Potenzierens, so wie Subtrahieren die Umkehrung des Addierens ist. Du brauchst ihn zum Beispiel, wenn du berechnen willst, nach wie vielen Jahren sich ein Guthaben verdoppelt hat oder wann eine radioaktive Probe zur Hälfte zerfallen ist. Auch die Dezibel-Skala für Lautstärke beruht auf Logarithmen.
Zwei Logarithmen haben eigene Namen und eigene Tasten. Der Zehnerlogarithmus zur Basis 10 heißt kurz lg oder log, der natürliche Logarithmus zur Basis e ≈ 2,718 heißt ln. Für jede andere Basis rechnest du mit der Umrechnungsformel log(x) : log(b). Nützlich sind außerdem zwei Merkwerte: Der Logarithmus von 1 ist immer 0, weil jede Basis hoch 0 eins ergibt, und der Logarithmus der Basis selbst ist immer 1.
Ein typischer Fehler: log₂(8) wird als 8 : 2 = 4 gerechnet. Der Logarithmus ist aber keine Division. Gefragt ist, wie oft du die Basis mit sich selbst multiplizieren musst: 2 · 2 · 2 = 8, also drei Mal. Außerdem gilt: Logarithmen gibt es nur von positiven Zahlen. Keine positive Basis ergibt potenziert null oder eine negative Zahl, deshalb meldet der Taschenrechner bei log(−5) einen Fehler.
Potenz und Logarithmus
Beide Schreibweisen beschreiben denselben Zusammenhang, nur mit einer anderen gesuchten Größe. Aus 10² = 100 wird log₁₀(100) = 2, die drei Zahlen bleiben dieselben, nur ihre Rollen tauschen.
Diese Übersetzung ist der Schlüssel für Exponentialgleichungen. Steht die Unbekannte im Exponenten, schreibst du die Gleichung in Logarithmusform um und kannst den Exponenten direkt ablesen oder mit dem Taschenrechner bestimmen.
Potenz
Basis und Exponent sind bekannt, das Ergebnis wird gesucht.
Beispiele
- 2³ = 8
- 10² = 100
- 5 · 5 · 5 · 5 = 625
Signalwörter
- Wie groß ist das Ergebnis?
- Exponent gegeben
- b hoch n
Logarithmus
Basis und Ergebnis sind bekannt, der Exponent wird gesucht.
Beispiele
- log₂(8) = 3
- log₁₀(100) = 2
- log₅(625) = 4
Signalwörter
- Welcher Exponent?
- Wie oft malnehmen?
- gesucht steht im Exponenten
- Taste log oder ln
| Ausdruck | Wert | Begründung |
|---|---|---|
| log_b(1) | 0 | b hoch 0 ist immer 1 |
| log_b(b) | 1 | b hoch 1 ist b |
| log₁₀(10) | 1 | Zehnerlogarithmus der Basis selbst |
| log₁₀(100) | 2 | 10² = 100 |
Beispiel 1: Wann verdoppelt sich das Geld?
Ein Guthaben wächst jedes Jahr um 5 %. Nach wie vielen Jahren hat es sich verdoppelt? Löse 1,05^n = 2.
Gegeben:
- 1,05^n2
Gesucht:
nLösung:
- Der Startbetrag spielt keine Rolle: Aus K · 1,05^n = 2 · K wird nach Teilen durch K die Gleichung 1,05^n = 2
- Die Unbekannte steht im Exponenten, also in Logarithmusform umschreiben: n = log₁,₀₅(2)
- Mit dem Taschenrechner: n = log(2) : log(1,05)
- n ≈ 0,30103 : 0,02119 ≈ 14,2
- Probe: 1,05 hoch 14,2 ergibt ungefähr 2,0
Nach etwa 14,2 Jahren hat sich das Guthaben verdoppelt, also im 15. Jahr. Weil Zinsen meist nur einmal jährlich gutgeschrieben werden, ist das Doppelte erst am Ende des 15. Jahres tatsächlich auf dem Konto.
Beispiel 2: Die Dezibel-Skala verstehen
Die Dezibel-Skala misst Lautstärke logarithmisch. Wie viel lauter ist ein Presslufthammer mit 100 dB als ein Gespräch mit 60 dB, wenn 10 dB mehr eine Verzehnfachung des Schalldrucks bedeuten?
Gegeben:
- Presslufthammer: 100 dB
- Gespräch: 60 dB
- 10 dB entsprechen dem Faktor 10
Gesucht:
Faktor des SchalldrucksLösung:
- Differenz berechnen: 100 dB − 60 dB40 dB
- 40 dB entsprechen vier Schritten von je 10 dB
- Jeder Schritt verzehnfacht den Schalldruck: 10 · 10 · 10 · 10 = 10⁴
- 10⁴10.000
Der Schalldruck eines Presslufthammers ist etwa 10.000-mal so groß wie der eines normalen Gesprächs, obwohl der Dezibel-Wert nur von 60 auf 100 steigt. Das zeigt, warum eine logarithmische Skala nötig ist: Sie macht extrem unterschiedliche Größenordnungen mit kleinen, handlichen Zahlen darstellbar.
Typische Fehler
Neben der Verwechslung mit einer Division passiert häufig ein Fehler beim Basiswechsel: Beim Bruch log(x) : log(b) darf nicht gekürzt werden, als wären es normale Brüche mit x und b. Der ganze Ausdruck log(x) muss durch den ganzen Ausdruck log(b) geteilt werden, nicht x durch b.
Ein weiterer Fehler ist, log und ln zu verwechseln, wenn eine Aufgabe eine bestimmte Basis verlangt. Auf dem Taschenrechner liefert log automatisch die Basis 10 und ln automatisch die Basis e, unabhängig davon, welche Basis in der Aufgabe eigentlich gemeint ist.
Schließlich wird oft vergessen, dass der Logarithmus nur für positive Argumente definiert ist. Bei einer Gleichung wie log(x − 5) = 2 muss zusätzlich x − 5 > 0 gelten, sonst ist die Lösung ungültig, auch wenn sie sich rechnerisch ergibt.
Tipps für die Klassenarbeit
Übersetze bei Unsicherheit jede Logarithmusgleichung zuerst in eine Potenzgleichung und umgekehrt. Das hilft dir, den Zusammenhang zwischen Basis, Exponent und Ergebnis im Kopf zu behalten, statt Formeln auswendig anzuwenden.
Präge dir die Zweier- und Zehnerpotenzen bis mindestens 1000 ein. Kennst du 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 sowie 10, 100, 1000, kannst du viele Logarithmen ohne Taschenrechner im Kopf lösen und sparst dir Rechenzeit in der Klassenarbeit.
Jetzt bist du dran!
Bestimme log₂(32).
Das Wichtigste in Kürze
- Der Logarithmus sucht den Exponenten: log₂(8) = 3, weil 2³ = 8.
- Er ist die Umkehrung des Potenzierens.
- Mit dem Taschenrechner: log zur Basis b von x = log(x) : log(b).
- Der Logarithmus ist keine Division – log₂(8) ist nicht 4.
- Logarithmen gibt es nur von positiven Zahlen.
- Logarithmische Skalen wie Dezibel oder pH-Wert machen riesige Größenunterschiede mit kleinen Zahlen darstellbar.
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Häufige Fragen zu Der Logarithmus
- Was ist ein Logarithmus einfach erklärt?
- Ein Logarithmus beantwortet die Frage: Mit welcher Zahl muss ich die Basis potenzieren, um ein bestimmtes Ergebnis zu erhalten? log₂(16) = 4 bedeutet, dass du die 2 viermal mit sich selbst multiplizieren musst, um 16 zu erhalten. Der Logarithmus ist damit das Gegenstück zur Potenz, so wie die Wurzel das Gegenstück zum Quadrieren ist.
- Wie rechne ich einen Logarithmus mit dem Taschenrechner?
- Für die Basis 10 nutzt du die Taste log, für die Basis e die Taste ln. Viele Rechner haben auch eine Taste, bei der du die Basis frei eingeben kannst. Fehlt sie, teilst du: log₃(50) = log(50) : log(3) ≈ 3,56. Die Formel funktioniert genauso mit ln statt log.
- Was ist der Unterschied zwischen log und ln?
- Beide sind Logarithmen, nur mit unterschiedlicher Basis. log steht auf dem Taschenrechner meist für den Zehnerlogarithmus, also die Basis 10. ln ist der natürliche Logarithmus zur Basis e, einer Zahl von etwa 2,718. Der natürliche Logarithmus spielt in der Oberstufe bei der e-Funktion und in den Naturwissenschaften eine große Rolle.
- Warum kann man keinen Logarithmus von negativen Zahlen berechnen?
- Eine positive Basis ergibt potenziert immer eine positive Zahl, egal welchen Exponenten du wählst. Auch negative Exponenten führen nur zu Brüchen wie 2 hoch −1 = 1/2. Es gibt also keinen Exponenten, der eine negative Zahl oder null liefert. Deshalb ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert.
- In welcher Klasse lernt man den Logarithmus?
- Der Logarithmus wird meist in Klasse 10 eingeführt, direkt nach den Exponentialfunktionen. Du brauchst ihn, um Gleichungen zu lösen, bei denen die Zeit im Exponenten steht, etwa bei Zinsen oder Zerfall. In der Oberstufe folgen die Logarithmusgesetze und der natürliche Logarithmus als Umkehrfunktion der e-Funktion.
- Wie berechnet man einen Logarithmus ohne Taschenrechner?
- Das gelingt nur, wenn das Ergebnis eine ganze Zahl ist und du die passende Potenzreihe kennst. Für log₂(32) überlegst du: 2, 4, 8, 16, 32 – das sind fünf Schritte, also ist log₂(32) = 5. Bei krummen Werten wie log₂(20) brauchst du den Taschenrechner und die Basiswechselformel log(20) : log(2).
- Wofür braucht man Logarithmen im echten Leben?
- Logarithmen stecken in jeder Skala, die riesige Größenunterschiede handlich darstellen soll: die Dezibel-Skala für Lautstärke, die Richterskala für Erdbeben und der pH-Wert für Säuren und Basen. Auch beim Berechnen von Zinseszins, radioaktivem Zerfall oder Verdopplungszeiten beim Wachstum kommt man ohne Logarithmus nicht auf die gesuchte Zeit.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.
Das solltest du vorher können
- Exponentialfunktionen
- Potenzenin Arbeit
Das kommt als Nächstes
- Wachstum und Zerfall
- Logarithmusgesetzein Arbeit