Logarithmusfunktion
Die Logarithmusfunktion f(x) = log Basis a von x ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und beantwortet die Frage, mit welchem Exponenten man die Basis a potenzieren muss, um x zu erhalten. In dieser Lektion lernst du den Definitions- und Wertebereich, den charakteristischen Verlauf ihres Graphen und wie du Gleichungen mit Logarithmusfunktionen löst.
- Fach: Mathematik
- Klasse 11
- Thema: Funktionen
- Dauer: 18 Min
- Niveau: Mittel
Logarithmusfunktion: die Umkehrung des Potenzierens
Die Logarithmusfunktion f(x) = log Basis a von x beantwortet eine ganz bestimmte Frage: Mit welchem Exponenten muss die feste Basis a potenziert werden, damit dabei x herauskommt? Der Wert log Basis a von x ist also immer ein Exponent, kein gewöhnlicher Funktionswert im Sinne einer Länge oder eines Betrags.
Diese Funktion ist eng mit der Exponentialfunktion a hoch x verwandt, denn beide Funktionen sind zueinander Umkehrfunktionen. Während die Exponentialfunktion aus einem Exponenten einen Funktionswert macht, macht die Logarithmusfunktion aus einem Funktionswert wieder den passenden Exponenten.
In der Schule wird meist der Logarithmus zur Basis 10, geschrieben als lg, oder der natürliche Logarithmus zur Basis e, geschrieben als ln, besonders häufig verwendet. Die grundlegenden Eigenschaften gelten aber für jede Logarithmusfunktion mit einer Basis a größer 0 und ungleich 1.
Definitionsbereich, Wertebereich und Graph
Die Logarithmusfunktion f(x) = log Basis a von x ist nur für x größer 0 definiert, weil es keinen reellen Exponenten gibt, mit dem eine positive Basis a potenziert werden könnte, um 0 oder eine negative Zahl zu erhalten. Der Definitionsbereich umfasst also ausschließlich die positiven reellen Zahlen.
Der Wertebereich der Logarithmusfunktion umfasst dagegen alle reellen Zahlen, weil sich mit passenden Exponenten sowohl sehr große als auch sehr kleine positive Zahlen erzeugen lassen. Für x = 1 ergibt sich immer der Funktionswert 0, unabhängig von der gewählten Basis a, denn a hoch 0 ist immer 1.
Ist die Basis a größer als 1, verläuft der Graph der Logarithmusfunktion streng monoton steigend, wächst dabei aber immer langsamer, je größer x wird. Ist die Basis a zwischen 0 und 1, verläuft der Graph dagegen streng monoton fallend.
- a
- Basis des Logarithmus, a größer 0 und a ungleich 1
- x
- Argument des Logarithmus, x größer 0
- y
- gesuchter Exponent, Funktionswert der Logarithmusfunktion
| x-Wert bei Exponentialfunktion | 2 hoch x | x-Wert bei Logarithmusfunktion | log Basis 2 von x |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 2 | 2 | 1 |
| 3 | 8 | 8 | 3 |
| −1 | 0,5 | 0,5 | −1 |
Beispiel 1: Eine Logarithmusgleichung lösen
Löse die Gleichung log Basis 3 von x = 2.
Gegeben:
- log Basis 3 von x2
Gesucht:
Lösung xLösung:
- Gleichung notieren: Gesucht ist x mit log Basis 3 von x = 2.
- In Exponentialform umwandeln: log Basis 3 von x = 2 bedeutet 3 hoch 2 = x.
- Potenz berechnen: 3 hoch 2 ergibt 9.
- Lösung notieren: x9.
Die Lösung der Gleichung log Basis 3 von x = 2 lautet x = 9. Zur Kontrolle kannst du prüfen, mit welchem Exponenten 3 potenziert werden muss, um 9 zu erhalten: 3 hoch 2 ist tatsächlich 9, die Lösung stimmt also.
Beispiel 2: Funktionswerte einer Logarithmusfunktion berechnen
Berechne die Funktionswerte von f(x) = log Basis 10 von x an den Stellen x = 100 und x = 0,01.
Gegeben:
- f(x)log Basis 10 von x
Gesucht:
f(100) und f(0,01)Lösung:
- Für x = 100 fragen: Mit welchem Exponenten muss 10 potenziert werden, um 100 zu erhalten? 10 hoch 2 ergibt 100, also f(100) = 2.
- Für x = 0,01 fragen: Mit welchem Exponenten muss 10 potenziert werden, um 0,01 zu erhalten? 10 hoch minus 2 ergibt 0,01, also f(0,01) = −2.
Es gilt f(100) = 2 und f(0,01) = −2. Das Beispiel zeigt, dass die Logarithmusfunktion zur Basis 10 bei positiven Zehnerpotenzen jeweils einfach den zugehörigen Exponenten liefert, auch wenn dieser negativ ist.
Typische Fehler bei der Logarithmusfunktion
Ein häufiger Fehler ist, den Logarithmus einer negativen Zahl oder von 0 berechnen zu wollen. Da die Logarithmusfunktion nur für x größer 0 definiert ist, existiert für log Basis a von −5 oder log Basis a von 0 kein reeller Funktionswert.
Ein zweiter Fehler ist, die Basis beim Umwandeln in die Exponentialform zu vertauschen, etwa aus log Basis 3 von x = 2 fälschlicherweise x hoch 2 = 3 statt richtig 3 hoch 2 = x zu machen. Die Basis des Logarithmus wird immer zur Basis der Potenz, nicht zum Exponenten.
Ein dritter Fehler ist, log Basis a von x mit a mal x zu verwechseln oder anzunehmen, der Logarithmus verhalte sich wie eine gewöhnliche Multiplikation. Der Logarithmus ist ein eigenständiger Funktionstyp mit eigenen Rechengesetzen, die sich deutlich von denen der Multiplikation unterscheiden.
Alltagsbezug: pH-Wert und Lautstärke
Logarithmusfunktionen werden überall dort verwendet, wo Größenordnungen über sehr viele Zehnerpotenzen hinweg dargestellt werden sollen. Der pH-Wert in der Chemie ist ein Logarithmus zur Basis 10, der die Konzentration von Wasserstoffionen in einer verständlichen Skala von etwa 0 bis 14 abbildet, statt mit unhandlich kleinen Zehnerpotenzen zu arbeiten.
Auch die Lautstärke wird in Dezibel gemessen, einer logarithmischen Skala, weil das menschliche Gehör Lautstärkeunterschiede ebenfalls eher logarithmisch als linear wahrnimmt. Eine Verzehnfachung der tatsächlichen Schallintensität führt dabei nur zu einem festen Anstieg von 10 Dezibel.
Jetzt bist du dran!
Für welche x-Werte ist die Logarithmusfunktion f(x) = log Basis a von x definiert?
Noch nicht. Da eine positive Basis a mit keinem reellen Exponenten 0 oder eine negative Zahl ergeben kann, ist die Logarithmusfunktion nur für x größer 0 definiert.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Logarithmusfunktion f(x) = log Basis a von x liefert den Exponenten, mit dem a potenziert x ergibt.
- Der Definitionsbereich umfasst nur x größer 0, der Wertebereich alle reellen Zahlen.
- Der Graph geht immer durch den Punkt (1|0), unabhängig von der Basis a.
- Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur gleichen Basis.
- Logarithmusgleichungen lassen sich lösen, indem man sie in die Exponentialform umwandelt.
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Häufige Fragen zu Logarithmusfunktion
- Was ist eine Logarithmusfunktion?
- Eine Logarithmusfunktion f(x) = log Basis a von x ordnet jedem positiven x-Wert den Exponenten zu, mit dem die feste Basis a potenziert werden muss, um x zu erhalten. Sie ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion a hoch x.
- Wie löst man eine Logarithmusgleichung?
- Man wandelt die Logarithmusgleichung in die entsprechende Exponentialform um: Aus log Basis a von x = y wird a hoch y = x. Anschließend berechnet man die Potenz auf der rechten Seite und erhält die gesuchte Lösung x.
- Warum ist die Logarithmusfunktion nur für positive x definiert?
- Eine positive Basis a lässt sich mit keinem reellen Exponenten so potenzieren, dass 0 oder eine negative Zahl herauskommt. Deshalb gibt es für x kleiner oder gleich 0 keinen sinnvollen Funktionswert der Logarithmusfunktion.
- Was ist der Unterschied zwischen lg und ln?
- lg bezeichnet den Logarithmus zur Basis 10, während ln den natürlichen Logarithmus zur Basis e bezeichnet, wobei e die eulersche Zahl ist. Beide sind spezielle Logarithmusfunktionen mit unterschiedlicher, aber fest gewählter Basis.
- Wie hängen Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion zusammen?
- Die Logarithmusfunktion zur Basis a und die Exponentialfunktion zur Basis a sind zueinander Umkehrfunktionen. Während die Exponentialfunktion aus einem Exponenten einen Funktionswert berechnet, berechnet die Logarithmusfunktion aus einem Funktionswert wieder den passenden Exponenten.
- In welcher Klasse wird die Logarithmusfunktion unterrichtet?
- Die Logarithmusfunktion wird meist in Klasse 11 behandelt, aufbauend auf den Grundlagen der Exponentialfunktionen und der allgemeinen Umkehrfunktion. Sie bildet später die Grundlage für Themen wie Wachstums- und Zerfallsprozesse sowie für die Differentialrechnung mit der natürlichen Logarithmusfunktion.
- Warum verläuft der Graph der Logarithmusfunktion immer flacher?
- Für Basen a größer 1 wächst die Logarithmusfunktion zwar für alle x-Werte, allerdings immer langsamer, je größer x wird. Das liegt daran, dass für sehr große x-Werte bereits eine kleine Änderung des Exponenten eine sehr große Änderung von x bewirkt, während umgekehrt eine große Änderung von x nur eine kleine Änderung des Exponenten bedeutet.
- Kann man den Logarithmus einer negativen Zahl berechnen?
- Im Bereich der reellen Zahlen ist das nicht möglich, weil eine positive Basis mit keinem reellen Exponenten eine negative Zahl ergeben kann. Der Logarithmus einer negativen Zahl oder von 0 ist im Reellen deshalb nicht definiert.
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