Umkehrfunktion bilden
Eine Umkehrfunktion macht die Zuordnung einer Funktion rückgängig: Wo f(x) aus x den Wert y macht, macht die Umkehrfunktion aus y wieder x. In dieser Lektion lernst du, wann eine Funktion überhaupt eine Umkehrfunktion besitzt, wie du sie mit dem festen Dreischritt aus Vertauschen und Auflösen bildest, und wie sich ihr Graph geometrisch aus dem Graphen der ursprünglichen Funktion ergibt.
- Fach: Mathematik
- Klasse 11
- Thema: Funktionen
- Dauer: 18 Min
- Niveau: Mittel
Umkehrfunktion: eine Funktion rückwärts denken
Eine Umkehrfunktion, geschrieben als f hoch minus 1, dreht die Zuordnung einer Funktion f um. Ordnet f dem Wert x den Wert y zu, dann ordnet die Umkehrfunktion f hoch minus 1 dem Wert y wieder den ursprünglichen Wert x zu.
Nicht jede Funktion besitzt eine Umkehrfunktion auf ihrem gesamten Definitionsbereich. Damit eine Umkehrfunktion existiert, muss die Funktion bijektiv sein, das heißt, jeder Funktionswert darf nur zu genau einem x-Wert gehören. Bei Funktionen, die manche y-Werte mehrfach annehmen, wie etwa die Normalparabel, funktioniert das nur, wenn man den Definitionsbereich vorher passend einschränkt.
Umkehrfunktionen sind in der Mathematik besonders wichtig, weil sie es erlauben, Gleichungen nach einer anderen Variablen aufzulösen. Bekannte Beispiele für Umkehrfunktionen sind der Logarithmus als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der Potenzfunktion mit passendem Exponenten.
Der Dreischritt zur Umkehrfunktion
Um die Umkehrfunktion einer Funktion f zu bilden, schreibst du zunächst y statt f(x), damit die Funktionsgleichung wie eine gewöhnliche Gleichung mit zwei Variablen aussieht. Im zweiten Schritt vertauschst du x und y in dieser Gleichung, weil genau dieses Vertauschen die Umkehrung der Zuordnung bewirkt.
Im dritten Schritt löst du die entstandene Gleichung nach y auf, sodass y wieder allein auf einer Seite steht. Das Ergebnis dieser Auflösung ist die gesuchte Umkehrfunktion, die du anschließend als f hoch minus 1 (x) statt als y notierst.
Geometrisch entsteht der Graph der Umkehrfunktion, indem der Graph der ursprünglichen Funktion an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten gespiegelt wird, also an der Geraden mit der Gleichung y = x. Diese Spiegelung ist eine direkte Folge des Vertauschens von x und y im Rechenweg.
- f
- ursprüngliche, bijektive Funktion
- x
- Variable im Definitionsbereich von f
- y
- Funktionswert, y = f(x)
| x-Wert bei f | f(x) | x-Wert bei f hoch minus 1 | f hoch minus 1 (x) |
|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 3 | 0 |
| 1 | 5 | 5 | 1 |
| −1 | 1 | 1 | −1 |
| 2 | 7 | 7 | 2 |
Beispiel 1: Umkehrfunktion einer linearen Funktion
Bilde die Umkehrfunktion von f(x) = 2x + 3.
Gegeben:
- f(x)2x + 3
Gesucht:
Umkehrfunktion f hoch minus 1 (x)Lösung:
- y statt f(x) schreiben: y2x + 3.
- x und y vertauschen: x2y + 3.
- Nach y auflösen: x − 32y, also yx − 32.
- Umkehrfunktion notieren: f hoch minus 1 (x) = (x − 3)/2.
Die Umkehrfunktion von f(x) = 2x + 3 lautet f hoch minus 1 (x) = (x − 3)/2. Zur Kontrolle setzt du f hoch minus 1 in f ein: f(f hoch minus 1 (x)) = 2 · (x − 3)/2 + 3 = x − 3 + 3 = x, was die Rechnung bestätigt.
Beispiel 2: Umkehrfunktion einer Potenzfunktion
Bilde die Umkehrfunktion von f(x) = x hoch 3.
Gegeben:
- f(x) = x hoch 3, Definitionsbereich alle reellen Zahlen
Gesucht:
Umkehrfunktion f hoch minus 1 (x)Lösung:
- y statt f(x) schreiben: yx hoch 3.
- x und y vertauschen: xy hoch 3.
- Nach y auflösen: y ist die dritte Wurzel aus x, weil die dritte Wurzel die Umkehrung des Hoch-3-Nehmens ist.
- Umkehrfunktion notieren: f hoch minus 1 (x) = dritte Wurzel aus x.
Die Umkehrfunktion von f(x) = x hoch 3 lautet f hoch minus 1 (x) = dritte Wurzel aus x. Anders als bei der Quadratfunktion ist hier keine Einschränkung des Definitionsbereichs nötig, weil x hoch 3 für jeden reellen x-Wert genau einen Funktionswert liefert und diese Zuordnung eindeutig umkehrbar ist.
Typische Fehler bei der Umkehrfunktion
Ein häufiger Fehler ist, die Umkehrfunktion mit dem Kehrwert der Funktion zu verwechseln. f hoch minus 1 (x) bedeutet nicht 1 durch f(x), sondern die Umkehrzuordnung. Diese Verwechslung entsteht durch die ähnliche Schreibweise mit dem Exponenten minus 1, hat aber inhaltlich nichts mit dem Bilden eines Kehrwerts zu tun.
Ein zweiter Fehler ist, das Vertauschen von x und y zu vergessen und stattdessen sofort die ursprüngliche Gleichung nach x aufzulösen. Ohne das Vertauschen entsteht keine Umkehrfunktion, sondern lediglich dieselbe Funktion in einer anderen Form, nach x statt nach y aufgelöst.
Ein dritter Fehler ist, bei nicht bijektiven Funktionen wie der Normalparabel eine Umkehrfunktion für den gesamten Definitionsbereich anzugeben, ohne vorher den Definitionsbereich einzuschränken. Ohne diese Einschränkung wäre die Umkehrung nicht eindeutig, weil zum Beispiel sowohl 2 als auch −2 quadriert denselben Wert 4 ergeben.
Tipps für die Klassenarbeit
Prüfe vor dem Bilden der Umkehrfunktion immer, ob die Funktion überhaupt bijektiv ist, oder ob der Definitionsbereich zunächst eingeschränkt werden muss, etwa bei einer Parabel auf den Bereich x größer oder gleich 0. Andernfalls ist die entstehende Umkehrfunktion nicht eindeutig.
Kontrolliere dein Ergebnis, indem du die berechnete Umkehrfunktion in die ursprüngliche Funktion einsetzt. Kommt dabei wieder x heraus, hast du richtig gerechnet, denn f(f hoch minus 1 (x)) muss für jede korrekte Umkehrfunktion immer x ergeben.
Denke daran, dass sich Definitions- und Wertebereich bei der Umkehrfunktion vertauschen. Der Definitionsbereich von f wird zum Wertebereich von f hoch minus 1, und der Wertebereich von f wird zum Definitionsbereich von f hoch minus 1.
Jetzt bist du dran!
Bilde die Umkehrfunktion von f(x) = 4x − 8. Gib sie in der Form f hoch minus 1 (x) = ... an.
Das Wichtigste in Kürze
- Eine Umkehrfunktion f hoch minus 1 macht die Zuordnung von f rückgängig.
- Nur bijektive Funktionen besitzen eine Umkehrfunktion auf ihrem gesamten Definitionsbereich.
- Die Umkehrfunktion entsteht durch: y statt f(x) schreiben, x und y vertauschen, nach y auflösen.
- Der Graph der Umkehrfunktion ist der an der Geraden y = x gespiegelte Graph der Funktion.
- Definitions- und Wertebereich tauschen beim Bilden der Umkehrfunktion ihre Rollen.
Lektion abschließen
Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Umkehrfunktion bilden
- Was ist eine Umkehrfunktion?
- Eine Umkehrfunktion, geschrieben als f hoch minus 1, macht die Zuordnung einer Funktion f rückgängig. Ordnet f dem Wert x den Wert y zu, ordnet die Umkehrfunktion dem Wert y wieder den ursprünglichen Wert x zu.
- Wie bildet man eine Umkehrfunktion?
- Man schreibt zunächst y statt f(x), vertauscht dann x und y in der Gleichung und löst anschließend nach y auf. Das Ergebnis dieser Auflösung ist die gesuchte Umkehrfunktion, die als f hoch minus 1 (x) notiert wird.
- Was ist der Unterschied zwischen Umkehrfunktion und Kehrwert?
- Die Umkehrfunktion f hoch minus 1 (x) beschreibt die Umkehrung der Zuordnung einer Funktion, während der Kehrwert 1 durch f(x) einfach die Zahl 1 geteilt durch den Funktionswert ist. Beide Begriffe haben trotz ähnlicher Schreibweise nichts miteinander zu tun.
- Welche Funktionen besitzen eine Umkehrfunktion?
- Nur bijektive Funktionen besitzen auf ihrem gesamten Definitionsbereich eine Umkehrfunktion, weil dort jeder Funktionswert zu genau einem x-Wert gehört. Funktionen wie die Normalparabel sind nicht bijektiv und benötigen eine Einschränkung des Definitionsbereichs, bevor eine Umkehrfunktion gebildet werden kann.
- Wie hängen der Graph einer Funktion und der Graph ihrer Umkehrfunktion zusammen?
- Der Graph der Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung des ursprünglichen Graphen an der Winkelhalbierenden y = x. Diese Spiegelung ist eine direkte geometrische Folge davon, dass beim Bilden der Umkehrfunktion die x- und y-Koordinaten jedes Punktes vertauscht werden.
- In welcher Klasse wird die Umkehrfunktion unterrichtet?
- Die Umkehrfunktion wird meist in Klasse 11 im Rahmen der Funktionenlehre eingeführt, oft im Anschluss an die Grundlagen von Funktionen und deren Eigenschaften. Sie bildet die Grundlage für spätere Themen wie die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
- Warum braucht die Quadratfunktion eine Einschränkung des Definitionsbereichs?
- Die Quadratfunktion ordnet sowohl positiven als auch negativen x-Werten denselben Funktionswert zu, etwa liefern 2 und −2 beide den Wert 4. Ohne Einschränkung des Definitionsbereichs wäre daher nicht eindeutig festgelegt, welcher x-Wert bei der Umkehrung herauskommen soll.
- Wie kontrolliert man, ob eine Umkehrfunktion richtig berechnet wurde?
- Man setzt die berechnete Umkehrfunktion in die ursprüngliche Funktion ein und prüft, ob dabei wieder x herauskommt, also ob f(f hoch minus 1 (x)) = x gilt. Stimmt das nicht, liegt bei der Berechnung ein Fehler vor.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.