Wurzelfunktion: Graph, Definitionsbereich und Beispiele
Die Wurzelfunktion f(x) = √x ordnet jeder Zahl x ab 0 ihre Quadratwurzel zu und hat als Graphen einen Bogen, der im Ursprung beginnt und immer flacher ansteigt. Du lernst Definitions- und Wertebereich, das Verschieben und Strecken und die Umkehrung zur Quadratfunktion. Dazu rechnest du zwei Beispiele und übst mit fünf Aufgaben.
- Fach: Mathematik
- Klasse 10
- Thema: Funktionen
- Dauer: 18 Min
- Niveau: Mittel
Wurzelfunktion: Eigenschaften und Graph von f(x) = √x
Die Wurzelfunktion f(x) = √x gibt zu jeder nichtnegativen Zahl x die Quadratwurzel aus. Ihr Graph ist ein halber, nach rechts geöffneter Parabelbogen: Er beginnt im Ursprung, steigt zuerst steil und wird dann immer flacher. Negative Zahlen kannst du nicht einsetzen, denn es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist.
Daraus ergeben sich die beiden wichtigsten Eigenschaften. Der Definitionsbereich besteht aus allen x mit x ≥ 0, der Wertebereich aus allen y mit y ≥ 0. Der Graph liegt deshalb komplett im ersten Quadranten. Er hat nur den Punkt (0 | 0) mit den Achsen gemeinsam und ist streng monoton wachsend: Je größer x, desto größer √x.
Besonders gut lässt sich die Funktion über Punkte mit glatten Wurzeln zeichnen. Aus x = 0, 1, 4, 9, 16 werden die Werte 0, 1, 2, 3, 4. Dazwischen liegen krumme Zahlen, die du mit dem Taschenrechner bestimmst, etwa √2 ≈ 1,41. Verbinde die Punkte zu einer sanft gekrümmten Kurve und lass sie nicht in einem Knick enden.
Die Wurzelfunktion hängt eng mit der Quadratfunktion zusammen. Für x ≥ 0 macht sie das Quadrieren rückgängig: √(x²) = x. Die Graphen der beiden Funktionen liegen daher spiegelbildlich zur Winkelhalbierenden y = x. Diese Eigenschaft führt zur Umkehrfunktion, die du in Beispiel 2 anwendest.
| x | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = √x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Wurzelfunktion verschieben und strecken
Wie bei jeder Funktion lässt sich der Graph verschieben und strecken. Die allgemeine Form f(x) = a · √(x − d) + e verändert den Startpunkt von (0 | 0) nach (d | e). Das d steht im Radikanden und wirkt deshalb entgegengesetzt, wie du es von der Scheitelpunktform kennst: x − 2 verschiebt nach rechts, x + 2 nach links.
Der Faktor a streckt oder staucht den Graphen in y-Richtung. Bei a = 2 steigt er doppelt so schnell, bei a = 0,5 nur halb so schnell. Ist a negativ, wird der Graph an der Waagerechten durch den Startpunkt gespiegelt und fällt. Der Wert e verschiebt nach oben oder unten.
Für Definitions- und Wertebereich gilt: Der Radikand muss nichtnegativ sein, also x − d ≥ 0 und somit x ≥ d. Der Wertebereich beginnt bei e und läuft für positive a nach oben, für negative a nach unten. Bei f(x) = √(x − 2) + 1 gilt daher x ≥ 2 und y ≥ 1.
- a
- Streckfaktor, negatives a spiegelt den Graphen
- d
- Verschiebung in x-Richtung, Start bei x = d
- e
- Verschiebung in y-Richtung
- x
- Eingabewert mit x ab d
Beispiel 1: Wurzelfunktion mit Wertetabelle
Gegeben ist f(x) = √(x − 2) + 1. Bestimme Definitions- und Wertebereich, den Startpunkt und berechne f(3), f(6) und f(11).
Gegeben:
- f(x)√(x − 2) + 1
- gesucht: Bereiche, Startpunkt, drei Funktionswerte
Gesucht:
Definitionsbereich, Wertebereich, Startpunkt, f(3), f(6), f(11)Lösung:
- Definitionsbereich: Der Radikand x − 2 muss mindestens 0 sein, also x ≥ 2.
- Startpunkt: Bei x = 2 ist √0 = 0, daher f(2) = 1. Der Graph beginnt in (2 | 1). Wertebereich: y ≥ 1, weil die Wurzel nie negativ ist.
- Funktionswerte: f(3)√1 + 12, f(6)√4 + 13 und f(11)√9 + 14.
- Probe: Alle Werte liegen über 1 und steigen mit x. Das passt zum Graphen, der in (2 | 1) beginnt.
Der Definitionsbereich ist x ≥ 2, der Wertebereich y ≥ 1. Der Startpunkt ist (2 | 1), die Punkte (3 | 2), (6 | 3) und (11 | 4) liegen auf dem Graphen.
| x | 2 | 3 | 6 | 11 |
|---|---|---|---|---|
| Radikand x − 2 | 0 | 1 | 4 | 9 |
| f(x) | 1 | 2 | 3 | 4 |
Beispiel 2: Nullstelle und Umkehrfunktion
Gegeben ist f(x) = 2 · √x − 4. Bestimme die Nullstelle und die Umkehrfunktion.
Gegeben:
- f(x)2 · √x − 4
- Definitionsbereich x ≥ 0
Gesucht:
Nullstelle und f⁻¹(x)Lösung:
- Nullstelle: 2 · √x − 4 = 0, also 2 · √x = 4 und √x = 2. Quadrieren liefert x = 4. Probe: 2 · √4 − 4 = 0.
- Umkehrfunktion: Schreibe y = 2 · √x − 4 und löse nach x auf. Es folgt y + 4 = 2 · √x, also √x = (y + 4) : 2.
- Quadrieren: x = ((y + 4) : 2)². Vertausche die Namen x und y: f⁻¹(x) = ((x + 4) : 2)².
- Bereich: Der Wertebereich von f ist y ≥ −4, deshalb gilt für die Umkehrfunktion x ≥ −4. Probe: f(9) = 2 · 3 − 4 = 2 und f⁻¹(2) = (6 : 2)² = 9.
Die Nullstelle liegt bei x = 4. Die Umkehrfunktion lautet f⁻¹(x) = ((x + 4) : 2)² für x ≥ −4. Wertebereich und Definitionsbereich tauschen dabei ihre Rollen.
Typische Fehler bei der Wurzelfunktion
Der häufigste Fehler ist, den Definitionsbereich zu vergessen. Wer bei f(x) = √(x − 3) den Wert x = 1 einsetzt, erhält √(−2), und das gibt es nicht. Rechne den Radikanden immer größer gleich null: x − 3 ≥ 0 liefert x ≥ 3. In Klausuren wird der Definitionsbereich fast immer abgefragt oder stillschweigend vorausgesetzt.
Der zweite Fehler ist, die Verschiebung in die falsche Richtung zu setzen. Bei √(x − 2) wandert der Graph nach rechts, nicht nach links. Prüfe es mit dem Startpunkt: Der Radikand wird null bei x = 2, also beginnt der Graph dort. Auch beim Wertebereich passieren Fehler. Bei f(x) = −√x ist er y ≤ 0, nicht y ≥ 0, weil das Minus außerhalb der Wurzel steht.
Der dritte Fehler ist, die Wurzel aus einer Summe aufzuteilen. Es gilt √(x + y) ≠ √x + √y. Beispielsweise ist √(9 + 16) = 5, aber √9 + √16 = 7. Auch beim Quadrieren zum Lösen musst du die ganze Seite der Gleichung quadrieren und dabei die binomische Formel beachten. Zuerst die Wurzel isolieren, dann quadrieren.
Wurzelfunktion in Anwendung und Klausur
Wurzelfunktionen beschreiben Vorgänge, bei denen eine Größe mit der Wurzel einer anderen wächst. Ein Beispiel ist die Fallzeit: Aus der Fallhöhe h folgt die Zeit t ungefähr als t = √(h : 4,9), gemessen in Sekunden und Metern. Auch die Schwingungsdauer eines Pendels und die Geschwindigkeit beim Bremsen enthalten Wurzeln. Je größer die Größe wird, desto langsamer wächst die Wurzel dazu.
In Klausuren verlangt man meist vier Dinge: den Definitionsbereich angeben, einige Funktionswerte berechnen, den Graphen skizzieren und die Umkehrfunktion bestimmen. Zusätzlich kommen Schnittpunkte mit Geraden vor, die sich mit Wurzelgleichungen berechnen lassen. Zeichne immer den Startpunkt deutlich ein, denn dort beginnt der Graph.
Als Faustregel hilft: Prüfe zuerst den Definitionsbereich, dann den Startpunkt, dann erst die Punkte. Wer in dieser Reihenfolge arbeitet, vermeidet die häufigsten Fehler und hat nach drei Minuten eine saubere Skizze. Die Lektion zur Umkehrfunktion baut direkt darauf auf.
Jetzt bist du dran!
Welchen Definitionsbereich hat f(x) = √(x − 3)?
Noch nicht. Der Radikand x − 3 muss mindestens 0 sein. Daraus folgt x ≥ 3. Der Graph beginnt im Punkt (3 | 0).
Das Wichtigste in Kürze
- Die Wurzelfunktion f(x) = √x hat den Definitionsbereich x ≥ 0 und den Wertebereich y ≥ 0.
- Ihr Graph beginnt im Ursprung, steigt monoton und wird immer flacher.
- Bei f(x) = a · √(x − d) + e beginnt der Graph im Punkt (d | e), und es gilt x ≥ d.
- Die Umkehrfunktion der Wurzel ist die Quadratfunktion für x ≥ 0, ihre Graphen liegen spiegelbildlich zu y = x.
- Typischer Fehler: den Definitionsbereich vergessen oder √(a + b) in √a + √b zerlegen.
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Häufige Fragen zu Wurzelfunktion: Graph, Definitionsbereich und Beispiele
- Was ist eine Wurzelfunktion?
- Eine Wurzelfunktion ordnet jeder nichtnegativen Zahl x ihre Quadratwurzel zu, also f(x) = √x. Ihr Graph ist ein halber Parabelbogen, der im Ursprung beginnt. Die allgemeine Form ist f(x) = a · √(x − d) + e mit Verschiebung und Streckung.
- Welchen Definitionsbereich hat die Wurzelfunktion?
- Der Definitionsbereich ist x ≥ 0, denn unter der Wurzel darf keine negative Zahl stehen. Bei verschobenen Funktionen setzt du den Radikanden größer gleich null. Für √(x − 3) bekommst du x − 3 ≥ 0, also x ≥ 3.
- Welchen Wertebereich hat f(x) = √x?
- Der Wertebereich ist y ≥ 0, weil die Quadratwurzel nie negativ ist. Bei f(x) = √x + 2 verschiebt sich der Wertebereich auf y ≥ 2. Bei f(x) = −√x lautet er y ≤ 0, weil das Minus den ganzen Graphen an der x-Achse spiegelt.
- Wie zeichne ich den Graphen der Wurzelfunktion?
- Du stellst eine Wertetabelle mit Zahlen auf, deren Wurzel glatt ist: 0, 1, 4, 9, 16 mit den Werten 0, 1, 2, 3, 4. Dann trägst du die Punkte ein und verbindest sie mit einer sanft gebogenen Kurve. Am Startpunkt ist der Graph anfangs sehr steil und dann zunehmend flacher.
- Wie ist die Wurzelfunktion mit der Quadratfunktion verbunden?
- Für x ≥ 0 sind Wurzelfunktion und Quadratfunktion Umkehrfunktionen voneinander. Wenn du x quadrierst und danach die Wurzel ziehst, erhältst du wieder x. Die Graphen sind Spiegelbilder an der Geraden y = x, aber nur im ersten Quadranten.
- Wie verschiebe ich eine Wurzelfunktion?
- Bei f(x) = √(x − d) + e wandert der Startpunkt von (0 | 0) nach (d | e). Die Zahl d unter der Wurzel verschiebt in die Gegenrichtung zum Vorzeichen, also nach rechts bei x − 2. Die Zahl e hinter der Wurzel verschiebt nach oben bei Plus und nach unten bei Minus.
- Wie berechne ich die Umkehrfunktion einer Wurzelfunktion?
- Du schreibst y statt f(x), löst die Gleichung nach x auf und tauschst danach x und y. Dabei isolierst du zuerst die Wurzel und quadrierst dann beide Seiten. Aus f(x) = √x wird so f⁻¹(x) = x². Den Definitionsbereich der Umkehrfunktion liest du am Wertebereich von f ab.
- In welcher Klasse lernt man die Wurzelfunktion?
- Die Wurzelfunktion behandelt man meist in Klasse 10, nach den Wurzeln und den Potenzfunktionen aus Klasse 9. In der Oberstufe taucht sie wieder bei der Umkehrfunktion, bei Ableitungen mit Potenzen und bei Wurzelgleichungen auf.
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