Wurzelgleichungen lösen
Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, bei der die gesuchte Variable unter einer Wurzel steht. In dieser Lektion lernst du, wie du eine Wurzelgleichung durch Quadrieren löst, warum dabei manchmal Scheinlösungen entstehen und wieso die Probe am Ende unverzichtbar ist.
- Fach: Mathematik
- Klasse 10
- Thema: Gleichungen
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Wurzelgleichungen: die Variable steckt unter der Wurzel
Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, in der die gesuchte Variable innerhalb einer Wurzel vorkommt, zum Beispiel Wurzel aus (x plus 3) gleich 5. Um eine solche Gleichung zu lösen, musst du die Wurzel zunächst loswerden, bevor du die Gleichung wie gewohnt umformst.
Das Mittel dazu ist das Quadrieren: Quadrierst du beide Seiten einer Gleichung, verschwindet eine einzelne Wurzel, weil Quadrieren die Umkehrung des Wurzelziehens ist. Danach bleibt eine gewöhnliche Gleichung ohne Wurzel übrig.
Wurzelgleichungen tauchen zum Beispiel bei physikalischen Formeln auf, in denen eine gesuchte Größe unter einer Wurzel steht, etwa bei der Berechnung einer Fallzeit aus einer Fallhöhe oder bei geometrischen Aufgaben mit dem Satz des Pythagoras.
Lösen durch Quadrieren
Der erste Schritt beim Lösen einer Wurzelgleichung ist, die Wurzel möglichst allein auf eine Seite der Gleichung zu bringen. Erst wenn nur noch die Wurzel und keine weiteren Terme auf dieser Seite stehen, quadrierst du beide Seiten der Gleichung.
Aus Wurzel aus a gleich b wird durch Quadrieren a gleich b hoch 2. Dabei muss zusätzlich beachtet werden, dass a größer oder gleich Null sein muss, damit die Wurzel überhaupt definiert ist, und dass b nicht negativ sein darf, wenn die Wurzel einen positiven Wert liefert.
Da Quadrieren keine eindeutige Umkehrung des Wurzelziehens ist, kann dieser Schritt zusätzliche Lösungen erzeugen, die die ursprüngliche Gleichung gar nicht erfüllen. Solche sogenannten Scheinlösungen fallen erst bei der abschließenden Probe auf.
- a
- Term unter der Wurzel, der Definitionsbereich einschränkt
- b
- Wert auf der anderen Seite der Gleichung
| Schritt | Ziel |
|---|---|
| Wurzel isolieren | Nur die Wurzel bleibt allein auf einer Seite stehen |
| Quadrieren | Die Wurzel wird durch Quadrieren beider Seiten entfernt |
| Gleichung lösen | Die entstandene Gleichung ohne Wurzel wird gelöst |
| Probe | Jede Lösung wird in die ursprüngliche Wurzelgleichung eingesetzt |
Beispiel 1: Einfache Wurzelgleichung
Löse die Gleichung Wurzel aus (x plus 3) gleich 5.
Gegeben:
- Gleichung: Wurzel aus (x plus 3) gleich 5
Gesucht:
Der Wert von xLösung:
- Wurzel ist bereits isoliert: Sie steht schon allein auf der linken Seite der Gleichung.
- Beide Seiten quadrieren: Aus Wurzel aus (x plus 3) gleich 5 wird x plus 3 gleich 25.
- Gleichung lösen: x plus 3 gleich 25 ergibt x gleich 22.
- Probe machen: Wurzel aus (22 plus 3) ergibt Wurzel aus 25, also 5, was mit der rechten Seite übereinstimmt.
Die Lösung der Gleichung lautet x gleich 22. Da die Probe die ursprüngliche Gleichung bestätigt, ist diese Lösung korrekt und es handelt sich nicht um eine Scheinlösung.
Beispiel 2: Wurzelgleichung mit Scheinlösung
Löse die Gleichung Wurzel aus (x plus 1) gleich x minus 1.
Gegeben:
- Gleichung: Wurzel aus (x plus 1) gleich x minus 1
Gesucht:
Der Wert von xLösung:
- Beide Seiten quadrieren: x plus 1 gleich (x minus 1) hoch 2, also x plus 1 gleich x hoch 2 minus 2x plus 1.
- Gleichung umformen: Es ergibt sich x hoch 2 minus 3x gleich Null.
- Lösungen bestimmen: Ausklammern von x liefert x mal (x minus 3) gleich Null, also x gleich 0 oder x gleich 3.
- Probe für beide Lösungen: Für x gleich 0 ergibt sich Wurzel aus 1 gleich 1, aber die rechte Seite ist minus 1, also stimmt das nicht.
Nur x gleich 3 ist eine gültige Lösung, denn Wurzel aus 4 ergibt 2 und die rechte Seite 3 minus 1 ergibt ebenfalls 2. x gleich 0 ist eine Scheinlösung, die durch das Quadrieren entstanden ist und verworfen werden muss.
Typische Fehler bei Wurzelgleichungen
Der häufigste Fehler ist, die abschließende Probe wegzulassen. Ohne Probe bleibt unentdeckt, ob eine gefundene Lösung tatsächlich die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllt oder ob es sich um eine durch das Quadrieren entstandene Scheinlösung handelt.
Ein zweiter Fehler ist, beim Quadrieren einer Summe die binomische Formel zu vergessen. (x minus 1) hoch 2 ist nicht x hoch 2 minus 1, sondern x hoch 2 minus 2x plus 1.
Ein dritter Fehler ist, den Definitionsbereich zu ignorieren. Der Ausdruck unter der Wurzel muss größer oder gleich Null sein, sonst ist die Wurzelgleichung an dieser Stelle gar nicht definiert.
Tipps für die Klassenarbeit
Isoliere die Wurzel immer vollständig, bevor du quadrierst. Stehen noch andere Terme auf derselben Seite wie die Wurzel, entsteht beim Quadrieren ein deutlich komplizierterer Ausdruck.
Notiere dir vor dem Quadrieren, dass die rechte Seite der Gleichung nicht negativ sein darf, wenn links eine Wurzel steht. Ist die rechte Seite negativ, kann die Gleichung von vornherein keine Lösung haben.
Setze am Ende jede gefundene Lösung konsequent in die ursprüngliche Wurzelgleichung ein, nicht nur in die quadrierte Version. Nur so erkennst du Scheinlösungen zuverlässig.
Jetzt bist du dran!
Löse die Gleichung Wurzel aus (x minus 2) gleich 4 und gib den Wert von x an.
Das Wichtigste in Kürze
- Bei einer Wurzelgleichung steht die gesuchte Variable unter einer Wurzel.
- Die Wurzel wird zuerst isoliert und dann durch Quadrieren beider Seiten entfernt.
- Quadrieren kann Scheinlösungen erzeugen, die die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllen.
- Jede gefundene Lösung muss durch eine Probe in der ursprünglichen Wurzelgleichung bestätigt werden.
- Der Ausdruck unter der Wurzel muss stets größer oder gleich Null sein.
Lektion abschließen
Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Wurzelgleichungen lösen
- Was ist eine Wurzelgleichung?
- Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, bei der die gesuchte Variable unter einer Wurzel steht, zum Beispiel Wurzel aus (x plus 3) gleich 5. Zum Lösen wird die Wurzel meist durch Quadrieren entfernt.
- Wie löst man eine Wurzelgleichung?
- Man isoliert die Wurzel auf einer Seite der Gleichung, quadriert anschließend beide Seiten, löst die entstandene Gleichung ohne Wurzel und prüft jede Lösung durch eine Probe in der ursprünglichen Gleichung.
- Was ist eine Scheinlösung bei einer Wurzelgleichung?
- Eine Scheinlösung ist ein Wert, der beim Lösen der quadrierten Gleichung entsteht, aber die ursprüngliche Wurzelgleichung nicht erfüllt. Scheinlösungen entstehen, weil Quadrieren keine eindeutige Umkehrung des Wurzelziehens ist.
- Warum ist die Probe bei Wurzelgleichungen so wichtig?
- Nur durch das Einsetzen jeder Lösung in die ursprüngliche Wurzelgleichung lässt sich erkennen, ob es sich um eine echte Lösung oder um eine durch das Quadrieren entstandene Scheinlösung handelt.
- In welcher Klasse werden Wurzelgleichungen unterrichtet?
- Wurzelgleichungen werden meist in Klasse 10 behandelt, nachdem quadratische Gleichungen und die binomischen Formeln bereits sicher beherrscht werden.
- Was macht man, wenn eine Wurzelgleichung zwei Wurzeln enthält?
- Man isoliert zunächst eine der beiden Wurzeln und quadriert, um diese zu entfernen. Danach isoliert man die verbleibende Wurzel erneut und quadriert ein zweites Mal, bis keine Wurzel mehr übrig ist.
- Kann eine Wurzelgleichung mehrere gültige Lösungen haben?
- Ja, eine Wurzelgleichung kann durchaus mehrere gültige Lösungen besitzen. Jede der beim Lösen gefundenen Zahlen muss aber einzeln durch die Probe bestätigt werden, bevor sie als gültige Lösung gilt.
- Wozu braucht man Wurzelgleichungen im Alltag?
- Wurzelgleichungen treten auf, wenn man physikalische oder geometrische Formeln nach einer Größe umstellt, die unter einer Wurzel steht, etwa bei der Fallzeit eines Gegenstands oder bei Streckenberechnungen mit dem Satz des Pythagoras.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.