Biquadratische Gleichungen lösen
Biquadratische Gleichungen enthalten nur gerade Exponenten wie 4, 2 und 0 und lassen sich deshalb auf eine quadratische Gleichung zurückführen. In dieser Lektion lernst du, wie du mit der Substitution u gleich x hoch 2 eine biquadratische Gleichung löst und wie du aus den Lösungen für u die vollständigen Lösungen für x bestimmst.
- Fach: Mathematik
- Klasse 10
- Thema: Gleichungen
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Biquadratische Gleichungen: quadratisch versteckt in x hoch 4
Eine biquadratische Gleichung ist eine Gleichung vierten Grades, in der ausschließlich die Exponenten 4, 2 und 0 vorkommen, zum Beispiel x hoch 4 minus 5 mal x hoch 2 plus 4 gleich Null. Terme mit x hoch 3 oder x hoch 1 dürfen dabei nicht auftreten.
Diese besondere Form erlaubt einen Trick: Ersetzt man x hoch 2 durch eine neue Variable u, wird aus der Gleichung vierten Grades eine gewöhnliche quadratische Gleichung in u. Diese lässt sich mit der p-q-Formel oder der Mitternachtsformel lösen, die du bereits kennst.
Biquadratische Gleichungen tauchen zum Beispiel auf, wenn man die Nullstellen einer Funktion vierten Grades bestimmt, deren Graph symmetrisch zur y-Achse verläuft. Solche Funktionen beschreiben etwa bestimmte Wachstumsmodelle oder Querschnittsflächen in der Technik.
Lösen mit Substitution
Um eine biquadratische Gleichung zu lösen, ersetzt du zunächst x hoch 2 durch die Hilfsvariable u. Damit wird x hoch 4 zu u hoch 2, und die ursprüngliche Gleichung a mal x hoch 4 plus b mal x hoch 2 plus c gleich Null wird zu a mal u hoch 2 plus b mal u plus c gleich Null.
Diese quadratische Gleichung in u löst du wie gewohnt, zum Beispiel mit der p-q-Formel. Du erhältst dabei bis zu zwei Lösungen für u.
Anschließend führst du die Rücksubstitution durch: Aus u gleich x hoch 2 folgt x gleich Wurzel aus u oder x gleich minus Wurzel aus u. Ist eine Lösung für u negativ, liefert sie keine reelle Lösung für x, da x hoch 2 niemals negativ werden kann.
- u
- Hilfsvariable der Substitution
- x
- ursprüngliche Variable der Gleichung
| Lösung für u | Lösung für x | Anzahl reeller Lösungen |
|---|---|---|
| u gleich 4 | x gleich 2 oder x gleich minus 2 | 2 |
| u gleich 1 | x gleich 1 oder x gleich minus 1 | 2 |
| u gleich 0 | x gleich 0 | 1 |
| u gleich minus 3 | keine reelle Lösung | 0 |
Beispiel 1: Vier reelle Lösungen
Löse die Gleichung x hoch 4 minus 5 mal x hoch 2 plus 4 gleich Null.
Gegeben:
- Gleichung: x hoch 4 minus 5 mal x hoch 2 plus 4 gleich Null
Gesucht:
Alle reellen Lösungen für xLösung:
- Substitution einführen: u wird für x hoch 2 eingesetzt, die Gleichung wird zu u hoch 2 minus 5u plus 4 gleich Null.
- Quadratische Gleichung lösen: Mit der p-q-Formel ergeben sich u gleich 1 und u gleich 4.
- Rücksubstitution für u gleich 1: x hoch 2 gleich 1 ergibt x gleich 1 oder x gleich minus 1.
- Rücksubstitution für u gleich 4: x hoch 2 gleich 4 ergibt x gleich 2 oder x gleich minus 2.
Die Gleichung hat die vier Lösungen x gleich minus 2, minus 1, 1 und 2. Setzt man zum Beispiel x gleich 2 ein, ergibt sich 16 minus 20 plus 4 gleich Null, was die Lösung bestätigt.
Beispiel 2: Negative Lösung für u ausschließen
Löse die Gleichung x hoch 4 plus 3 mal x hoch 2 minus 4 gleich Null.
Gegeben:
- Gleichung: x hoch 4 plus 3 mal x hoch 2 minus 4 gleich Null
Gesucht:
Alle reellen Lösungen für xLösung:
- Substitution einführen: Die Gleichung wird zu u hoch 2 plus 3u minus 4 gleich Null.
- Quadratische Gleichung lösen: Die Lösungen sind u gleich 1 und u gleich minus 4.
- u gleich minus 4 prüfen: Da x hoch 2 nicht negativ werden kann, liefert diese Lösung keine reelle Lösung für x.
- Rücksubstitution für u gleich 1: x hoch 2 gleich 1 ergibt x gleich 1 oder x gleich minus 1.
Die Gleichung hat nur die beiden reellen Lösungen x gleich 1 und x gleich minus 1, obwohl die quadratische Hilfsgleichung zwei Lösungen für u besitzt. Die Probe mit x gleich 1 bestätigt: 1 plus 3 minus 4 ergibt Null.
Typische Fehler bei biquadratischen Gleichungen
Der häufigste Fehler ist, nach der Substitution zu vergessen, dass jede positive Lösung für u zwei Lösungen für x liefert. Wer nur die positive Wurzel notiert, findet höchstens die Hälfte der Lösungen.
Ein zweiter Fehler ist, eine negative Lösung für u trotzdem in x gleich Wurzel aus u einzusetzen. Da unter der Wurzel keine negative Zahl stehen darf, muss diese Lösung für u verworfen werden, nicht weitergerechnet.
Ein dritter Fehler ist, die Rücksubstitution ganz zu vergessen und die Lösungen für u direkt als Lösungen für x anzugeben. u und x sind aber unterschiedliche Variablen, die Aufgabe ist erst nach der Rücksubstitution vollständig gelöst.
Tipps für die Klassenarbeit
Prüfe zuerst, ob in der Gleichung wirklich nur die Exponenten 4, 2 und 0 vorkommen, bevor du die Substitution anwendest. Steht ein Term mit x hoch 3 oder x hoch 1 in der Gleichung, funktioniert dieser Ansatz nicht.
Behalte im Kopf, dass jede positive Lösung für u zwei Lösungen für x liefert, eine negative Lösung für u dagegen keine reelle Lösung. Notiere dir das direkt neben der Lösung für u.
Mache am Ende immer eine Probe mit mindestens einer der gefundenen Lösungen, indem du sie in die ursprüngliche Gleichung mit x hoch 4 einsetzt, nicht in die Hilfsgleichung mit u.
Jetzt bist du dran!
Welche Hilfsvariable setzt man bei einer biquadratischen Gleichung üblicherweise für x hoch 2 ein?
Das Wichtigste in Kürze
- Eine biquadratische Gleichung enthält nur die Exponenten 4, 2 und 0.
- Die Substitution u gleich x hoch 2 verwandelt sie in eine quadratische Gleichung in u.
- Jede positive Lösung für u liefert zwei Lösungen für x, eine negative Lösung für u keine reelle Lösung.
- Nach dem Lösen der Hilfsgleichung folgt immer die Rücksubstitution zu x.
- Eine biquadratische Gleichung hat höchstens vier reelle Lösungen.
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Häufige Fragen zu Biquadratische Gleichungen lösen
- Was ist eine biquadratische Gleichung?
- Eine biquadratische Gleichung ist eine Gleichung vierten Grades, in der nur die Exponenten 4, 2 und 0 vorkommen, zum Beispiel x hoch 4 minus 5 mal x hoch 2 plus 4 gleich Null. Terme mit ungeraden Exponenten dürfen nicht auftreten.
- Wie löst man eine biquadratische Gleichung?
- Man ersetzt x hoch 2 durch die Hilfsvariable u, löst die entstehende quadratische Gleichung in u und führt anschließend die Rücksubstitution durch, um die Lösungen für x zu erhalten.
- Warum liefert eine Lösung für u manchmal keine Lösung für x?
- Ist eine Lösung für u negativ, gibt es keine reelle Zahl x, deren Quadrat diesen negativen Wert ergibt. Deshalb wird eine negative Lösung für u verworfen und liefert keine reelle Lösung für x.
- Wie viele Lösungen kann eine biquadratische Gleichung haben?
- Eine biquadratische Gleichung kann bis zu vier reelle Lösungen haben, da jede positive Lösung für u zwei Lösungen für x liefert. Sie kann aber auch nur zwei, eine oder gar keine reelle Lösung besitzen.
- In welcher Klasse werden biquadratische Gleichungen unterrichtet?
- Biquadratische Gleichungen werden meist in Klasse 10 behandelt, nachdem quadratische Gleichungen und die p-q-Formel bereits sicher beherrscht werden.
- Was ist der Unterschied zwischen einer quadratischen und einer biquadratischen Gleichung?
- Eine quadratische Gleichung enthält höchstens die Exponenten 2, 1 und 0, eine biquadratische Gleichung dagegen die Exponenten 4, 2 und 0. Durch die Substitution u gleich x hoch 2 lässt sich die biquadratische Gleichung auf eine quadratische zurückführen.
- Wie prüft man die Lösungen einer biquadratischen Gleichung?
- Man setzt jede gefundene Lösung für x wieder in die ursprüngliche Gleichung mit x hoch 4 ein und prüft, ob sich Null ergibt. Diese Probe zeigt, ob bei der Substitution oder der Rücksubstitution ein Fehler passiert ist.
- Wozu braucht man biquadratische Gleichungen?
- Biquadratische Gleichungen treten auf, wenn man die Nullstellen von Funktionen vierten Grades mit achsensymmetrischem Graphen bestimmt, wie sie in Technik und Naturwissenschaft zur Beschreibung bestimmter Kurvenverläufe genutzt werden.
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