Quadratische Ungleichungen lösen
Quadratische Ungleichungen lösen bedeutet, alle x-Werte zu finden, für die ein quadratischer Term größer oder kleiner als null ist. In dieser Lektion lernst du, wie du mit den Nullstellen und einer Skizze der Parabel die Lösungsmenge bestimmst und worauf du bei den Ungleichheitszeichen achten musst.
- Fach: Mathematik
- Klasse 10
- Thema: Gleichungen
- Dauer: 18 Min
- Niveau: Mittel
Quadratische Ungleichungen lösen: Worum es geht
Quadratische Ungleichungen löst du, indem du zuerst die Nullstellen des quadratischen Terms bestimmst und dann an der Parabel abliest, wo sie über oder unter der x-Achse liegt. Die Lösung ist meist ein Intervall oder zwei Bereiche links und rechts der Nullstellen.
Eine quadratische Ungleichung sieht aus wie eine quadratische Gleichung, nur steht statt des Gleichheitszeichens ein Zeichen wie kleiner, größer, kleiner gleich oder größer gleich. Ein Beispiel ist x² − 2x − 8 < 0. Gefragt sind nicht einzelne Zahlen, sondern ganze Bereiche von Zahlen.
Der Trick ist, sich die zugehörige Funktion vorzustellen. Der Term x² − 2x − 8 ist der Funktionsterm einer nach oben geöffneten Parabel. Dort, wo die Parabel unterhalb der x-Achse verläuft, ist der Term negativ, und dort, wo sie oberhalb verläuft, ist er positiv. Die Nullstellen sind die Grenzen der Bereiche.
Lösungsverfahren: Nullstellen und Parabel
Das Verfahren hat vier Schritte. Erstens bringst du alles auf eine Seite, sodass rechts null steht. Zweitens berechnest du die Nullstellen mit der pq-Formel oder durch Faktorisieren. Drittens skizzierst du die Parabel. Viertens liest du die Bereiche ab, in denen die Ungleichung gilt.
Für die Skizze brauchst du nur zwei Informationen: die Nullstellen und die Öffnungsrichtung. Ist der Faktor a vor x² positiv, ist die Parabel nach oben geöffnet, sie liegt dann zwischen den Nullstellen unter der x-Achse und außerhalb darüber. Ist a negativ, ist es genau umgekehrt.
Ob die Nullstellen selbst zur Lösung gehören, entscheidet das Zeichen. Bei kleiner als und größer als bleiben sie draußen, das Intervall ist offen. Bei kleiner gleich und größer gleich gehören sie dazu, das Intervall ist abgeschlossen. Dort ist der Term ja genau null.
- a
- Faktor vor x², bestimmt die Öffnungsrichtung
- b
- Faktor vor x
- c
- Zahl ohne x
- x
- gesuchte Lösung, ein ganzer Bereich
| Ungleichung | Parabel liegt | Lösungsmenge |
|---|---|---|
| Term < 0 | unter der x-Achse | zwischen den Nullstellen, ohne Ränder |
| Term ≤ 0 | auf oder unter der x-Achse | zwischen den Nullstellen, mit Rändern |
| Term > 0 | über der x-Achse | außerhalb der Nullstellen, ohne Ränder |
| Term ≥ 0 | auf oder über der x-Achse | außerhalb der Nullstellen, mit Rändern |
Beispiel 1: x² − 2x − 8 < 0 lösen
Löse die Ungleichung x² − 2x − 8 < 0.
Gegeben:
- x² − 2x − 8 < 0
Gesucht:
Die LösungsmengeLösung:
- Rechts steht bereits null. Die zugehörige Gleichung lautet x² − 2x − 8 = 0.
- Nullstellen mit der pq-Formel: x = 1 ± Wurzel aus (1 + 8) = 1 ± 3. Also x₁ = −2 und x₂ = 4.
- Skizze: Die Parabel ist nach oben geöffnet, weil vor x² eine positive 1 steht, und schneidet die x-Achse bei −2 und 4.
- Ablesen: Gesucht ist, wo der Term kleiner als null ist, also unter der x-Achse. Das ist zwischen den Nullstellen der Fall.
Die Lösungsmenge ist L = ]−2; 4[, also alle x mit −2 < x < 4. Zur Probe setzt du x = 0 ein: 0 − 0 − 8 = −8, das ist kleiner als null. Mit x = 5 erhältst du 25 − 10 − 8 = 7, das ist nicht kleiner als null.
Beispiel 2: x² − x − 6 > 0 lösen
Löse die Ungleichung x² − x − 6 > 0.
Gegeben:
- x² − x − 6 > 0
Gesucht:
Die LösungsmengeLösung:
- Zugehörige Gleichung: x² − x − 6 = 0. Faktorisieren ergibt (x + 2) · (x − 3) = 0.
- Nullstellen: x₁−2 und x₂3.
- Skizze: Nach oben geöffnete Parabel, die bei −2 und 3 die x-Achse schneidet.
- Ablesen: Der Term soll größer als null sein, die Parabel muss also oberhalb der x-Achse liegen. Das gilt links von −2 und rechts von 3.
Die Lösungsmenge ist L = ]−∞; −2[ ∪ ]3; ∞[, also x < −2 oder x > 3. Zur Probe: Für x = 4 gilt 16 − 4 − 6 = 6 > 0, für x = −3 gilt 9 + 3 − 6 = 6 > 0. Für x = 0 ergibt sich −6, das gehört nicht dazu.
Typische Fehler beim Lösen quadratischer Ungleichungen
Der häufigste Fehler ist, die Ungleichung wie eine Gleichung zu behandeln und nur die Nullstellen anzugeben. Die Nullstellen sind aber nur die Grenzen. Die eigentliche Lösung ist der Bereich dazwischen oder außerhalb, und der muss mit den Ungleichheitszeichen aufgeschrieben werden.
Der zweite Fehler passiert beim Umformen. Multiplizierst oder dividierst du beide Seiten mit einer negativen Zahl, musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen. Aus −x² + 4 ≥ 0 wird nach Multiplikation mit −1 die Ungleichung x² − 4 ≤ 0. Wer das Zeichen nicht dreht, bekommt genau die falschen Bereiche.
Ein dritter Fehler ist, die Wurzel zu ziehen und dabei eine Lösung zu verlieren. Aus x² < 9 folgt nicht nur x < 3, sondern −3 < x < 3. Auch bei der Öffnungsrichtung passieren Fehler: Verwechselst du nach oben und nach unten, vertauschst du innen und außen.
Tipps für die Klassenarbeit und Anwendungen
In Klassenarbeiten werden quadratische Ungleichungen oft in Sachaufgaben versteckt. Wann ist der Gewinn eines Betriebes positiv? Zwischen welchen Höhen liegt ein geworfener Ball über zwei Metern? Immer wird nach einem Bereich gefragt, in dem eine Parabel über oder unter einer Marke liegt.
Notiere deshalb die Lösung am Ende immer als Aussage im Zusammenhang. Statt nur das Intervall hinzuschreiben, formulierst du: Der Gewinn ist positiv für Stückzahlen zwischen 40 und 120. So zeigst du, dass du die Aufgabe verstanden hast, und bekommst volle Punkte.
Hilfreich ist ein fester Rechenplan. Zuerst alles auf eine Seite, dann Nullstellen, dann Skizze, dann Bereich. Vergiss nicht zu prüfen, ob die Ränder zur Lösung gehören. Ein Wert wie x = −2 gehört nur dazu, wenn in der Aufgabe kleiner gleich oder größer gleich steht.
Jetzt bist du dran!
Welche Lösungsmenge hat die Ungleichung x² − 9 < 0?
Noch nicht. Die Nullstellen von x² − 9 sind −3 und 3. Die Parabel ist nach oben geöffnet und liegt zwischen den Nullstellen unter der x-Achse, also gilt −3 < x < 3.
Das Wichtigste in Kürze
- Bei quadratischen Ungleichungen sucht man einen Bereich von x-Werten, nicht einzelne Zahlen.
- Zuerst stellst du auf null um und berechnest die Nullstellen.
- Die Skizze der Parabel zeigt, ob die Lösung zwischen oder außerhalb der Nullstellen liegt.
- Bei kleiner gleich und größer gleich gehören die Nullstellen zur Lösung.
- Multiplizierst du mit einer negativen Zahl, drehst du das Ungleichheitszeichen um.
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Häufige Fragen zu Quadratische Ungleichungen lösen
- Wie löst man quadratische Ungleichungen?
- Du bringst alles auf eine Seite, berechnest die Nullstellen der zugehörigen Gleichung, skizzierst die Parabel und liest ab, wo sie über oder unter der x-Achse liegt. Daraus ergibt sich die Lösungsmenge als Intervall oder als zwei Bereiche.
- Was ist der Unterschied zwischen quadratischer Gleichung und Ungleichung?
- Bei einer Gleichung suchst du einzelne Lösungen, in der Regel höchstens zwei. Bei einer Ungleichung suchst du alle Werte, für die ein Term größer oder kleiner als null ist. Die Lösung ist deshalb meist ein ganzer Bereich von Zahlen.
- Wann dreht man das Ungleichheitszeichen um?
- Du drehst das Zeichen um, wenn du beide Seiten mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch sie teilst. Aus kleiner wird dann größer, aus kleiner gleich wird größer gleich. Beim Addieren oder Subtrahieren bleibt das Zeichen unverändert.
- Wie schreibt man die Lösungsmenge einer quadratischen Ungleichung auf?
- Du kannst sie mit Ungleichungen schreiben, zum Beispiel −2 < x < 4, oder als Intervall ]−2; 4[. Liegt die Lösung außerhalb der Nullstellen, verbindest du beide Bereiche mit oder oder mit dem Vereinigungszeichen.
- Was passiert, wenn die Parabel keine Nullstellen hat?
- Dann liegt die Parabel ganz auf einer Seite der x-Achse. Eine nach oben geöffnete Parabel ohne Nullstellen ist immer positiv, die Ungleichung größer null gilt dann für alle x, kleiner null hat keine Lösung. Bei nach unten geöffneter Parabel ist es umgekehrt.
- Gehören die Nullstellen zur Lösungsmenge?
- Das hängt vom Zeichen ab. Bei kleiner und größer gehören die Nullstellen nicht zur Lösung, bei kleiner gleich und größer gleich schon, weil der Term dort genau null ist und die Bedingung erfüllt.
- Kann man quadratische Ungleichungen auch ohne Skizze lösen?
- Ja. Du kannst den Term in Linearfaktoren zerlegen und eine Vorzeichentabelle anlegen oder Testwerte aus den Bereichen einsetzen. Die Skizze ist aber der schnellste Weg, weil sie Nullstellen und Öffnungsrichtung gleichzeitig zeigt.
- In welcher Klasse lernt man quadratische Ungleichungen?
- Quadratische Ungleichungen werden meist in Klasse 10 behandelt, nachdem quadratische Gleichungen und die pq-Formel bekannt sind. Sie sind auch in der Oberstufe wichtig, etwa bei Definitionsbereichen und Kurvendiskussionen.
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