Lineare Ungleichungen
In dieser Lektion lernst du, lineare Ungleichungen wie 3x + 2 < 11 zu lösen. Du erfährst, warum sich das Zeichen beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl umdreht, und wie du die Lösungsmenge angibst.
- Fach: Mathematik
- Klasse 8
- Thema: Terme und Gleichungen
- Dauer: 15 Min
- Niveau: Mittel
Nicht eine Lösung, sondern viele
Eine Gleichung wie 2x = 8 hat genau eine Lösung. Eine Ungleichung wie 2x < 8 dagegen hat unendlich viele: Jede Zahl kleiner als 4 erfüllt sie, also 3, 0, −17 und auch 3,99. Statt eines Gleichheitszeichens steht eines der Zeichen <, >, ≤ oder ≥. Das Zeichen ≤ bedeutet „kleiner oder gleich“, die Grenze selbst gehört also noch zur Lösung. Bei < gehört sie nicht dazu.
Ungleichungen tauchen immer dann auf, wenn es um Grenzen geht: „Ich darf höchstens 20 € ausgeben“, „Der Aufzug trägt maximal 600 kg“ oder „Für eine Zwei brauche ich mindestens 40 Punkte“. Wörter wie „höchstens“ und „maximal“ übersetzt du mit ≤, „mindestens“ mit ≥. „Weniger als“ und „mehr als“ werden zu < und >.
Du löst eine Ungleichung fast genauso wie eine Gleichung: Du addierst, subtrahierst, multiplizierst oder dividierst auf beiden Seiten mit derselben Zahl, bis x allein steht. Addieren und Subtrahieren ändern am Zeichen nichts, denn beide Seiten werden um denselben Betrag verschoben. Auch Multiplizieren und Dividieren mit einer positiven Zahl lassen das Zeichen stehen. Am Ende gibst du die Lösungsmenge an, etwa L = {x | x < 4}, gelesen: alle x, für die x kleiner als 4 ist.
Ein typischer Fehler: Beim Teilen durch eine negative Zahl wird vergessen, das Zeichen umzudrehen. Dabei ist das zwingend. Es gilt 2 < 5, aber nach Multiplikation mit −1 ist −2 größer als −5. Auf dem Zahlenstrahl werden die Zahlen am Nullpunkt gespiegelt, und dabei tauschen sie ihre Reihenfolge. Aus „kleiner“ wird also „größer“. Prüfe deine Lösung am besten mit einer Probezahl, die in deiner Lösungsmenge liegt.
Wann dreht sich das Zeichen um?
Entscheidend ist nur, ob du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch sie teilst. Alle anderen Umformungen verhalten sich genauso wie bei Gleichungen. Ob auf der rechten Seite eine negative Zahl steht, spielt dagegen keine Rolle: Bei 2x < −6 teilst du durch die positive 2, und das Zeichen bleibt, also x < −3.
Du kannst das Umdrehen oft ganz vermeiden, indem du die Seiten geschickt ordnest. Aus −2x < 6 wird durch Addieren von 2x auf beiden Seiten 0 < 6 + 2x, dann −6 < 2x und schließlich −3 < x. Das ist dasselbe Ergebnis wie x > −3. Beide Wege sind richtig, wähle den, bei dem du dich weniger leicht vertust.
Zeichen bleibt
Du addierst oder subtrahierst eine beliebige Zahl oder multiplizierst und dividierst mit einer positiven Zahl.
Beispiele
- x + 3 < 7 wird zu x < 4
- 2x > 10 wird zu x > 5
- x/3 ≤ 2 wird zu x ≤ 6
Signalwörter
- + oder − auf beiden Seiten
- Teilen durch positive Zahl
- Mal positive Zahl
Zeichen dreht sich um
Du multiplizierst mit einer negativen Zahl oder dividierst durch eine negative Zahl.
Beispiele
- −2x < 6 wird zu x > −3
- −x ≥ 4 wird zu x ≤ −4
- −3x > −9 wird zu x < 3
Signalwörter
- negativer Faktor vor x
- Teilen durch negative Zahl
- Mal (−1)
- < wird zu >
Beispiel 1: Eine Ungleichung mit Zeichen umdrehen
Löse die Ungleichung 5 − 2x > 11.
Gegeben:
- 5 − 2x > 11
Gesucht:
Lösungsmenge LLösung:
- Ziel: x soll allein stehen. Zuerst stört die 5 auf der linken Seite.
- Minus 5 auf beiden Seiten: 5 − 2x − 5 > 11 − 5, also −2x > 6. Das Zeichen bleibt, weil nur subtrahiert wurde.
- Vor x steht der Faktor −2. Durch −2 teilen und dabei das Zeichen umdrehen: x < 6 : (−2), also x < −3.
- Probe mit x = −4, das in der Lösungsmenge liegt: 5 − 2 · (−4) = 5 + 8 = 13, und 13 > 11 stimmt.
- Gegenprobe mit x = 0, das nicht in der Lösungsmenge liegt: 5 − 0 = 5, und 5 > 11 ist falsch.
L = {x | x < −3}. Alle Zahlen kleiner als −3 sind Lösungen, −3 selbst nicht, weil dort 5 + 6 = 11 herauskommt und 11 nicht größer als 11 ist. Probe und Gegenprobe bestätigen, dass die Richtung des Zeichens stimmt.
Beispiel 2: Sachaufgabe mit Signalwort
Ein Freizeitpark verlangt 12 € Eintritt plus 3 € pro Fahrgeschäft. Du hast höchstens 30 € dabei. Wie viele Fahrgeschäfte x kannst du nutzen?
Gegeben:
- Eintritt: 12 €
- pro Fahrgeschäft: 3 €
- höchstens 30 € insgesamt
Gesucht:
xLösung:
- „Höchstens“ übersetzt sich als ≤: 12 + 3x ≤ 30
- 12 auf beiden Seiten subtrahieren: 3x ≤ 18
- Durch 3 teilen, positive Zahl, Zeichen bleibt: x ≤ 6
Du kannst höchstens 6 Fahrgeschäfte nutzen. Bei genau 6 gibst du 12 + 3 · 6 = 30 € aus, das trifft die Grenze exakt. Ein siebtes Fahrgeschäft würde 33 € kosten und das Budget überschreiten.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler ist, das Zeichen beim Teilen durch eine negative Zahl nicht umzudrehen. Kontrolliere deshalb nach jeder Division, ob die Zahl vor dem x negativ war, und drehe in diesem Fall bewusst das Zeichen um.
Ein zweiter Fehler ist die falsche Übersetzung von Signalwörtern. „Höchstens 30“ bedeutet x ≤ 30, nicht x < 30, denn die 30 selbst ist noch erlaubt. Bei „weniger als 30“ dagegen gehört die 30 nicht mehr dazu, hier steht x < 30.
Ein dritter Fehler ist, die Grenze bei einer Sachaufgabe nicht zu runden, obwohl nur ganze Stück sinnvoll sind. Ergibt sich x ≤ 3,75 bei einer Anzahl von Tickets, ist die sinnvolle Antwort „höchstens 3 Tickets“, denn ein Ticket lässt sich nicht teilen.
| Signalwort | Zeichen | Grenze eingeschlossen? |
|---|---|---|
| höchstens, maximal | ≤ | ja |
| mindestens | ≥ | ja |
| weniger als | < | nein |
| mehr als | > | nein |
Tipps für die Klassenarbeit
Markiere dir in Textaufgaben das Signalwort und schreibe daneben sofort das passende Zeichen, bevor du die Ungleichung aufstellst. Das verhindert, dass du später aus Versehen mit dem falschen Zeichen weiterrechnest.
Prüfe bei jeder gelösten Ungleichung, ob die Lösungsmenge zur Aufgabe passt. Kommt bei einer Anzahl von Personen oder Tickets ein negativer Wert oder ein Bruch heraus, hast du wahrscheinlich einen Rechen- oder Übersetzungsfehler gemacht.
Jetzt bist du dran!
Löse 3x + 2 < 11. Gib die Grenze an: x < ?
Das Wichtigste in Kürze
- Ungleichungen haben meist unendlich viele Lösungen.
- Umformen wie bei Gleichungen: auf beiden Seiten dasselbe tun.
- Mal oder geteilt durch eine negative Zahl: Zeichen umdrehen.
- Lösungsmenge angeben, z. B. L = {x | x < 4}.
- Mit einer Probezahl prüfen, ob die Richtung stimmt.
- Signalwörter richtig übersetzen: höchstens/maximal ist ≤, mindestens ist ≥.
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Häufige Fragen zu Lineare Ungleichungen
- Wann muss ich bei einer Ungleichung das Zeichen umdrehen?
- Nur dann, wenn du beide Seiten mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl teilst. Addieren und Subtrahieren ändern das Zeichen nie, auch nicht bei negativen Zahlen. Ein Beispiel: Bei −3x < 12 teilst du durch −3 und erhältst x > −4. Bei 3x < −12 teilst du durch die positive 3, und es bleibt x < −4.
- Was ist der Unterschied zwischen < und ≤?
- Das Zeichen < heißt „kleiner als“, die Grenze gehört nicht zur Lösung. Das Zeichen ≤ heißt „kleiner oder gleich“, die Grenze ist also mit dabei. Bei x < 4 ist 4 keine Lösung, bei x ≤ 4 schon. Auf dem Zahlenstrahl zeichnet man die Grenze deshalb als offenen oder als ausgefüllten Kreis. In Sachaufgaben entspricht ≤ meist dem Wort „höchstens“.
- Wie schreibe ich die Lösungsmenge einer Ungleichung richtig auf?
- Üblich ist die Schreibweise L = {x | x < 4}. Du liest sie als „die Menge aller x, für die gilt: x ist kleiner als 4“. Manche Lehrkräfte verlangen stattdessen die Intervallschreibweise, dann steht dort zum Beispiel L = ]−∞; 4[. Frag im Zweifel nach, welche Form in deinem Unterricht verwendet wird.
- Wie kann ich prüfen, ob meine Lösung stimmt?
- Setze eine Zahl aus deiner Lösungsmenge in die ursprüngliche Ungleichung ein. Stimmt die Aussage, passt die Richtung. Dann setzt du zur Sicherheit noch eine Zahl ein, die nicht in deiner Lösungsmenge liegt. Diese muss eine falsche Aussage liefern. Liefern beide Zahlen dasselbe Ergebnis, hast du wahrscheinlich beim Teilen durch eine negative Zahl das Zeichen vergessen.
- In welcher Klasse lernt man lineare Ungleichungen?
- Lineare Ungleichungen stehen in den meisten Bundesländern in Klasse 7 oder 8 auf dem Lehrplan, meist direkt nach den linearen Gleichungen. Sie bauen auf dem Umformen von Gleichungen auf. Später brauchst du sie wieder, etwa bei Definitionsbereichen von Funktionen oder bei Optimierungsaufgaben.
- Wie übersetze ich eine Textaufgabe in eine Ungleichung?
- Suche zuerst das Signalwort: „höchstens“ oder „maximal“ steht für ≤, „mindestens“ für ≥, „weniger als“ für < und „mehr als“ für >. Stelle dann den Term für die gesuchte Größe auf und setze ihn mit dem passenden Zeichen in Beziehung zur genannten Grenze. Bei „höchstens 30 €“ und Kosten von 12 + 3x lautet die Ungleichung also 12 + 3x ≤ 30.
- Wie stelle ich eine Ungleichung auf dem Zahlenstrahl dar?
- Zeichne die Grenze als Punkt auf dem Zahlenstrahl. Gehört die Grenze zur Lösung, also bei ≤ oder ≥, malst du einen ausgefüllten Kreis, sonst bei < oder > einen offenen Kreis. Von diesem Punkt aus zeichnest du einen Pfeil in die Richtung, in der die Lösungsmenge liegt, also nach links für „kleiner“ und nach rechts für „größer“.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.
Das solltest du vorher können
- Lineare Gleichungen
- Rationale Zahlenin Arbeit