Lineare Gleichungssysteme
In dieser Lektion lernst du, wie du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gemeinsam löst. Du lernst das Einsetzungs- und das Additionsverfahren kennen und weißt danach, wann welches schneller ist.
- Fach: Mathematik
- Klasse 8
- Thema: Terme und Gleichungen
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Schwer
Zwei Unbekannte, zwei Gleichungen
Eine einzelne Gleichung wie x + y = 10 hat unendlich viele Lösungen: 3 und 7, 4 und 6, 2,5 und 7,5. Erst eine zweite Bedingung legt fest, welches Paar gemeint ist. Zwei solche Gleichungen zusammen heißen lineares Gleichungssystem. Gesucht ist das Zahlenpaar, das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Die Gleichungen nummerierst du meist mit I und II, damit du bei den Umformungen den Überblick behältst.
Im Alltag begegnen dir solche Systeme häufig. Ein Kino verkauft Kinderkarten zu 6 € und Erwachsenenkarten zu 10 €. An einem Abend werden 50 Karten für 380 € verkauft. Mit x Kinder- und y Erwachsenenkarten gilt x + y = 50 und 6x + 10y = 380. Keine der beiden Angaben allein verrät die Aufteilung, zusammen ergeben sie genau eine Lösung: 30 Kinder- und 20 Erwachsenenkarten.
Grafisch ist jede Gleichung eine Gerade. Die Lösung ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. Deshalb gibt es drei Möglichkeiten: Die Geraden schneiden sich in genau einem Punkt, sie sind parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt, oder sie liegen aufeinander und haben unendlich viele gemeinsame Punkte. Beim Rechnen erkennst du die Sonderfälle daran, dass beide Variablen verschwinden und eine falsche Aussage wie 0 = 4 oder eine wahre wie 0 = 0 übrig bleibt.
Ein typischer Fehler: Du hast x ausgerechnet und hörst auf. Die Lösung besteht aber immer aus beiden Werten. Setze x in eine der Gleichungen ein, um y zu bestimmen, und mache anschließend die Probe in der anderen Gleichung. Stimmt sie nicht, steckt irgendwo ein Rechenfehler, oft ein vergessenes Minuszeichen beim Subtrahieren zweier Gleichungen.
Einsetzen oder Addieren?
Beide Verfahren führen zum selben Ergebnis. Ziel ist jeweils, eine Unbekannte verschwinden zu lassen, damit nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten übrig bleibt. Die kannst du dann wie gewohnt lösen.
Beim Einsetzungsverfahren ersetzt du eine Variable durch den Term, der ihr laut der anderen Gleichung entspricht. Setze diesen Term immer in Klammern, sonst gehen Vorfaktoren verloren. Beim Additionsverfahren addierst oder subtrahierst du die Gleichungen seitenweise, sodass sich eine Variable aufhebt. Passen die Vorfaktoren nicht, multiplizierst du vorher eine Gleichung mit einer geeigneten Zahl.
Welches Verfahren schneller ist, erkennst du an der Form der Gleichungen.
Einsetzungsverfahren
Eine Gleichung ist schon nach x oder y aufgelöst oder lässt sich leicht auflösen.
Beispiele
- y = 2x und x + y = 9: 2x in die zweite Gleichung einsetzen
- x = y + 1 und 3x − y = 7
Signalwörter
- y = …
- x = …
- eine Variable ohne Vorfaktor
- einfaches Auflösen möglich
Additionsverfahren
Eine Variable hat in beiden Gleichungen gleiche oder entgegengesetzte Vorfaktoren.
Beispiele
- x + y = 10 und x − y = 4: addieren, y fällt weg
- 2x + 3y = 12 und 2x − y = 4: subtrahieren
Signalwörter
- +y und −y
- gleiche Vorfaktoren
- beide Gleichungen in der Form ax + by = c
- Multiplizieren macht Vorfaktoren gleich
| Form der Gleichungen | Verfahren | Beispiel |
|---|---|---|
| y = … oder x = … | Einsetzungsverfahren | y = 2x und x + y = 9 |
| +y und −y in beiden Gleichungen | Additionsverfahren | x + y = 10 und x − y = 4 |
| gleiche Vorfaktoren | Additionsverfahren (subtrahieren) | 2x + 3y = 12 und 2x − y = 4 |
| beide nach y aufgelöst | Gleichsetzungsverfahren | y = 2x + 1 und y = −x + 7 |
Mit dem Additionsverfahren lösen
Löse das Gleichungssystem x + y = 10 und x − y = 4.
Gegeben:
- I: x + y10
- II: x − y4
Gesucht:
x und yLösung:
- Verfahren wählen: y steht einmal mit Plus und einmal mit Minus, also Additionsverfahren
- I + II seitenweise: (x + y) + (x − y)10 + 4
- y fällt weg: 2x14 | : 2
- x7
- x in I einsetzen: 7 + y10 | − 7
- y3
- Probe in II: 7 − 34 stimmt
Die Lösung ist x = 7 und y = 3, also das Zahlenpaar (7|3). Es erfüllt beide Gleichungen: Gleichung I wurde zum Bestimmen von y benutzt, Gleichung II bestätigt das Paar in der Probe. Grafisch schneiden sich die beiden Geraden im Punkt (7|3).
Mit dem Einsetzungsverfahren lösen
Ein Kino verkauft an einem Abend 50 Karten für insgesamt 380 €. Kinderkarten kosten 6 €, Erwachsenenkarten 10 €. Wie viele Karten welcher Art wurden verkauft?
Gegeben:
- I: x + y50
- II: 6x + 10y380
Gesucht:
x (Kinderkarten) und y (Erwachsenenkarten)Lösung:
- Gleichung I nach x auflösen: x50 − y.
- In Gleichung II einsetzen: 6 · (50 − y) + 10y380.
- Klammer auflösen: 300 − 6y + 10y380, also 300 + 4y380.
- Nach y auflösen: 4y80, also y20.
- x berechnen: x50 − 2030. Probe in II: 6 · 30 + 10 · 20180 + 200380 stimmt.
Es wurden 30 Kinderkarten und 20 Erwachsenenkarten verkauft. Das Ergebnis passt zum Sachzusammenhang, denn beide Werte sind positive ganze Zahlen und ergeben zusammen die genannten 50 Karten.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler beim Einsetzungsverfahren ist eine vergessene Klammer. Setzt du 50 − y ohne Klammer für x ein, wird beim Ausmultiplizieren oft nur der erste Summand mit dem Vorfaktor multipliziert, das zweite Vorzeichen bleibt dann falsch. Schreibe den eingesetzten Term deshalb immer in Klammern und löse sie erst im nächsten Schritt sorgfältig auf.
Beim Additionsverfahren passiert der Fehler meist beim Vorzeichen einer Subtraktion. Ziehst du Gleichung II von Gleichung I ab, musst du jeden Term der zweiten Gleichung mit umgekehrtem Vorzeichen abziehen, nicht nur den ersten. Ein vergessenes Minuszeichen vor einem einzelnen Summanden verfälscht das ganze Ergebnis.
Ein dritter Fehler ist, die Rechnung nach dem ersten Wert abzubrechen. Manche Schüler berechnen x und vergessen, dass die vollständige Lösung immer aus x und y besteht. Ohne den zweiten Wert und ohne Probe bleibt offen, ob überhaupt richtig gerechnet wurde.
Tipps für die Klassenarbeit
Lies dir beide Gleichungen an, bevor du ein Verfahren wählst. Steht schon eine Variable allein auf einer Seite, spart das Einsetzungsverfahren Zeit. Stehen beide Gleichungen in der Form ax + by = c mit passenden Vorfaktoren, ist das Additionsverfahren meist schneller, weil du keine Brüche erzeugst.
Mache am Ende jeder Aufgabe die Probe in der Gleichung, die du nicht zum Berechnen des zweiten Werts benutzt hast. So prüfst du wirklich beide Gleichungen und nicht zweimal dieselbe. Bei Textaufgaben lohnt sich zusätzlich ein Blick auf den Sachzusammenhang: Negative Personenzahlen oder Brüche bei ganzen Gegenständen deuten meist auf einen Rechenfehler hin.
Jetzt bist du dran!
Löse y = 2x und x + y = 9. Wie groß ist x?
Das Wichtigste in Kürze
- Die Lösung eines Gleichungssystems erfüllt beide Gleichungen gleichzeitig.
- Grafisch ist die Lösung der Schnittpunkt zweier Geraden.
- Einsetzungsverfahren, wenn eine Gleichung schon nach einer Variablen aufgelöst ist.
- Additionsverfahren, wenn sich eine Variable durch Addieren oder Subtrahieren aufhebt.
- Immer beide Werte angeben und die Probe machen.
- Typischer Fehler: eingesetzten Term ohne Klammer schreiben oder beim Subtrahieren ein Vorzeichen vergessen.
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Häufige Fragen zu Lineare Gleichungssysteme
- Welches Verfahren ist das einfachste für Gleichungssysteme?
- Das hängt von den Gleichungen ab. Steht eine Variable schon allein, etwa y = 3x − 1, ist das Einsetzungsverfahren am schnellsten. Haben beide Gleichungen dieselbe Variable mit gleichem oder entgegengesetztem Vorfaktor, ist das Additionsverfahren kürzer. Sind beide Gleichungen nach y aufgelöst, kannst du sie auch gleichsetzen. Alle Verfahren liefern dasselbe Ergebnis, es geht nur um den Rechenaufwand.
- Was ist das Gleichsetzungsverfahren?
- Beim Gleichsetzungsverfahren löst du beide Gleichungen nach derselben Variablen auf und setzt die beiden Terme gleich. Aus y = 2x + 1 und y = −x + 7 wird 2x + 1 = −x + 7, also x = 2 und y = 5. Es ist ein Sonderfall des Einsetzungsverfahrens und besonders praktisch, wenn zwei Funktionsgleichungen gegeben sind und ihr Schnittpunkt gesucht wird.
- Wie erkenne ich, dass ein Gleichungssystem keine Lösung hat?
- Beim Rechnen fallen beide Variablen weg, und es bleibt eine falsche Aussage stehen, zum Beispiel 0 = 5. Grafisch bedeutet das: Die Geraden sind parallel. Du erkennst es oft schon vorher, wenn beide Gleichungen nach y aufgelöst dieselbe Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte haben. Bleibt dagegen eine wahre Aussage wie 0 = 0, gibt es unendlich viele Lösungen.
- Wie stelle ich bei einer Textaufgabe ein Gleichungssystem auf?
- Lege zuerst fest, wofür x und y stehen, zum Beispiel die Anzahl zweier Kartensorten. Suche dann im Text zwei unabhängige Angaben, meist eine Gesamtanzahl und einen Gesamtpreis. Jede Angabe wird zu einer Gleichung. Nach dem Lösen prüfst du, ob das Ergebnis im Sachzusammenhang Sinn ergibt, etwa keine negativen oder halben Personen herauskommen, und formulierst einen Antwortsatz.
- In welcher Klasse lernt man lineare Gleichungssysteme?
- Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten sind in den meisten Bundesländern Stoff der Klasse 8, teilweise auch der Klasse 9. Voraussetzung sind sichere lineare Gleichungen und lineare Funktionen. In der Oberstufe kommen Systeme mit drei Gleichungen und drei Unbekannten dazu, die mit dem Gauß-Verfahren gelöst werden. Das Prinzip, Variablen schrittweise zu entfernen, bleibt dasselbe.
- Wie mache ich die Probe bei einem Gleichungssystem?
- Setze beide berechneten Werte, also x und y, in die Gleichung ein, die du nicht zuletzt zum Berechnen benutzt hast. Stimmt die linke Seite mit der rechten Seite überein, ist die Lösung richtig. Bei der Kinokartenaufgabe prüfst du zum Beispiel x = 30 und y = 20 in 6x + 10y = 380: 6 · 30 + 10 · 20 ergibt tatsächlich 380.
- Was mache ich, wenn kein Verfahren offensichtlich passt?
- Dann wählst du meist das Additionsverfahren und multiplizierst eine oder beide Gleichungen so, dass eine Variable gleiche oder entgegengesetzte Vorfaktoren bekommt. Bei 2x + 3y = 12 und 3x − 2y = 5 multiplizierst du die erste Gleichung mit 2 und die zweite mit 3, damit y jeweils den Vorfaktor 6 beziehungsweise −6 erhält. Danach addierst du beide Gleichungen wie gewohnt.
- Warum hat ein Gleichungssystem manchmal keine Lösung?
- Keine Lösung bedeutet, dass die beiden Geraden parallel sind und sich nie schneiden. Rechnerisch erkennst du das daran, dass beim Lösen beide Variablen verschwinden und eine falsche Aussage wie 0 = 4 übrig bleibt. Das passiert, wenn beide Gleichungen dieselbe Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte haben, wie bei y = 2x + 1 und y = 2x − 3.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.
Das solltest du vorher können
Das kommt als Nächstes
- Quadratische Gleichungen
- Sachaufgaben lösenin Arbeit