Trigonometrische Gleichungen lösen
Trigonometrische Gleichungen lösen bedeutet, Gleichungen mit Sinus, Kosinus oder Tangens nach der gesuchten Winkelgröße aufzulösen, wobei es wegen der Periodizität dieser Funktionen meist mehrere Lösungen gibt. In dieser Lektion lernst du, wie du solche Gleichungen systematisch löst und alle Lösungen in einem gegebenen Bereich findest.
- Fach: Mathematik
- Klasse 11
- Thema: Gleichungen
- Dauer: 22 Min
- Niveau: Schwer
trigonometrische Gleichungen lösen: warum es oft mehrere Lösungen gibt
Trigonometrische Gleichungen lösen heißt, eine Gleichung mit den Winkelfunktionen Sinus, Kosinus oder Tangens nach dem gesuchten Winkel aufzulösen. Anders als bei linearen Gleichungen gibt es dabei wegen der Periodizität dieser Funktionen fast immer mehr als eine Lösung.
Solche Gleichungen tauchen zum Beispiel auf, wenn man berechnet, zu welchen Uhrzeiten die Tageslänge einen bestimmten Wert erreicht, oder wenn man die Auslenkung einer schwingenden Feder zu einem bestimmten Zeitpunkt bestimmen will. Überall dort, wo sich Größen periodisch wiederholen, führen die Rechnungen zu trigonometrischen Gleichungen.
Der Sinus und der Kosinus wiederholen sich alle 360 Grad, der Tangens bereits alle 180 Grad. Deshalb muss man bei jeder trigonometrischen Gleichung genau festlegen, in welchem Winkelbereich alle Lösungen gesucht werden, etwa zwischen 0 Grad und 360 Grad.
Vorgehen beim Lösen trigonometrischer Gleichungen
Zum Lösen einer Gleichung wie sin(x) gleich k berechnet man zunächst mit dem Arkussinus eine erste Lösung im Bereich zwischen minus 90 Grad und 90 Grad. Diese Lösung nennt man Grundlösung.
Da der Sinus symmetrisch zu 90 Grad ist, ergibt sich eine zweite Lösung im gesuchten Bereich durch 180 Grad minus die Grundlösung. Bei Kosinusgleichungen erhält man die zweite Lösung entsprechend durch 360 Grad minus die Grundlösung, da der Kosinus symmetrisch zu 0 Grad beziehungsweise 360 Grad ist.
Beim Tangens gibt es dagegen nur eine Lösung je Periode von 180 Grad, da der Tangens keine solche Spiegelsymmetrie innerhalb einer Periode besitzt. Um alle Lösungen in einem größeren Bereich zu finden, addiert man zur Grundlösung Vielfache der jeweiligen Periode.
- x
- gesuchter Winkel
- k
- gegebener Wert des Sinus
| Gleichungstyp | Lösungen je Periode | Symmetrie der Lösungen |
|---|---|---|
| sin(x) gleich k | zwei Lösungen (außer Extremwerte) | Lösungen liegen symmetrisch um 90 Grad |
| cos(x) gleich k | zwei Lösungen (außer Extremwerte) | Lösungen liegen symmetrisch um 0 Grad beziehungsweise 360 Grad |
| tan(x) gleich k | eine Lösung je 180 Grad | Lösungen wiederholen sich alle 180 Grad |
Beispiel 1: Sinusgleichung lösen
Löse die Gleichung sin(x) gleich 0,5 für x im Bereich von 0 Grad bis 360 Grad.
Gegeben:
- Gleichung: sin(x) gleich 0,5
- Bereich: 0 Grad bis 360 Grad
Gesucht:
Alle Lösungen x im gegebenen BereichLösung:
- Gleichung notieren: sin(x) gleich 0,5 im Bereich von 0 Grad bis 360 Grad.
- Arkussinus anwenden: x gleich Arkussinus von 0,5 ergibt die erste Lösung 30 Grad.
- Zweite Lösung im Intervall finden: im zweiten Quadranten gilt x gleich 180 Grad minus 30 Grad gleich 150 Grad.
- Periodizität beachten: der Sinus wiederholt sich alle 360 Grad, im gegebenen Bereich reichen die zwei gefundenen Lösungen.
Die Lösungsmenge ist x gleich 30 Grad oder x gleich 150 Grad. Beide Werte liegen symmetrisch um 90 Grad, wo der Sinus seinen größten Wert von 1 erreicht.
Beispiel 2: Kosinusgleichung mit Substitution lösen
Löse die Gleichung 2 mal cos(x) minus 1 gleich 0 für x im Bereich von 0 Grad bis 360 Grad.
Gegeben:
- Gleichung: 2 mal cos(x) minus 1 gleich 0
- Bereich: 0 Grad bis 360 Grad
Gesucht:
Alle Lösungen x im gegebenen BereichLösung:
- Gleichung nach cos(x) umstellen: 2 mal cos(x) gleich 1, also cos(x) gleich 0,5.
- Arkuskosinus anwenden: x gleich Arkuskosinus von 0,5 ergibt die erste Lösung 60 Grad.
- Zweite Lösung bestimmen: da der Kosinus symmetrisch zu 360 Grad ist, gilt x gleich 360 Grad minus 60 Grad gleich 300 Grad.
- Beide Lösungen im geforderten Bereich prüfen: 60 Grad und 300 Grad liegen beide zwischen 0 Grad und 360 Grad.
Die Lösungsmenge ist x gleich 60 Grad oder x gleich 300 Grad. Setzt man beide Werte in die ursprüngliche Gleichung ein, ergibt sich jeweils der Wert 0, die Probe stimmt also.
Typische Fehler bei trigonometrischen Gleichungen
Der häufigste Fehler ist, nur die Grundlösung des Arkussinus, Arkuskosinus oder Arkustangens anzugeben und die zweite Lösung im geforderten Bereich zu vergessen.
Ein zweiter Fehler ist, die falsche Symmetrieregel zu verwenden, etwa bei einer Kosinusgleichung die Regel für den Sinus anzuwenden. Sinus ist symmetrisch zu 90 Grad, Kosinus zu 0 Grad beziehungsweise 360 Grad.
Ein dritter Fehler ist, den Taschenrechner im falschen Winkelmodus zu benutzen, also Grad statt Bogenmaß oder umgekehrt, was zu völlig falschen Zahlenwerten führt, auch wenn der Rechenweg richtig ist.
Tipps für die Klassenarbeit
Stelle die Gleichung zuerst so um, dass auf einer Seite nur noch sin(x), cos(x) oder tan(x) steht, bevor du den Arkussinus, Arkuskosinus oder Arkustangens anwendest.
Kontrolliere immer den Winkelmodus deines Taschenrechners: Steht in der Aufgabe Grad, muss der Rechner im Gradmodus stehen, nicht im Bogenmaß.
Prüfe am Ende jede gefundene Lösung, indem du sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzt und kontrollierst, ob sich tatsächlich eine wahre Aussage ergibt.
Jetzt bist du dran!
Löse sin(x) gleich 1 für x im Bereich von 0 Grad bis 360 Grad. Gib die Lösung in Grad an.
Das Wichtigste in Kürze
- Trigonometrische Gleichungen haben wegen der Periodizität von Sinus, Kosinus und Tangens meist mehrere Lösungen.
- Mit dem Arkussinus, Arkuskosinus oder Arkustangens berechnet man zunächst die Grundlösung.
- Bei Sinusgleichungen ergibt sich die zweite Lösung durch 180 Grad minus die Grundlösung.
- Bei Kosinusgleichungen ergibt sich die zweite Lösung durch 360 Grad minus die Grundlösung.
- Alle Lösungen müssen innerhalb des in der Aufgabe geforderten Winkelbereichs liegen.
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Häufige Fragen zu Trigonometrische Gleichungen lösen
- Was sind trigonometrische Gleichungen?
- Trigonometrische Gleichungen sind Gleichungen, in denen die gesuchte Größe innerhalb einer Winkelfunktion wie Sinus, Kosinus oder Tangens steht. Wegen der Periodizität dieser Funktionen haben solche Gleichungen meist mehrere Lösungen in einem bestimmten Bereich.
- Wie löst man eine Gleichung mit Sinus?
- Man stellt die Gleichung nach sin(x) um und wendet den Arkussinus an, um die Grundlösung zu erhalten. Die zweite Lösung im geforderten Bereich ergibt sich durch 180 Grad minus die Grundlösung, da der Sinus symmetrisch zu 90 Grad ist.
- Warum haben trigonometrische Gleichungen oft mehrere Lösungen?
- Weil Sinus und Kosinus periodische Funktionen sind, die sich alle 360 Grad wiederholen, und weil sie innerhalb einer Periode symmetrisch sind. Dadurch erfüllen meist zwei verschiedene Winkel dieselbe Gleichung.
- Wie findet man alle Lösungen einer trigonometrischen Gleichung?
- Man berechnet zunächst die Grundlösung mit der Umkehrfunktion, bestimmt dann die zweite Lösung über die passende Symmetrieregel und prüft, welche der Lösungen im geforderten Winkelbereich liegen.
- In welcher Klasse werden trigonometrische Gleichungen behandelt?
- Trigonometrische Gleichungen werden meist in Klasse 11 im Rahmen der Analysis oder der Trigonometrie eingeführt, aufbauend auf dem Einheitskreis und den Winkelfunktionen.
- Was ist der Unterschied zwischen einer trigonometrischen Gleichung mit Sinus und mit Tangens?
- Sinus- und Kosinusgleichungen haben meist zwei Lösungen je Periode von 360 Grad, da diese Funktionen innerhalb einer Periode symmetrisch sind. Tangensgleichungen haben dagegen nur eine Lösung je Periode von 180 Grad.
- Wie prüft man das Ergebnis einer trigonometrischen Gleichung?
- Man setzt die berechnete Lösung wieder in die ursprüngliche Gleichung ein und prüft mit dem Taschenrechner, ob sich eine wahre Aussage ergibt. Dabei muss der Taschenrechner im richtigen Winkelmodus, meist Grad, eingestellt sein.
- Wofür braucht man trigonometrische Gleichungen im Alltag oder Beruf?
- Trigonometrische Gleichungen werden zum Beispiel genutzt, um Schwingungen, Wechselstrom, Tageslängen im Jahresverlauf oder die Bewegung von Rädern und Wellen in der Technik zu berechnen, da all diese Vorgänge periodisch verlaufen.
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