Polynomdivision
Die Polynomdivision teilt ein Polynom durch einen einfacheren Term, meist durch einen Linearfaktor, und liefert dabei ein Polynom mit kleinerem Grad. In dieser Lektion lernst du, wie du eine Polynomdivision Schritt für Schritt durchführst und wie du damit weitere Nullstellen einer Funktion höheren Grades findest.
- Fach: Mathematik
- Klasse 11
- Thema: Gleichungen
- Dauer: 22 Min
- Niveau: Schwer
Polynomdivision: ein Polynom in kleinere Teile zerlegen
Die Polynomdivision ist ein Verfahren, um ein Polynom durch ein einfacheres Polynom zu teilen, ähnlich wie die schriftliche Division bei Zahlen. Meist wird ein Polynom höheren Grades durch einen Linearfaktor wie x minus 2 geteilt, wobei 2 eine bereits bekannte Nullstelle des Polynoms ist.
Diese Technik ist besonders wichtig, um alle Nullstellen einer Funktion dritten oder vierten Grades zu finden. Kennt man eine Nullstelle bereits, liefert die Polynomdivision ein Polynom mit einem Grad weniger, dessen restliche Nullstellen sich meist deutlich leichter bestimmen lassen.
Die Polynomdivision funktioniert nach demselben Grundprinzip wie die schriftliche Division natürlicher Zahlen: Man teilt zunächst nur den höchsten Term, multipliziert das Teilergebnis zurück, subtrahiert und wiederholt das Verfahren mit dem verbleibenden Rest.
Der Ablauf der Polynomdivision
Beim Teilen des Polynoms p von x durch den Linearfaktor (x minus a) geht man in wiederholten Schritten vor: Zuerst wird der höchste Term des verbleibenden Polynoms durch den höchsten Term des Divisors geteilt. Dieses Teilergebnis ist der nächste Term des Ergebnispolynoms.
Anschließend wird dieses Teilergebnis mit dem gesamten Divisor multipliziert und das Resultat vom verbleibenden Polynom subtrahiert. Übrig bleibt ein neues, um einen Grad kleineres Polynom, mit dem der gesamte Vorgang erneut beginnt.
Das Verfahren endet, wenn kein Term mit einem Grad größer oder gleich dem Grad des Divisors mehr übrig bleibt. Ist a tatsächlich eine Nullstelle des ursprünglichen Polynoms, bleibt am Ende der Rest Null, andernfalls bleibt ein von Null verschiedener Rest.
- p
- das ursprüngliche Polynom
- a
- bekannte oder vermutete Nullstelle
- q
- Ergebnispolynom mit um 1 kleinerem Grad
| Schritt | Beschreibung |
|---|---|
| Teilen | Höchsten Term des Restpolynoms durch höchsten Term des Divisors teilen |
| Zurückmultiplizieren | Teilergebnis mit dem gesamten Divisor multiplizieren |
| Subtrahieren | Ergebnis vom Restpolynom abziehen |
| Wiederholen | Vorgang mit dem neuen Restpolynom fortsetzen, bis der Rest Null wird |
Beispiel 1: Polynomdivision ohne Rest
Teile das Polynom x hoch 3 minus 6 mal x hoch 2 plus 11x minus 6 durch x minus 1.
Gegeben:
- Polynom: x hoch 3 minus 6x hoch 2 plus 11x minus 6
- Divisor: x minus 1
Gesucht:
Das Ergebnispolynom der DivisionLösung:
- Höchste Terme teilen: x hoch 3 geteilt durch x ergibt x hoch 2, das ist der erste Term des Ergebnisses.
- Zurückmultiplizieren: x hoch 2 mal (x minus 1) ergibt x hoch 3 minus x hoch 2. Subtrahieren liefert minus 5x hoch 2 plus 11x minus 6.
- Nächster Schritt: Minus 5x hoch 2 geteilt durch x ergibt minus 5x. Zurückmultiplizieren und Subtrahieren liefert 6x minus 6.
- Letzter Schritt: 6x geteilt durch x ergibt 6. Zurückmultiplizieren und Subtrahieren liefert den Rest 0.
Die Division ergibt x hoch 2 minus 5x plus 6 ohne Rest. Die Probe bestätigt: (x hoch 2 minus 5x plus 6) mal (x minus 1) ergibt wieder x hoch 3 minus 6x hoch 2 plus 11x minus 6.
Beispiel 2: Nullstellen mit Polynomdivision finden
Bestimme alle Nullstellen von f von x gleich x hoch 3 minus 6 mal x hoch 2 plus 11x minus 6, wenn x gleich 1 bereits als Nullstelle bekannt ist.
Gegeben:
- Funktion: f von x gleich x hoch 3 minus 6x hoch 2 plus 11x minus 6
- bekannte Nullstelle: x gleich 1
Gesucht:
Alle Nullstellen von fLösung:
- Polynomdivision durchführen: f von x geteilt durch (x minus 1) ergibt x hoch 2 minus 5x plus 6, wie im ersten Beispiel gezeigt.
- Restliche Nullstellen bestimmen: Die Gleichung x hoch 2 minus 5x plus 6 gleich Null wird mit der p-q-Formel gelöst.
- p-q-Formel anwenden: Mit p gleich minus 5 und q gleich 6 ergeben sich die Lösungen x gleich 2 und x gleich 3.
- Alle Nullstellen zusammenfassen: Zusammen mit der bereits bekannten Nullstelle x gleich 1 ergeben sich drei Nullstellen.
Die Funktion f hat die drei Nullstellen x gleich 1, x gleich 2 und x gleich 3. Da ein Polynom dritten Grades höchstens drei Nullstellen besitzt, sind damit alle Nullstellen gefunden.
Typische Fehler bei der Polynomdivision
Der häufigste Fehler ist, beim Subtrahieren die Vorzeichen falsch zu übernehmen. Wird eine Zeile mit mehreren Termen subtrahiert, muss jeder Term einzeln mit umgekehrtem Vorzeichen addiert werden, nicht nur der erste.
Ein zweiter Fehler ist, fehlende Terme im Polynom zu übersehen, etwa wenn ein Polynom keinen Term mit x hoch 1 enthält. Für diese Stelle sollte gedanklich der Koeffizient Null eingesetzt werden, damit keine Verschiebung entsteht.
Ein dritter Fehler ist, das Ergebnis am Ende nicht zu überprüfen. Multipliziert man das Ergebnispolynom mit dem Divisor und addiert einen eventuellen Rest, muss wieder das ursprüngliche Polynom entstehen.
Tipps für die Klassenarbeit
Schreibe das Polynom vor der Division vollständig mit allen Potenzen auf, auch wenn ein Koeffizient Null ist, damit du beim Subtrahieren keine Stelle verschiebst.
Rate mögliche Nullstellen zuerst über die Teiler des absoluten Glieds, denn bei Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten sind ganzzahlige Nullstellen häufig Teiler dieser Zahl.
Mache am Ende immer die Probe, indem du das Ergebnis der Division mit dem Divisor multiplizierst. Ergibt sich wieder das ursprüngliche Polynom, hast du richtig gerechnet.
Jetzt bist du dran!
Was ist der erste Schritt bei einer Polynomdivision?
Noch nicht. Der erste Schritt der Polynomdivision ist immer, den höchsten Term des verbleibenden Polynoms durch den höchsten Term des Divisors zu teilen.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Polynomdivision teilt ein Polynom durch einen einfacheren Term, meist einen Linearfaktor.
- Der Ablauf besteht aus den wiederholten Schritten Teilen, Zurückmultiplizieren und Subtrahieren.
- Der Grad des Ergebnispolynoms ist bei Division durch einen Linearfaktor immer um 1 kleiner.
- Ein Rest von Null bestätigt, dass der verwendete Wert eine Nullstelle des ursprünglichen Polynoms ist.
- Die Polynomdivision hilft, weitere Nullstellen eines Polynoms höheren Grades zu finden.
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Häufige Fragen zu Polynomdivision
- Was ist eine Polynomdivision?
- Eine Polynomdivision ist ein Verfahren, um ein Polynom durch ein einfacheres Polynom zu teilen, meist durch einen Linearfaktor. Sie funktioniert ähnlich wie die schriftliche Division bei Zahlen und liefert ein Polynom mit kleinerem Grad.
- Wofür braucht man die Polynomdivision?
- Die Polynomdivision wird genutzt, um bei einem Polynom höheren Grades weitere Nullstellen zu finden, wenn bereits eine Nullstelle bekannt ist. Das Ergebnispolynom hat einen kleineren Grad und ist oft leichter zu lösen.
- Wie führt man eine Polynomdivision durch?
- Man teilt den höchsten Term des Polynoms durch den höchsten Term des Divisors, multipliziert das Ergebnis zurück, subtrahiert es vom Polynom und wiederholt diesen Vorgang, bis kein passender Term mehr übrig bleibt.
- Was bedeutet ein Rest bei der Polynomdivision?
- Bleibt am Ende der Division ein Rest übrig, war der verwendete Wert keine Nullstelle des ursprünglichen Polynoms. Ist der Rest Null, war der Wert tatsächlich eine Nullstelle.
- In welcher Klasse wird die Polynomdivision unterrichtet?
- Die Polynomdivision wird meist in Klasse 11 im Rahmen der Analysis unterrichtet, wenn Funktionen dritten oder vierten Grades untersucht werden.
- Wie findet man eine erste Nullstelle für die Polynomdivision?
- Bei Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten probiert man häufig zuerst die Teiler des absoluten Glieds aus, da ganzzahlige Nullstellen oft unter diesen Teilern zu finden sind.
- Wie prüft man das Ergebnis einer Polynomdivision?
- Man multipliziert das Ergebnispolynom mit dem Divisor und addiert einen eventuellen Rest. Ergibt sich wieder das ursprüngliche Polynom, wurde die Division korrekt durchgeführt.
- Wozu braucht man Polynomdivision im Studium oder Beruf?
- Polynomdivision wird in Ingenieurwissenschaften und Physik genutzt, um Funktionen höheren Grades zu vereinfachen, etwa bei der Analyse von Bewegungsabläufen oder beim Entwerfen von Kurven in der Technik.
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