Gleichungssystem mit drei Variablen lösen
Ein Gleichungssystem mit drei Variablen besteht aus drei Gleichungen mit den Unbekannten x, y und z, die du gemeinsam lösen musst. In dieser Lektion lernst du, wie du mit dem Eliminationsverfahren Schritt für Schritt auf ein System mit zwei Variablen zurückkommst und wie du Sonderfälle ohne oder mit unendlich vielen Lösungen erkennst.
- Fach: Mathematik
- Klasse 11
- Thema: Gleichungen
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Gleichungssystem mit drei Variablen: Drei Unbekannte gleichzeitig
Ein Gleichungssystem mit drei Variablen löst du, indem du aus drei Gleichungen schrittweise eine Variable nach der anderen bestimmst. Du eliminierst zuerst eine Variable, löst dann das übrige System mit zwei Variablen und setzt die Ergebnisse zurück ein.
Bei zwei Unbekannten genügen zwei Gleichungen, bei drei Unbekannten brauchst du in der Regel drei. Jede Gleichung ist eine Bedingung, und erst alle drei zusammen legen x, y und z fest. Geometrisch beschreibt jede Gleichung eine Ebene im Raum, und die Lösung ist der Punkt, in dem sich alle drei Ebenen treffen.
Solche Systeme tauchen auf, sobald drei Größen miteinander zusammenhängen, etwa bei Mischungen, Preisen oder Mengen. Das Verfahren ist immer gleich: Gleichungen nummerieren, geschickt addieren oder subtrahieren, bis eine Variable verschwindet, und dann von hinten nach vorn einsetzen.
Das Eliminationsverfahren für drei Variablen
Du schreibst die Gleichungen untereinander und nummerierst sie mit I, II und III. Dann suchst du eine Variable, die sich leicht eliminieren lässt, zum Beispiel z, weil sie mit Plus und Minus vorkommt. Du addierst oder subtrahierst zwei Gleichungen so, dass z wegfällt, und wiederholst das mit einem anderen Gleichungspaar.
So entstehen zwei neue Gleichungen, die nur noch x und y enthalten. Dieses kleine System löst du mit dem Gleichsetzungs-, Einsetzungs- oder Additionsverfahren. Anschließend setzt du x und y in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und berechnest z.
Wichtig ist, immer dieselbe Variable in beiden Schritten zu eliminieren. Wenn du erst z und dann x wegmachst, bleiben zwei Gleichungen mit unterschiedlichen Unbekannten, die du nicht zusammen lösen kannst. Am Ende prüfst du die Lösung mit einer Probe in allen drei Gleichungen.
- a
- Faktor vor x
- b
- Faktor vor y
- c
- Faktor vor z
- d
- Zahl auf der rechten Seite
| Fall | Du erkennst es an | Lösungsmenge |
|---|---|---|
| eindeutig lösbar | x, y und z haben feste Werte | genau ein Zahlentripel |
| nicht lösbar | Widerspruch, zum Beispiel 0 = 5 | leere Menge |
| unendlich viele Lösungen | wahre Aussage, zum Beispiel 0 = 0 | Lösungen mit einem Parameter |
Beispiel 1: System mit eindeutiger Lösung
Löse das Gleichungssystem I: x + y + z = 6, II: 2x − y + z = 3, III: x + 2y − z = 2.
Gegeben:
- I: x + y + z6
- II: 2x − y + z3
- III: x + 2y − z2
Gesucht:
Die Werte von x, y und zLösung:
- z eliminieren: I + III ergibt 2x + 3y = 8 (IV). II + III ergibt 3x + y = 5 (V).
- Aus V folgt y = 5 − 3x. Das setzt du in IV ein: 2x + 3 · (5 − 3x) = 8, also 2x + 15 − 9x = 8.
- Auflösen: −7x = −7, also x = 1. Dann ist y = 5 − 3 = 2.
- z mit I berechnen: 1 + 2 + z = 6, also z = 3. Probe in II: 2 − 2 + 3 = 3, in III: 1 + 4 − 3 = 2. Beides stimmt.
Die Lösung ist x = 1, y = 2 und z = 3, geschrieben als L = {(1 | 2 | 3)}. Alle drei Gleichungen sind erfüllt, deshalb ist das Zahlentripel die einzige Lösung des Systems.
Beispiel 2: Textaufgabe mit drei Variablen
Ein Kino verkauft an einem Abend 20 Karten: Kinderkarten zu 4 Euro, Erwachsenenkarten zu 8 Euro und Seniorenkarten zu 6 Euro. Die Einnahmen betragen 130 Euro. Es wurden doppelt so viele Erwachsenen- wie Kinderkarten verkauft. Wie viele Karten jeder Art wurden verkauft?
Gegeben:
- Gesamtzahl: 20 Karten
- Einnahmen: 130 Euro
- Erwachsene doppelt so viele wie Kinder
Gesucht:
Anzahl der Kinder-, Erwachsenen- und SeniorenkartenLösung:
- Variablen festlegen: x Kinder, y Erwachsene, z Senioren.
- Gleichungen aufstellen: I: x + y + z20, II: 4x + 8y + 6z130, III: y2x.
- III in I und II einsetzen: 3x + z = 20 und 20x + 6z = 130. Aus der ersten folgt z = 20 − 3x.
- Einsetzen: 20x + 6 · (20 − 3x) = 130, also 2x + 120 = 130 und x = 5. Dann ist y = 10 und z = 5.
Es wurden 5 Kinderkarten, 10 Erwachsenenkarten und 5 Seniorenkarten verkauft. Probe: 5 + 10 + 5 = 20 Karten und 5 · 4 + 10 · 8 + 5 · 6 = 20 + 80 + 30 = 130 Euro.
Typische Fehler beim Gleichungssystem mit drei Variablen
Der häufigste Fehler ist, in den beiden Eliminationsschritten verschiedene Variablen zu entfernen. Dann bleiben zwei Gleichungen übrig, die nicht dieselben Unbekannten enthalten, und du kommst nicht weiter. Entscheide dich zu Beginn für eine Variable und bleibe dabei.
Der zweite Fehler sind Vorzeichen. Beim Subtrahieren einer Gleichung musst du jeden Term der zweiten Gleichung umkehren, nicht nur den ersten. Schreibe deshalb bei Unsicherheit lieber mit Plus und multipliziere die Gleichung vorher mit minus eins. Auch beim Einsetzen von Klammern passieren schnell Vorzeichenfehler.
Ein dritter Fehler ist, die Probe nur in einer Gleichung zu machen. Hast du dich bei der Elimination verrechnet, kann die Lösung die Gleichung erfüllen, mit der du eingesetzt hast, aber die anderen nicht. Setze deshalb in alle drei Ausgangsgleichungen ein.
Alltag und Tipps für die Klassenarbeit
Gleichungssysteme mit drei Variablen kommen in Mischungsaufgaben, bei Preisen und Mengen, in der Physik bei drei Strömen und in der Wirtschaft bei drei Produktionsgrößen vor. Manche Aufgaben geben dir die drei Gleichungen sogar nur verpackt in einem Text, den du erst übersetzen musst.
Gehe bei Textaufgaben immer gleich vor. Lege die Variablen mit Bedeutung fest, schreibe eine Gleichung pro Angabe auf, löse das System und beantworte die Frage in einem Satz. Rechne zum Schluss mit den Zahlen des Textes nach, nicht nur mit deinen Gleichungen, denn so entdeckst du Fehler im Ansatz.
In der Oberstufe hilft das Verfahren auch bei Funktionen. Soll eine Parabel durch drei Punkte gehen, ergeben sich drei Gleichungen für die Koeffizienten a, b und c. Und in der Vektorrechnung führt der Schnitt von drei Ebenen auf genau diese Systeme. Wer das Eliminieren sicher beherrscht, hat dort einen echten Vorteil.
Jetzt bist du dran!
Wie viele Gleichungen braucht man in der Regel, um drei Variablen eindeutig zu bestimmen?
Noch nicht. Jede Gleichung liefert eine Bedingung. Für drei Unbekannte benötigst du in der Regel drei unabhängige Bedingungen, also drei Gleichungen.
Das Wichtigste in Kürze
- Für drei Unbekannte brauchst du in der Regel drei Gleichungen.
- Beim Eliminationsverfahren fällt zuerst eine Variable in zwei Gleichungspaaren weg.
- Das System mit zwei Variablen löst du wie gewohnt, danach setzt du ein.
- Ein Widerspruch wie 0 = 5 bedeutet keine Lösung, 0 = 0 bedeutet unendlich viele.
- Die Probe machst du in allen drei Gleichungen.
Lektion abschließen
Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Gleichungssystem mit drei Variablen lösen
- Wie löst man ein Gleichungssystem mit drei Variablen?
- Du eliminierst mit dem Additionsverfahren in zwei Gleichungspaaren dieselbe Variable, löst das entstehende System mit zwei Variablen und setzt die Ergebnisse in eine der Ausgangsgleichungen ein, um die dritte Variable zu bestimmen.
- Welche Verfahren gibt es für Gleichungssysteme mit drei Variablen?
- Du kannst das Eliminationsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Gauß-Verfahren nutzen. Das Gauß-Verfahren ordnet die Gleichungen in Stufenform und ist besonders übersichtlich. In der Oberstufe wird es auch mit Matrizen aufgeschrieben.
- Wie viele Lösungen kann ein Gleichungssystem mit drei Variablen haben?
- Es kann genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen haben. Eine eindeutige Lösung ist ein Zahlentripel, keine Lösung zeigt sich durch einen Widerspruch, und unendlich viele Lösungen erkennst du an einer wahren Aussage wie 0 = 0.
- Was bedeutet die Gleichung 0 = 0 beim Lösen?
- Sie bedeutet, dass eine Gleichung überflüssig war, weil sie sich aus den anderen ergibt. Das System hat dann unendlich viele Lösungen, die du mit einem Parameter angibst, zum Beispiel z = t und x und y in Abhängigkeit von t.
- Wie stellt man aus einer Textaufgabe ein Gleichungssystem auf?
- Du legst für jede unbekannte Größe eine Variable fest und schreibst für jede Angabe im Text eine Gleichung auf. Drei Unbekannte brauchen drei Angaben. Danach löst du das System und beantwortest die Frage im Satz.
- Was ist der Unterschied zum Gleichungssystem mit zwei Variablen?
- Bei zwei Variablen reicht ein Eliminationsschritt, bei drei Variablen sind zwei nötig, weil du erst auf zwei Variablen reduzieren musst. Die Methode ist dieselbe, nur der Rechenaufwand und die Zahl der Vorzeichenfehler steigen.
- In welcher Klasse lernt man Gleichungssysteme mit drei Variablen?
- Gleichungssysteme mit drei Variablen werden meist in Klasse 10 oder 11 behandelt, oft zusammen mit der Bestimmung ganzrationaler Funktionen aus Punkten. In der Oberstufe sind sie die Grundlage des Gauß-Verfahrens.
- Wie prüft man die Lösung eines Gleichungssystems?
- Du setzt die gefundenen Werte für x, y und z in alle drei ursprünglichen Gleichungen ein. Ist jede Gleichung erfüllt, ist die Lösung richtig. Stimmt eine Gleichung nicht, hast du dich irgendwo verrechnet.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.