Gleichungen aus Textaufgaben aufstellen
In dieser Lektion lernst du, einen Sachtext in eine Gleichung zu übersetzen. Du übst, die gesuchte Größe mit einer Variablen zu bezeichnen, die Bedingungen des Textes als Rechenausdruck zu formulieren und die aufgestellte Gleichung anschließend zu lösen und im Sachzusammenhang zu deuten.
- Fach: Mathematik
- Klasse 7
- Thema: Terme und Gleichungen
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Warum Textaufgaben schwerer wirken, als sie sind
Eine fertige Gleichung wie 3x + 5 = 20 zu lösen, ist für die meisten kein Problem mehr. Schwierig wird es, wenn diese Gleichung erst aus einem Text entstehen muss. Dabei ist der Übersetzungsschritt vom Deutschen in die Mathematik der eigentliche Kern dieser Lektion – das Lösen der fertigen Gleichung kannst du längst. Wer sich an ein festes Vorgehen hält, verliert die Angst vor langen Sachtexten.
Der erste Schritt ist immer derselbe: die gesuchte Größe benennen und ihr einen Variablennamen geben, meist x. Danach liest du den Text Satz für Satz und übersetzt jede Bedingung in einen Rechenausdruck. Wörter wie „mehr als“, „weniger als“, „das Doppelte“ oder „zusammen“ stehen dabei für feste Rechenoperationen, die du wiedererkennen musst, ähnlich wie Vokabeln in einer Fremdsprache.
Am Ende jeder Textaufgabe steht eine Prüfung: Passt das Ergebnis zum Sachzusammenhang? Eine negative Anzahl von Personen oder ein Alter von 200 Jahren zeigt sofort, dass irgendwo ein Übersetzungsfehler passiert ist. Diese Rückprobe im Text ist genauso wichtig wie das korrekte Lösen der Gleichung selbst.
Signalwörter als Übersetzungshilfe
Bestimmte Wörter in einer Textaufgabe stehen fast immer für dieselbe Rechenoperation. „Summe“ und „zusammen“ bedeuten eine Addition, „Differenz“ und „weniger als“ eine Subtraktion, „das Doppelte“ oder „das Dreifache“ eine Multiplikation mit 2 beziehungsweise 3, und „aufgeteilt“ oder „je“ eine Division. Wer diese Signalwörter kennt, kann einen Satz fast wörtlich in eine Formel übertragen.
Schwieriger sind Sätze, in denen zwei Bedingungen gleichzeitig gelten, etwa „Peter ist drei Jahre älter als Lisa, und beide zusammen sind 27 Jahre alt.“ Hier lohnt es sich, nur eine Variable für eine der beiden Personen zu verwenden und die zweite Größe direkt darüber auszudrücken. Lisas Alter wird zu x, Peters Alter dann automatisch zu x + 3, und die zweite Bedingung liefert die vollständige Gleichung x + (x + 3) = 27.
Diese Technik – eine Größe direkt durch die andere ausdrücken, statt zwei Variablen einzuführen – ist der wichtigste Kniff beim Aufstellen von Gleichungen in der Sekundarstufe I. Erst später, bei Gleichungssystemen, wird mit mehreren Variablen gleichzeitig gearbeitet.
- x
- gesuchte Größe, hier Lisas Alter
- a
- fester Unterschied aus dem Text, hier 3
- s
- gegebene Summe beider Größen, hier 27
| Signalwort | Operation | Beispiel als Term |
|---|---|---|
| Summe, zusammen | Addition | x + y |
| Differenz, weniger als | Subtraktion | x − 5 |
| das Doppelte, dreimal so viel | Multiplikation | 2x, 3x |
| aufgeteilt, je | Division | x/4 |
Beispiel 1: Ein klassisches Zahlenrätsel
Das Dreifache einer Zahl, vermindert um 7, ergibt 20. Wie lautet die Zahl?
Gegeben:
- gesuchte Zahl: x
- Bedingung: 3x − 720
Gesucht:
xLösung:
- Text in Gleichung übersetzen: „Das Dreifache einer Zahl“ wird zu 3x, „vermindert um 7“ zu 3x − 7.
- Gleichung aufstellen: 3x − 720
- 7 auf beiden Seiten addieren: 3x = 27
- Durch 3 teilen: x9
Die gesuchte Zahl ist 9. Probe im Text: Das Dreifache von 9 ist 27, vermindert um 7 ergibt das 20 – die Bedingung stimmt. Diese Rückprobe direkt im ursprünglichen Satz zeigt dir, ob die Übersetzung in die Gleichung von Anfang an richtig war.
Beispiel 2: Sachaufgabe mit zwei Größen
In einem Bus sitzen Erwachsene und Kinder. Es sind insgesamt 54 Personen im Bus, und es sind doppelt so viele Kinder wie Erwachsene. Wie viele Kinder und wie viele Erwachsene sind im Bus?
Gegeben:
- Anzahl Erwachsene: x
- Anzahl Kinder: 2x
- Gesamtzahl: 54
Gesucht:
x und 2xLösung:
- Variable festlegen: x steht für die Zahl der Erwachsenen.
- Zweite Größe ausdrücken: „doppelt so viele Kinder“ wird zu 2x.
- Gleichung aufstellen: x + 2x54
- Zusammenfassen: 3x54
- Durch 3 teilen: x18, also 2x36
Im Bus sitzen 18 Erwachsene und 36 Kinder. Probe: 18 + 36 = 54 Personen insgesamt, und 36 ist tatsächlich doppelt so viel wie 18. Der Trick war, nicht zwei unabhängige Variablen einzuführen, sondern die Kinderzahl direkt über die Erwachsenenzahl auszudrücken.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler ist, für zwei zusammenhängende Größen zwei unabhängige Variablen wie x und y einzuführen, ohne den Zusammenhang zwischen ihnen in der Gleichung zu nutzen. Dadurch entsteht eine Gleichung mit zwei Unbekannten, die mit den Mitteln der Sekundarstufe I meist nicht eindeutig lösbar ist. Richtig ist, eine Größe direkt durch die andere auszudrücken, etwa „Kinder = 2 · Erwachsene“, und nur eine Variable zu verwenden.
Ein zweiter Fehler ist die falsche Reihenfolge bei Differenzen. „5 weniger als eine Zahl“ bedeutet x − 5, nicht 5 − x. Wird die Reihenfolge vertauscht, entsteht ein Term mit umgekehrtem Vorzeichen, und alle folgenden Rechenschritte liefern ein falsches Ergebnis, obwohl das Umformen selbst korrekt ausgeführt wurde.
Ein dritter Fehler ist, die Probe zu vergessen. Wer die berechnete Lösung nicht wieder in den ursprünglichen Text einsetzt, bemerkt einen Übersetzungsfehler oft erst gar nicht, weil die Gleichung selbst formal richtig gelöst wurde. Nur der Textbezug zeigt, ob auch die Übersetzung gestimmt hat.
Tipps für die Klassenarbeit
Unterstreiche in der Aufgabenstellung zuerst die gesuchte Größe und alle Zahlenwerte. Schreibe dir danach in Stichworten auf, was du mit x bezeichnest, bevor du die Gleichung aufstellst – das erleichtert später die Probe und macht deinen Lösungsweg für die Lehrkraft nachvollziehbar, auch wenn du am Ende einen Rechenfehler machst.
Übersetze lange Sätze in kleine Teilstücke. Bei „Die Summe aus dem Doppelten einer Zahl und 8 ergibt 30“ gehst du von innen nach außen vor: „eine Zahl“ ist x, „das Doppelte einer Zahl“ ist 2x, „die Summe aus dem Doppelten einer Zahl und 8“ ist 2x + 8, und „ergibt 30“ liefert die vollständige Gleichung 2x + 8 = 30.
Mache am Ende immer die Textprobe, nicht nur die Rechenprobe. Setze deine Lösung wörtlich in den Ausgangssatz ein und lies ihn noch einmal durch. Klingt das Ergebnis im Sachzusammenhang plausibel – ein realistisches Alter, eine ganze Anzahl von Personen, ein positiver Geldbetrag –, hast du sowohl richtig übersetzt als auch richtig gerechnet.
Jetzt bist du dran!
Addiert man zu einer Zahl 12, erhält man 31. Wie lautet die Gleichung, aufgelöst nach x, und wie lautet die Zahl?
Das Wichtigste in Kürze
- Lege zuerst fest, welche Variable die gesuchte Größe darstellt.
- Übersetze Signalwörter wie „Summe“, „Differenz“ oder „das Doppelte“ direkt in Rechenoperationen.
- Drücke eine zweite, abhängige Größe möglichst durch dieselbe Variable aus, statt eine neue einzuführen.
- Löse die aufgestellte Gleichung mit den bekannten Umformungsregeln.
- Prüfe das Ergebnis immer im ursprünglichen Text, nicht nur rechnerisch.
Lektion abschließen
Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Gleichungen aus Textaufgaben aufstellen
- Wie stellt man eine Gleichung aus einer Textaufgabe auf?
- Du legst zuerst eine Variable für die gesuchte Größe fest, meist x. Danach übersetzt du jede Bedingung des Textes Satz für Satz in einen Rechenausdruck und setzt am Ende beide Seiten der Bedingung gleich. Wichtige Signalwörter wie „Summe“, „Differenz“ oder „das Doppelte“ verraten dabei, welche Rechenoperation gemeint ist.
- Wie erkennt man in einer Textaufgabe die gesuchte Größe?
- Meist steht die gesuchte Größe direkt in der Frage am Ende der Aufgabe, oft eingeleitet durch „Wie viel …“, „Wie alt …“ oder „Wie lange …“. Diese Größe bekommt den Variablennamen x. Alle anderen im Text genannten Größen versuchst du danach, so weit wie möglich durch diese eine Variable auszudrücken.
- Was bedeutet „x weniger als eine Zahl“ in einer Gleichung?
- Die Reihenfolge ist hier entscheidend: „5 weniger als eine Zahl“ heißt x − 5, denn von der Zahl x werden 5 abgezogen. Der umgekehrte Ausdruck „eine Zahl weniger als 5“ würde dagegen 5 − x bedeuten. Im Zweifel hilft es, den Satz mit einer konkreten Zahl statt x durchzuprobieren.
- Wie geht man vor, wenn zwei Größen in der Aufgabe vorkommen?
- Du wählst eine der beiden Größen als Variable x und drückst die zweite Größe über den im Text genannten Zusammenhang aus, etwa als x + 3 oder als 2x. So entsteht am Ende eine Gleichung mit nur einer Variablen, die du mit den bekannten Umformungsregeln lösen kannst, statt ein Gleichungssystem zu benötigen.
- Warum ist die Probe bei Textaufgaben so wichtig?
- Die Probe zeigt dir, ob nicht nur die Rechnung, sondern auch die Übersetzung des Textes in die Gleichung richtig war. Ein negatives Alter, eine gebrochene Personenzahl oder ein unrealistischer Geldbetrag verraten sofort einen Fehler beim Aufstellen, selbst wenn die anschließende Gleichungslösung fehlerfrei war.
- In welcher Klasse lernt man, Gleichungen aus Texten aufzustellen?
- Das Aufstellen einfacher Gleichungen aus Sachtexten wird meist in Klasse 7 eingeführt, im Anschluss an das Lösen linearer Gleichungen. Vorausgesetzt werden sichere Kenntnisse im Termumformen und im Lösen einfacher Gleichungen. Später baut die Arbeit mit Gleichungssystemen und quadratischen Gleichungen auf denselben Übersetzungsschritten auf.
- Was tun, wenn eine Textaufgabe mehrere Bedingungen enthält?
- Gehe die Bedingungen einzeln durch und übersetze jede für sich in einen Term oder eine Teilgleichung. Häufig liefert eine Bedingung den Zusammenhang zwischen zwei Größen, etwa „doppelt so viel wie“, und eine zweite Bedingung die Gesamtsumme. Setzt du beide Informationen zusammen, ergibt sich eine einzige lösbare Gleichung mit einer Variablen.
- Wie übe ich das Aufstellen von Gleichungen am besten?
- Beginne mit einfachen Zahlenrätseln ohne Sachbezug und steigere dich dann zu Textaufgaben mit Alter, Geld oder Mengenangaben. Schreibe bei jeder Übung explizit auf, wofür x steht, bevor du rechnest. Wer viele unterschiedliche Formulierungen derselben Rechenoperation kennenlernt, erkennt Signalwörter im Ernstfall schneller wieder.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.