Höhensatz und Kathetensatz
Höhensatz und Kathetensatz sind zwei Sätze am rechtwinkligen Dreieck, mit denen du Seiten und die Höhe berechnen kannst, sobald die Höhe auf die Hypotenuse gefällt ist. In dieser Lektion lernst du beide Sätze kennen, wie sie sich vom Satz des Pythagoras unterscheiden und wie du sie an Beispielen anwendest.
- Fach: Mathematik
- Klasse 9
- Thema: Geometrie
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Höhensatz und Kathetensatz: mehr als nur der Satz des Pythagoras
Höhensatz und Kathetensatz gelten, wie der Satz des Pythagoras, nur im rechtwinkligen Dreieck. Zusätzlich braucht man dafür die Höhe, die vom rechten Winkel senkrecht auf die Hypotenuse gefällt wird. Diese Höhe teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte, die man p und q nennt.
Beide Sätze werden gebraucht, wenn man nicht direkt zwei Katheten kennt, sondern stattdessen die Hypotenusenabschnitte oder die Höhe gegeben hat. Das kommt zum Beispiel bei der Berechnung von Dachschrägen, Antennenmasten oder in der Vermessungstechnik vor.
Ein wichtiger Unterschied zum Satz des Pythagoras: Der Höhensatz verbindet die Höhe mit den beiden Hypotenusenabschnitten, während der Kathetensatz jeweils eine Kathete mit ihrem Hypotenusenabschnitt und der gesamten Hypotenuse in Beziehung setzt.
Formeln für Höhensatz und Kathetensatz
Der Höhensatz besagt: Das Quadrat der Höhe h ist gleich dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte p und q. Diese Formel eignet sich, um aus den beiden Abschnitten der Hypotenuse die Höhe des Dreiecks zu berechnen.
Der Kathetensatz besagt: Das Quadrat einer Kathete a ist gleich dem Produkt aus ihrem anliegenden Hypotenusenabschnitt p und der gesamten Hypotenuse c. Für die zweite Kathete gilt entsprechend eine Formel mit dem Abschnitt q.
Beide Sätze setzen voraus, dass die Höhe tatsächlich vom rechten Winkel auf die Hypotenuse gefällt wird. Ohne diese Höhenkonstruktion lassen sich die beiden Sätze nicht anwenden, anders als der Satz des Pythagoras, der ohne Höhe funktioniert.
- h
- Höhe auf die Hypotenuse
- p
- erster Hypotenusenabschnitt
- q
- zweiter Hypotenusenabschnitt
| Satz | Formel | Verbindet |
|---|---|---|
| Höhensatz | h² = p · q | Höhe mit den Hypotenusenabschnitten |
| Kathetensatz | a² = p · c | Kathete mit ihrem Hypotenusenabschnitt und der Hypotenuse |
| Satz des Pythagoras | a² + b² = c² | beide Katheten mit der Hypotenuse |
Beispiel 1: Höhe mit dem Höhensatz berechnen
In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Höhe die Hypotenuse in die Abschnitte p gleich 2 Zentimeter und q gleich 8 Zentimeter. Berechne die Höhe h.
Gegeben:
- Hypotenusenabschnitt p gleich 2 Zentimeter
- Hypotenusenabschnitt q gleich 8 Zentimeter
Gesucht:
Die Höhe h auf die HypotenuseLösung:
- Voraussetzung prüfen: ein rechtwinkliges Dreieck mit Höhe auf die Hypotenuse liegt vor.
- Höhensatz notieren: h hoch 2 gleich p mal q.
- Werte einsetzen: h hoch 2 gleich 2 mal 8 gleich 16.
- Wurzel ziehen: h gleich Wurzel aus 16.
Die Höhe h beträgt 4 Zentimeter. Die Probe bestätigt: 4 hoch 2 gleich 16, und das entspricht dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte 2 mal 8.
Beispiel 2: Kathete mit dem Kathetensatz berechnen
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse c gleich 10 Zentimeter lang, der zur Kathete a gehörende Hypotenusenabschnitt p beträgt 4 Zentimeter. Berechne die Kathete a.
Gegeben:
- Hypotenuse c gleich 10 Zentimeter
- Hypotenusenabschnitt p gleich 4 Zentimeter
Gesucht:
Die Kathete aLösung:
- Kathetensatz notieren: a hoch 2 gleich p mal c.
- Werte einsetzen: a hoch 2 gleich 4 mal 10 gleich 40.
- Wurzel ziehen: a gleich Wurzel aus 40.
- Ergebnis vereinfachen: Wurzel aus 40 lässt sich als 2 mal Wurzel aus 10 schreiben, das entspricht ungefähr 6,32.
Die Kathete a ist ungefähr 6,32 Zentimeter lang, exakt geschrieben 2 mal Wurzel aus 10 Zentimeter. Das Ergebnis liegt sinnvoll unter der Länge der Hypotenuse von 10 Zentimeter.
Typische Fehler bei Höhensatz und Kathetensatz
Der häufigste Fehler ist, den Höhensatz auch dann anzuwenden, wenn gar keine Höhe auf die Hypotenuse eingezeichnet wurde. Ohne diese Höhe und die Aufteilung der Hypotenuse in p und q funktioniert der Satz nicht.
Ein zweiter Fehler ist, im Kathetensatz die falschen Größen zu verknüpfen, etwa die Kathete mit dem falschen Hypotenusenabschnitt zu multiplizieren. Jede Kathete gehört zu genau einem der beiden Abschnitte p oder q.
Ein dritter Fehler ist, das Wurzelziehen zu vergessen und stattdessen den quadrierten Wert als Endergebnis anzugeben, obwohl eine Länge gesucht ist, kein Flächenwert.
Tipps für die Klassenarbeit
Zeichne dir das rechtwinklige Dreieck mit der Höhe auf die Hypotenuse immer auf und beschrifte p, q, h und die beiden Katheten deutlich, bevor du eine Formel einsetzt.
Überlege dir vor der Rechnung, welche Größen gegeben sind: Sind beide Hypotenusenabschnitte bekannt, hilft der Höhensatz, ist ein Abschnitt und die gesamte Hypotenuse bekannt, hilft der Kathetensatz.
Vergiss am Ende nie das Wurzelziehen, denn sowohl Höhensatz als auch Kathetensatz liefern zunächst nur das Quadrat der gesuchten Länge.
Jetzt bist du dran!
Die Hypotenusenabschnitte betragen p gleich 3 Zentimeter und q gleich 12 Zentimeter. Wie lang ist die Höhe h in Zentimetern?
Das Wichtigste in Kürze
- Höhensatz und Kathetensatz gelten nur im rechtwinkligen Dreieck mit Höhe auf die Hypotenuse.
- Der Höhensatz besagt: das Quadrat der Höhe ist gleich dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte.
- Der Kathetensatz besagt: das Quadrat einer Kathete ist gleich dem Produkt aus ihrem Hypotenusenabschnitt und der gesamten Hypotenuse.
- Nach beiden Sätzen muss am Ende die Wurzel gezogen werden, um die gesuchte Länge zu erhalten.
- Höhensatz und Kathetensatz ergänzen den Satz des Pythagoras, wenn Hypotenusenabschnitte statt Katheten bekannt sind.
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Häufige Fragen zu Höhensatz und Kathetensatz
- Was besagt der Höhensatz?
- Der Höhensatz besagt, dass im rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Höhe auf die Hypotenuse gleich dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte p und q ist, also h hoch 2 gleich p mal q.
- Was besagt der Kathetensatz?
- Der Kathetensatz besagt, dass im rechtwinkligen Dreieck das Quadrat einer Kathete gleich dem Produkt aus ihrem anliegenden Hypotenusenabschnitt und der gesamten Hypotenuse ist, also a hoch 2 gleich p mal c.
- Was ist der Unterschied zwischen Höhensatz, Kathetensatz und Satz des Pythagoras?
- Der Satz des Pythagoras verbindet direkt die beiden Katheten mit der Hypotenuse. Höhensatz und Kathetensatz brauchen zusätzlich die Höhe auf die Hypotenuse und die dadurch entstehenden Hypotenusenabschnitte p und q.
- Wann verwendet man den Höhensatz statt des Kathetensatzes?
- Den Höhensatz nutzt man, wenn beide Hypotenusenabschnitte p und q bekannt sind und die Höhe gesucht ist. Den Kathetensatz nutzt man, wenn ein Hypotenusenabschnitt und die gesamte Hypotenuse bekannt sind und eine Kathete gesucht ist.
- In welcher Klasse werden Höhensatz und Kathetensatz behandelt?
- Höhensatz und Kathetensatz werden meist in Klasse 9 im Anschluss an den Satz des Pythagoras eingeführt, oft im Rahmen der Geometrie am rechtwinkligen Dreieck.
- Braucht man für den Höhensatz immer alle drei Sätze zusammen?
- Nein, man wählt je nach gegebenen Größen den passenden Satz aus. Manche Aufgaben lassen sich sogar mit mehreren Sätzen lösen, meist ist aber einer der drei Sätze direkt und ohne Umwege anwendbar.
- Wie hängen Höhensatz und Kathetensatz mit dem Satz des Pythagoras zusammen?
- Addiert man die beiden Kathetensatzgleichungen für a und b, ergibt sich nach Umformung genau der Satz des Pythagoras. Die drei Sätze sind also eng miteinander verwandt und lassen sich ineinander überführen.
- Was passiert, wenn die Höhe nicht auf die Hypotenuse, sondern auf eine Kathete gefällt wird?
- Dann gelten Höhensatz und Kathetensatz in dieser Form nicht mehr, denn beide Sätze setzen voraus, dass die Höhe genau vom rechten Winkel auf die gegenüberliegende Hypotenuse fällt und diese in zwei Abschnitte teilt.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.