Getriebe: Übersetzung berechnen

Ein Getriebe überträgt eine Drehbewegung von einer Welle auf eine andere und verändert dabei Drehzahl und Drehmoment. Im einfachsten Fall sitzen zwei Zahnräder nebeneinander und greifen mit ihren Zähnen ineinander. Das Rad, das den Antrieb liefert, heißt treibendes Rad, das Rad, das sich mitdreht, heißt getriebenes Rad. Weil beide Räder gleich große Zähne haben müssen, passt ein Rad mit doppelt so vielen Zähnen auch doppelt so oft um den Umfang herum.

Daraus folgt eine einfache Regel: Dreht sich das kleine Rad mit 15 Zähnen einmal, schiebt es genau 15 Zähne am großen Rad vorbei. Hat das große Rad 60 Zähne, ist es dann erst um ein Viertel einer Umdrehung weitergekommen. Das große Rad dreht sich also langsamer, dafür aber mit mehr Kraft. Genau diesen Tausch von Drehzahl gegen Drehmoment nennt man Übersetzung.

Das Drehmoment ist die Größe, die angibt, wie kräftig eine Welle dreht. Es ist Kraft mal Hebelarm und wird in Newtonmeter gemessen. Ein Getriebe erzeugt keine zusätzliche Energie. Wenn die Drehzahl auf ein Viertel sinkt, steigt das Drehmoment auf das Vierfache. Die Leistung, also Drehmoment mal Drehzahl, bleibt in einem idealen Getriebe gleich. Das ist derselbe Gedanke wie beim Hebel: Was du an Weg sparst, brauchst du an Kraft.

Oft reicht ein einziges Zahnradpaar nicht aus. Ein Autogetriebe oder ein Uhrwerk besteht aus mehreren Stufen, die hintereinander geschaltet sind. Dabei sitzt auf einer Welle ein großes und ein kleines Rad, das große greift in die vorige Stufe, das kleine in die nächste. Die Gesamtübersetzung ergibt sich, indem du die Übersetzungen der einzelnen Stufen multiplizierst: i gesamt gleich i₁ mal i₂.

Ein Beispiel: Die erste Stufe hat i₁ = 3, die zweite i₂ = 4. Dann dreht sich der Ausgang zwölfmal langsamer als der Eingang, und das Drehmoment ist idealerweise zwölfmal so groß. Mit zwei kleinen Stufen erreichst du also einen Faktor, für den ein einziges Rad riesig wäre. Ein Zahnradpaar mit 12 und 144 Zähnen würde sehr viel Platz brauchen, zwei Paare mit 12 und 36 Zähnen bauen dagegen kompakt.

Das Rechenschema ist immer gleich: Erst jede Stufe einzeln als Bruch aus Zähnezahlen, dann alle Brüche multiplizieren. Bei Drehzahlen teilst du dann einmal durch die Gesamtübersetzung. Damit du dich nicht verrechnest, hilft eine kleine Skizze mit den Zähnezahlen an jedem Rad.

Der häufigste Fehler ist, die Zähnezahlen zu vertauschen. Wer 15 durch 60 teilt, erhält 0,25 statt 4 und behauptet dann, das Getriebe laufe schneller. Prüfe deshalb immer mit dem gesunden Menschenverstand: Das große Rad am Ausgang dreht langsamer, also muss i größer als 1 sein.

Der zweite Fehler betrifft die Einheiten. Drehzahlen werden mal in Umdrehungen pro Minute, mal in Umdrehungen pro Sekunde angegeben. Wer beides mischt, rechnet falsch. Rechne außerdem mit Zähnezahlen, nicht mit Raddurchmessern in unterschiedlichen Einheiten, sonst stimmen die Verhältnisse nicht mehr. Für den Radumfang beim Fahrrad brauchst du Meter, für die Geschwindigkeit am Ende Kilometer pro Stunde.

Der dritte Fehler ist die Vorstellung, ein Getriebe liefere Energie dazu. Ein Getriebe verteilt Energie nur um. Wenn das Drehmoment wächst, sinkt die Drehzahl, und umgekehrt. Dazu kommen Reibungsverluste an den Zähnen und Lagern, die als Wärme verloren gehen. Der Wirkungsgrad eines guten Zahnradgetriebes liegt trotzdem meist bei 95 bis 98 Prozent pro Stufe.

Getriebe stecken in Fahrrädern, Autos, Akkuschraubern, Uhren, Küchenmaschinen und Windkraftanlagen. Der Akkuschrauber hat meist zwei Gänge: Im langsamen Gang schraubst du kräftig, im schnellen Gang bohrst du zügig. Bei einer Windkraftanlage dreht sich der Rotor nur etwa 15-mal pro Minute, der Generator braucht aber über 1 000 Umdrehungen, deshalb sitzt dazwischen ein Getriebe mit i kleiner als 1.

Für die Klassenarbeit schreibst du zuerst die gegebenen Größen mit Einheiten auf und setzt dann die Zähnezahlen richtig in die Formel ein. Mache am Ende die Plausibilitätsprobe: Wird das Ausgangsrad langsamer, muss i größer als 1 sein und das Drehmoment wachsen. Bei Fahrradaufgaben rechnest du erst die Raddrehzahl, dann mit dem Umfang die Strecke und zuletzt die Einheit auf Kilometer pro Stunde um.

Merke dir auch den Zusammenhang zur Mechanik: Die Zähne am Umfang bewegen sich mit gleicher Geschwindigkeit, nur die Hebelarme sind verschieden. Das große Rad hat den längeren Hebelarm, daher das größere Drehmoment. Wer diesen Gedanken verstanden hat, muss keine Formeln auswendig lernen.