Formeln umstellen und nach einer Größe auflösen
Formeln umstellen heißt, eine Formel so umzuformen, dass die gesuchte Größe allein auf einer Seite steht. Das gelingt mit Umkehroperationen auf beiden Seiten, in umgekehrter Reihenfolge der Rechenzeichen. Du rechnest zwei Beispiele vor, übst die Probe und lernst die typischen Fehler kennen.
- Fach: Mathematik
- Klasse 8
- Thema: Terme
- Dauer: 15 Min
- Niveau: Mittel
Formeln umstellen: Wie du eine Größe allein stellst
Formeln umstellen heißt, eine Formel so umzuschreiben, dass die Größe, die du suchst, allein auf einer Seite steht. Dazu machst du die Rechenschritte der Formel nacheinander rückgängig, immer mit der Gegenrechnung und immer auf beiden Seiten. So wird aus U = 2a + 2b die Formel b = (U − 2a) : 2.
Warum brauchst du das? Eine Formel wie die für den Umfang eines Rechtecks ist meist so aufgeschrieben, dass der Umfang U allein links steht. In vielen Aufgaben ist aber der Umfang gegeben und eine Seite gesucht. Statt jedes Mal neu zu überlegen, stellst du die Formel einmal um und setzt dann die Zahlen ein.
Das Prinzip kennst du von Gleichungen: Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht. Rechnest du links etwas dazu, musst du rechts dasselbe dazurechnen, sonst kippt die Waage. Beim Umstellen von Formeln gilt genau dasselbe, nur dass statt Zahlen Buchstaben stehen. Die Buchstaben behandelst du wie Zahlen, die du noch nicht kennst.
| Formel | Gesucht | Umgestellt |
|---|---|---|
| U = 2a + 2b | b | b = (U − 2a) : 2 |
| v = s : t | t | t = s : v |
| F = m · a | m | m = F : a |
| V = a · b · c | c | c = V : (a · b) |
Formeln umstellen mit Umkehroperationen
Jedes Rechenzeichen hat eine Gegenrechnung: Plus wird mit Minus aufgehoben, Minus mit Plus, Mal mit Durch und Durch mit Mal. Du wendest die Gegenrechnung auf beiden Seiten der Gleichung an. Wichtig ist die Reihenfolge: Du löst die Formel von außen nach innen auf, also rückwärts zur Punkt-vor-Strich-Regel.
Bei y = a · x + b willst du x allein haben. Zuerst steht ein Plus b dabei, also ziehst du auf beiden Seiten b ab. Danach ist x noch mit a malgenommen, also teilst du beide Seiten durch a. Das Ergebnis ist x = (y − b) : a. Beachte, dass du die ganze linke und die ganze rechte Seite teilst und nicht nur einen Summanden.
Wenn die gesuchte Größe mehrfach vorkommt, klammerst du sie aus. Das ist aber seltener und gehört zu den schwereren Aufgaben. In dieser Lektion bleiben wir bei Formeln, in denen die gesuchte Größe nur einmal vorkommt. Dann reichen die vier Umkehroperationen immer aus.
- y
- bekannter Funktionswert oder Ergebnis
- a
- Faktor, mit dem x malgenommen wird
- b
- Zahl, die dazugerechnet wird
- x
- gesuchte Größe
Beispiel 1: Formeln umstellen beim Rechteckumfang
Der Umfang eines Rechtecks beträgt U = 30 cm, die Seite a ist 8 cm lang. Stelle die Formel U = 2a + 2b nach b um und berechne b.
Gegeben:
- U2a + 2b
- U30 cm
- a8 cm
Gesucht:
Seite bLösung:
- Markiere b als gesuchte Größe. Es steht in 2b, und 2a kommt als Summand dazu.
- Ziehe auf beiden Seiten 2a ab: U − 2a = 2b.
- Teile beide Seiten durch 2: b = (U − 2a) : 2.
- Setze die Zahlen ein: b = (30 − 2 · 8) : 2 = (30 − 16) : 2 = 14 : 2 = 7.
Die Seite b ist 7 cm lang. Zur Probe: 2 · 8 + 2 · 7 = 16 + 14 = 30, das passt zum Umfang.
Beispiel 2: Formeln umstellen beim Trapez
Die Fläche eines Trapezes ist A = (a + c) : 2 · h. Es gilt A = 36 cm², a = 4 cm und h = 6 cm. Stelle die Formel nach c um und berechne c.
Gegeben:
- A(a + c) : 2 · h
- A36, a4, h6
Gesucht:
Seite cLösung:
- Die Klammer steht in einem Produkt mit h. Teile beide Seiten durch h: A : h = (a + c) : 2.
- Hebe das Durch 2 auf, indem du mit 2 malnimmst: 2 · A : h = a + c.
- Ziehe a ab, damit c allein steht: c = 2 · A : h − a.
- Setze ein: c2 · 36 : 6 − 472 : 6 − 412 − 48.
Die Seite c ist 8 cm lang. Zur Probe: (4 + 8) : 2 · 6 = 6 · 6 = 36, das stimmt mit der gegebenen Fläche überein.
| Schritt | Umformung | Ergebnis |
|---|---|---|
| 1 | durch h teilen | A : h = (a + c) : 2 |
| 2 | mal 2 nehmen | 2A : h = a + c |
| 3 | a abziehen | c = 2A : h − a |
| 4 | Zahlen einsetzen | c = 8 |
Typische Fehler beim Formeln umstellen
Der häufigste Fehler ist, nur einen Teil der Seite zu teilen. Bei y = a · x + b schreiben viele x = y : a + b. Das ist falsch, denn wenn du durch a teilst, musst du jeden Summanden der Seite teilen, auch das b. Deshalb setzt du Klammern: (y − b) : a. Zuerst ziehst du b ab und teilst danach.
Der zweite Fehler ist ein Vorzeichenfehler. Wer b nach links bringt, schreibt manchmal y + b statt y − b. Denke daran: Ein Plus auf einer Seite wird auf der anderen Seite zum Minus, weil du es mit der Gegenrechnung aufhebst. Rechne den Schritt im Zweifel immer mit einer Probe nach.
Der dritte Fehler ist, die Reihenfolge zu verdrehen. Wenn du zuerst durch a teilst, obwohl noch ein Summand dabei ist, wird die Rechnung unübersichtlich. Gehe lieber von außen nach innen: erst die Summanden entfernen, dann die Faktoren. So behältst du den Überblick.
Formeln umstellen im Alltag und Tipps für die Klassenarbeit
Formeln umstellen brauchst du in Mathematik, Physik, Chemie und Technik. Beim Geschwindigkeitsproblem v = s : t kannst du die Strecke s = v · t berechnen, wenn du Tempo und Zeit kennst, oder die Zeit t = s : v, wenn Strecke und Tempo bekannt sind. Bei einer Fahrt von 150 km mit 60 km/h ergibt sich t = 150 : 60 = 2,5 Stunden.
In Klassenarbeiten bekommst du oft die Aufgabe: Stelle die Formel nach der angegebenen Größe um. Dabei ist es meist nicht nötig, Zahlen einzusetzen. Schreibe jeden Umformungsschritt untereinander und notiere rechts, was du getan hast, zum Beispiel minus 2a oder geteilt durch 2. So findest du Fehler schneller und bekommst auch Teilpunkte.
Die Klausurstrategie ist immer gleich: gesuchte Größe einkreisen, die Rechenzeichen um sie herum von außen nach innen entfernen, am Ende die Probe machen. Wenn du unsicher bist, setze für die anderen Buchstaben Zahlen ein und löse wie eine normale Gleichung. Danach übertrage das Vorgehen auf die Buchstaben.
Jetzt bist du dran!
Aus y = x + 5 soll x allein stehen. Was machst du?
Noch nicht. Auf der rechten Seite wird 5 dazugerechnet. Die Gegenrechnung ist das Abziehen von 5 auf beiden Seiten, so bleibt x = y − 5 stehen.
Das Wichtigste in Kürze
- Formeln umstellen heißt, die gesuchte Größe durch Gegenrechnungen allein zu stellen.
- Plus hebst du mit Minus auf, Mal mit Durch, und umgekehrt, immer auf beiden Seiten.
- Löse die Rechenzeichen in umgekehrter Reihenfolge auf: erst Summanden, dann Faktoren.
- Typischer Fehler: nur einen Teil der Seite teilen. Setze Klammern, zum Beispiel (y − b) : a.
- Mache zum Schluss immer eine Probe mit Zahlen.
Lektion abschließen
Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Formeln umstellen und nach einer Größe auflösen
- Wie stelle ich eine Formel nach einer Variablen um?
- Du markierst die gesuchte Variable und hebst alle Rechenzeichen um sie herum mit der Gegenrechnung auf, immer auf beiden Seiten und in umgekehrter Reihenfolge. Zuerst entfernst du Plus und Minus, dann Mal und Durch. Am Ende steht die Variable allein auf einer Seite.
- Was bedeutet Formel umstellen?
- Eine Formel umzustellen bedeutet, sie so umzuschreiben, dass eine andere Größe allein auf einer Seite steht. Aus U = 2a + 2b wird zum Beispiel b = (U − 2a) : 2. Die Formel sagt danach dasselbe aus, nur sieht sie anders aus.
- Was sind die Umkehroperationen beim Umstellen?
- Die Umkehroperation macht eine Rechnung rückgängig: Plus und Minus heben sich auf, ebenso Mal und Durch. Quadrieren und Wurzelziehen sind ebenfalls ein Paar. Du wendest die Gegenrechnung immer auf beide Seiten der Gleichung an.
- Warum muss ich auf beiden Seiten dasselbe tun?
- Eine Gleichung sagt, dass beide Seiten gleich groß sind. Rechnest du nur auf einer Seite, sind sie nicht mehr gleich. Wie bei einer Waage im Gleichgewicht bleibt sie nur im Gleichgewicht, wenn du links und rechts dasselbe dazugibst oder wegnimmst.
- Wie stelle ich v = s : t nach t um?
- Du multiplizierst beide Seiten mit t und erhältst v · t = s. Danach teilst du beide Seiten durch v und bekommst t = s : v. Bei s = 150 km und v = 60 km pro Stunde ergibt das 150 : 60 = 2,5 Stunden.
- Welche Fehler passieren beim Formeln umstellen am häufigsten?
- Häufig wird nur ein Summand geteilt statt der ganzen Seite, oder das Vorzeichen wird falsch gesetzt. Auch die Reihenfolge wird verwechselt. Mit Klammern, einer klaren Schrittfolge und einer Probe mit Zahlen vermeidest du diese Fehler.
- In welcher Klasse lernt man Formeln umstellen?
- Formeln umstellen gehört meist in die Klasse 7 oder 8 und wird in Physik und Chemie ebenfalls gebraucht. Voraussetzung ist, dass du lineare Gleichungen lösen kannst, denn die Technik ist dieselbe.
- Wie mache ich die Probe beim Umstellen?
- Du wählst kleine Zahlen für die bekannten Größen, rechnest mit der Ausgangsformel das Ergebnis aus und setzt dann dieselben Zahlen in die umgestellte Formel ein. Kommt beide Male dasselbe heraus, hast du richtig umgestellt.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.