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Primzahlen

Primzahlen sind Zahlen, die sich nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilen lassen – mehr Teiler haben sie nicht. Diese scheinbar kleine Eigenschaft macht Primzahlen zu den Bausteinen aller natürlichen Zahlen, denn jede andere Zahl über 1 lässt sich aus ihnen zusammensetzen. In dieser Lektion lernst du, wie du Primzahlen erkennst, sie systematisch findest und typische Fehler vermeidest.

  • Fach: Mathematik
  • Klasse 5
  • Thema: Teilbarkeit
  • Dauer: 18 Min
  • Niveau: Mittel
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Primzahlen – die Bausteine aller Zahlen

Stell dir vor, du hast 12 Bonbons und willst sie in gleich große Gruppen aufteilen. Das geht auf viele Arten: in 2 Gruppen zu je 6, in 3 Gruppen zu je 4, in 4 Gruppen zu je 3 oder in 6 Gruppen zu je 2. Bei 13 Bonbons dagegen findest du keine solche Aufteilung, außer 1 Gruppe mit allen 13 Bonbons. Genau das macht 13 zu einer Primzahl: Sie lässt sich außer durch 1 und sich selbst durch keine andere Zahl ohne Rest teilen.

Primzahlen tauchen überall auf, wo Zahlen in kleinere Bestandteile zerlegt werden müssen, zum Beispiel bei der Verschlüsselung von Bankdaten im Internet. Große Primzahlen sind so schwer zu finden und ihre Produkte so schwer wieder zu zerlegen, dass moderne Sicherheitssysteme genau darauf aufbauen.

Auch beim Bruchrechnen und beim Kürzen von Brüchen brauchst du Primzahlen ständig, denn jede Zahl lässt sich eindeutig aus Primzahlen zusammensetzen – so wie sich jedes Wort aus Buchstaben zusammensetzt. Diese Zerlegung nennt man Primfaktorzerlegung.

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Wie prüft man, ob eine Zahl eine Primzahl ist?

Eine Primzahl hat per Definition genau zwei Teiler: die 1 und sich selbst. Um das bei einer Zahl n zu prüfen, probierst du der Reihe nach, ob n durch 2, durch 3, durch 5 und so weiter teilbar ist. Findest du keinen einzigen Teiler außer 1 und n selbst, ist n eine Primzahl.

Dabei musst du zum Glück nicht bis n selbst durchprobieren. Es reicht, alle Zahlen bis zur Quadratwurzel von n zu testen. Der Grund: Wenn n einen Teiler hätte, der größer als die Wurzel aus n ist, müsste es auch einen passenden kleineren Teiler geben – und den hättest du vorher schon gefunden. Bei 13 reicht es deshalb, nur 2 und 3 zu testen, denn die Wurzel aus 13 liegt zwischen 3 und 4.

Ein Sonderfall ist die Zahl 2: Sie ist die einzige gerade Primzahl, denn jede andere gerade Zahl lässt sich zusätzlich durch 2 teilen und hat damit mehr als zwei Teiler. Die 1 dagegen ist keine Primzahl, weil sie nur einen einzigen Teiler hat, nämlich sich selbst.

n prim ⇔ Teiler von n{1, n}
n
die zu prüfende natürliche Zahl
T
Menge aller Teiler von n
MerkmalPrimzahlZusammengesetzte Zahl
Anzahl Teilergenau 2: 1 und die Zahl selbstmehr als 2 Teiler
Beispiele2, 3, 5, 7, 11, 134, 6, 8, 9, 10, 12
Die Zahl 1keine Primzahl (nur 1 Teiler)auch keine zusammengesetzte Zahl
Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen im Vergleich
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler – nicht mehr und nicht weniger.
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Beispiel 1: Ist 13 eine Primzahl?

Prüfe, ob die Zahl 13 eine Primzahl ist.

Gegeben:

  • n13

Gesucht:

Ist n eine Primzahl?

Lösung:

  1. Wurzel aus 13 abschätzen: sie liegt zwischen 3 und 4, also reichen die Teiler 2 und 3.
  2. Teilbarkeit durch 2 prüfen: 13 ist ungerade, also nicht durch 2 teilbar.
  3. Teilbarkeit durch 3 prüfen: 1 + 3 = 4, die Quersumme ist nicht durch 3 teilbar, also 13 nicht durch 3 teilbar.
  4. Kein Teiler außer 1 und 13 gefunden.

13 ist eine Primzahl, denn sie hat außer 1 und 13 keinen weiteren Teiler. Weil die Wurzel aus 13 kleiner als 4 ist, reichte es, nur die Zahlen 2 und 3 als mögliche Teiler zu testen.

So prüfst du systematisch, ob eine Zahl eine Primzahl ist.
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Beispiel 2: Primfaktorzerlegung von 60

Zerlege die Zahl 60 vollständig in ihre Primfaktoren.

Gegeben:

  • n60

Gesucht:

Primfaktorzerlegung von n

Lösung:

  1. 60 ist gerade, also durch 2 teilbar: 60 : 2 = 30.
  2. 30 ist wieder gerade: 30 : 215.
  3. 15 ist nicht mehr gerade, aber durch 3 teilbar: 15 : 3 = 5.
  4. 5 ist selbst eine Primzahl, die Zerlegung ist damit fertig: 60 = 2 · 2 · 3 · 5.

60 = 2 · 2 · 3 · 5, also 2² · 3 · 5. Jede natürliche Zahl über 1 lässt sich auf genau eine solche Weise in Primfaktoren zerlegen – das nennt man den Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie.

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Typische Fehler bei Primzahlen

Der häufigste Fehler ist die Annahme, jede ungerade Zahl sei automatisch eine Primzahl. Das stimmt nicht: 9 ist ungerade, aber durch 3 teilbar, also keine Primzahl. Auch 15, 21 oder 25 sind ungerade und trotzdem zusammengesetzt. Ungerade zu sein ist notwendig für Primzahlen ab der 3, reicht aber nicht als alleinige Bedingung.

Ein zweiter Fehler ist, die 1 fälschlich als Primzahl zu zählen. Die 1 hat aber nur einen einzigen Teiler, nämlich sich selbst, während eine Primzahl per Definition genau zwei verschiedene Teiler haben muss. Deshalb beginnt die Liste der Primzahlen mit 2, 3, 5, 7 und nicht mit der 1.

Ein dritter Fehler passiert beim Testen der Teiler: Manche brechen die Suche zu früh ab und testen nur die Zahl 2, statt auch 3, 5 und weitere ungerade Zahlen bis zur Wurzel zu prüfen. Wird etwa bei 21 nur durch 2 getestet, könnte man fälschlich denken, 21 sei prim – dabei ist 21 = 3 · 7.

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Profi-Tipp für die Klassenarbeit

Lerne die ersten Primzahlen auswendig: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Mit dieser Liste im Kopf kannst du in der Klassenarbeit sehr schnell entscheiden, ob eine kleinere Zahl eine Primzahl ist, ohne jedes Mal neu zu rechnen.

Für größere Zahlen hilft dir das Sieb des Eratosthenes: Du schreibst alle Zahlen bis zu einer Obergrenze auf und streichst systematisch alle Vielfachen von 2, dann von 3, dann von 5 und so weiter. Am Ende bleiben nur die Primzahlen übrig, ohne dass du jede Zahl einzeln auf Teiler prüfen musst.

Bei der Primfaktorzerlegung lohnt es sich, immer mit dem kleinsten möglichen Primfaktor zu beginnen, also erst prüfen, ob die Zahl durch 2 teilbar ist, dann durch 3, dann durch 5. So verlierst du beim Rechnen nicht den Überblick und findest systematisch alle Faktoren.

Die wichtigsten Regeln zu Primzahlen auf einen Blick.
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Jetzt bist du dran!

Aufgabe 1 von 4

Welche der folgenden Zahlen ist eine Primzahl?

Welche der folgenden Zahlen ist eine Primzahl?
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Das Wichtigste in Kürze

  • Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.
  • Um n auf Primzahl zu prüfen, reicht es, Teiler bis zur Quadratwurzel von n zu testen.
  • Die 2 ist die einzige gerade Primzahl, die 1 zählt nicht als Primzahl.
  • Jede natürliche Zahl über 1 lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen.
  • Ungerade zu sein reicht nicht aus, um eine Primzahl zu sein – auch 9, 15 oder 21 sind ungerade und trotzdem zusammengesetzt.

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Häufige Fragen zu Primzahlen

Was ist eine Primzahl?
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die sich nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilen lässt. Sie hat also genau zwei Teiler. Die kleinste Primzahl ist 2, danach folgen 3, 5, 7, 11 und so weiter, ohne dass sich ein festes Muster für ihre Abstände zeigt.
Wie erkennt man eine Primzahl?
Du testest, ob die Zahl durch 2, 3, 5, 7 und weitere Zahlen bis zur Quadratwurzel der Zahl teilbar ist. Findest du dabei keinen Teiler außer 1 und der Zahl selbst, ist sie eine Primzahl. Bei kleinen Zahlen lohnt es sich, die ersten Primzahlen einfach auswendig zu kennen.
Ist 1 eine Primzahl?
Nein, die 1 ist keine Primzahl. Eine Primzahl braucht genau zwei verschiedene Teiler, die 1 hat aber nur einen einzigen Teiler, nämlich sich selbst. Deshalb beginnt die Liste der Primzahlen erst bei der 2.
Ist 2 eine Primzahl?
Ja, die 2 ist sogar die kleinste Primzahl und zugleich die einzige gerade Primzahl. Jede andere gerade Zahl ist zusätzlich durch 2 teilbar und hat damit automatisch mehr als zwei Teiler, kann also keine Primzahl mehr sein.
Was ist der Unterschied zwischen Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen?
Primzahlen haben genau zwei Teiler, zusammengesetzte Zahlen dagegen mehr als zwei. Jede natürliche Zahl über 1 ist entweder eine Primzahl oder lässt sich als Produkt mehrerer Primzahlen schreiben, ihrer sogenannten Primfaktoren.
Wie funktioniert das Sieb des Eratosthenes?
Beim Sieb des Eratosthenes schreibst du alle Zahlen bis zu einer Obergrenze auf und streichst nacheinander alle Vielfachen von 2, dann alle Vielfachen von 3, dann von 5 und so weiter. Am Ende bleiben nur die Primzahlen ungestrichen übrig. Das Verfahren ist benannt nach dem griechischen Gelehrten Eratosthenes.
Warum sind Primzahlen wichtig?
Primzahlen sind die Bausteine aller natürlichen Zahlen, weil sich jede Zahl über 1 eindeutig aus ihnen zusammensetzen lässt. Außerdem spielen große Primzahlen eine zentrale Rolle bei der Verschlüsselung von Daten im Internet, etwa beim Online-Banking, weil ihre Produkte extrem schwer wieder in die einzelnen Faktoren zu zerlegen sind.
In welcher Klasse werden Primzahlen behandelt?
Primzahlen werden meist in Klasse 5 im Rahmen der Teilbarkeitslehre eingeführt, direkt nach den Teilbarkeitsregeln und dem größten gemeinsamen Teiler. Sie bilden die Grundlage für spätere Themen wie die Primfaktorzerlegung, den ggT, das kgV und das Kürzen von Brüchen.

Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.

Das solltest du vorher können

Das kommt als Nächstes