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Quadratzahlen

In dieser Lektion lernst du, was Quadratzahlen sind und wie du sie berechnest. Du übst, eine Zahl mit sich selbst zu multiplizieren und erkennst das Muster hinter den ersten Quadratzahlen. Am Ende kannst du Quadratzahlen sicher berechnen und wiedererkennen.

  • Fach: Mathematik
  • Klasse 5
  • Thema: Grundrechenarten
  • Dauer: 15 Min
  • Niveau: Mittel
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Eine Zahl mal sich selbst

Eine Quadratzahl entsteht, wenn du eine Zahl mit sich selbst multiplizierst. Nimmst du zum Beispiel die Zahl 4 und rechnest 4 · 4, erhältst du 16. Die 16 ist deshalb eine Quadratzahl. Man schreibt diese Rechnung kürzer mit einer kleinen hochgestellten 2: 4² bedeutet „4 hoch 2” und ist eine andere Schreibweise für 4 · 4.

Der Name „Quadratzahl” kommt daher, dass man sich das Ergebnis als Fläche eines Quadrats vorstellen kann. Ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 besteht aus genau 16 kleinen Kästchen, wenn man es in ein Gitter aus Einheitsquadraten einteilt. Deshalb passt der Name so gut: Die Quadratzahl ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit dieser Seitenlänge.

Die ersten Quadratzahlen solltest du dir merken, weil sie in vielen Aufgaben immer wieder vorkommen: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 und 100. Diese Zahlen entstehen, wenn du die Zahlen 1 bis 10 jeweils mit sich selbst multiplizierst.

So berechnest du die Quadratzahl von 7 in fünf Schritten.
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Die Formel für Quadratzahlen

Die allgemeine Regel für Quadratzahlen lässt sich mit einer kurzen Formel aufschreiben. Der Buchstabe n steht für eine beliebige Zahl, und q ist die zugehörige Quadratzahl. Um q zu berechnen, multiplizierst du n einfach mit sich selbst.

Diese Formel funktioniert für jede natürliche Zahl, egal wie groß sie ist. Je größer n wird, desto schneller wächst q, denn du multiplizierst die Zahl nicht nur mit einer festen Zahl, sondern mit sich selbst. Deshalb wachsen Quadratzahlen viel schneller als die Zahlen, aus denen sie entstehen.

Ein nützlicher Zusammenhang: Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen wird immer größer. Zwischen 1² und 2² liegen 3, zwischen 2² und 3² liegen 5, zwischen 3² und 4² liegen 7. Der Abstand wächst dabei immer um genau 2.

qn · n
n
eine beliebige Zahl
q
die Quadratzahl zu n
nn · nQuadratzahl
33 · 39
66 · 636
99 · 981
Die ersten zehn Quadratzahlen
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Beispiel 1: Die Quadratzahl von 9 berechnen

Berechne die Quadratzahl von 9, also 9².

Gegeben:

  • Zahl: 9

Gesucht:

Quadratzahl von 9

Lösung:

  1. Die Zahl 9 mit sich selbst multiplizieren: 9 · 9.
  2. Die Multiplikation ausrechnen: 9 · 981.
  3. Das Ergebnis als Quadratzahl mit Schreibweise notieren: 9² = 81.
  4. Zur Kontrolle prüfen: 81 steht auch in der Liste der bekannten Quadratzahlen.

9² = 81. Die Quadratzahl von 9 ist 81. Ein Quadrat mit der Seitenlänge 9 hat also einen Flächeninhalt von 81 Flächeneinheiten, wenn man es in kleine Einheitsquadrate einteilt.

So schnell wachsen die ersten zehn Quadratzahlen im Vergleich.
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Beispiel 2: Die Fläche eines quadratischen Gartens

Ein quadratisches Gartenbeet hat eine Seitenlänge von 6 Metern. Wie groß ist die Fläche des Beetes?

Gegeben:

  • Seitenlänge: 6 m

Gesucht:

Flächeninhalt des Beetes

Lösung:

  1. Erkennen, dass bei einem Quadrat der Flächeninhalt mit der Quadratzahl der Seitenlänge berechnet wird.
  2. Die Seitenlänge mit sich selbst multiplizieren: 6 · 6.
  3. Die Multiplikation ausrechnen: 6 · 636.
  4. Das Ergebnis mit der passenden Flächeneinheit versehen: 36 Quadratmeter.

Das Gartenbeet hat eine Fläche von 36 Quadratmetern. Da 6² = 36 gilt, kannst du bei jedem quadratischen Gartenbeet den Flächeninhalt direkt über die Quadratzahl der Seitenlänge berechnen.

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Typische Fehler

Ein sehr häufiger Fehler ist, die Quadratzahl mit der Verdoppelung zu verwechseln. 4² bedeutet nicht 4 · 2 = 8, sondern 4 · 4 = 16. Die kleine hochgestellte 2 zeigt an, dass die Zahl mit sich selbst multipliziert wird, nicht mit der Zahl 2.

Ein zweiter Fehler passiert bei negativen Zahlen, wenn diese in der Schule vorkommen: (−3)² ergibt nicht −9, sondern 9, weil minus mal minus plus ergibt. Ohne Klammer, bei −3², wird zuerst quadriert und danach das Minus davorgesetzt, was −9 ergibt. Diese Feinheit sorgt oft für Verwirrung.

Ein dritter Fehler ist, die Reihenfolge beim Rechnen mit mehreren Quadratzahlen zu vertauschen, zum Beispiel bei 3² + 4². Hier muss erst jede Quadratzahl einzeln berechnet werden, also 9 und 16, und erst danach werden die Ergebnisse addiert: 9 + 16 = 25.

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Tipps für die Klassenarbeit

Für die Klassenarbeit lohnt es sich, die Quadratzahlen von 1² bis 10² auswendig zu lernen, also 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 und 100. Wer diese Zahlen sofort abrufen kann, spart in der Arbeit viel Zeit und macht weniger Rechenfehler.

Ein guter Trick, um sich Quadratzahlen zu merken, ist das Muster der ungeraden Zahlen: Von einer Quadratzahl zur nächsten steigt der Abstand immer um die nächste ungerade Zahl, also 3, 5, 7, 9 und so weiter. So kannst du auch ohne direktes Ausrechnen prüfen, ob eine Zahl wirklich eine Quadratzahl ist.

Prüfe in der Klassenarbeit außerdem immer genau, ob eine Aufgabe eine Quadratzahl oder eine Verdoppelung verlangt, denn beide Aufgaben sehen auf den ersten Blick ähnlich aus, führen aber zu ganz unterschiedlichen Ergebnissen.

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Jetzt bist du dran

Aufgabe 1 von 3

Wie viel ist 8²?

Wie viel ist 8²?
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Das nimmst du mit

  • Eine Quadratzahl entsteht, wenn eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird.
  • Die Schreibweise n² bedeutet n · n, nicht n · 2.
  • Die Quadratzahl einer Seitenlänge ergibt den Flächeninhalt eines Quadrats mit dieser Seitenlänge.
  • Die ersten zehn Quadratzahlen lauten 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 und 100.
  • Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen wächst immer um die nächste ungerade Zahl.

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Häufige Fragen zu Quadratzahlen

Was ist eine Quadratzahl?
Eine Quadratzahl ist das Ergebnis, wenn man eine Zahl mit sich selbst multipliziert. Zum Beispiel ist 25 eine Quadratzahl, weil 5 · 5 = 25 gilt.
Wie berechnet man eine Quadratzahl?
Man multipliziert die gegebene Zahl einfach mit sich selbst. Bei 7² rechnest du 7 · 7, das Ergebnis 49 ist die gesuchte Quadratzahl.
Was ist der Unterschied zwischen einer Quadratzahl und dem Verdoppeln einer Zahl?
Beim Verdoppeln wird eine Zahl mit 2 multipliziert, bei einer Quadratzahl wird sie mit sich selbst multipliziert. 4 verdoppelt ergibt 8, die Quadratzahl von 4 ist dagegen 16.
In welcher Klasse lernt man Quadratzahlen?
Quadratzahlen werden meist in Klasse 5 eingeführt, oft im Zusammenhang mit dem Einmaleins und als Vorbereitung auf Potenzen in höheren Klassen.
Wie können Eltern das Üben von Quadratzahlen unterstützen?
Karteikarten mit den Quadratzahlen von 1² bis 10² helfen beim Auswendiglernen. Auch das Ausmessen und Berechnen von quadratischen Flächen im Haushalt, wie Fliesen oder Teppichen, macht das Thema anschaulich.
Warum heißt es Quadratzahl und nicht einfach Produktzahl?
Der Name kommt daher, dass man sich das Ergebnis als Flächeninhalt eines Quadrats vorstellen kann, dessen Seitenlänge der Ausgangszahl entspricht.
Was ist (−3) hoch 2 und ist das dasselbe wie −3 hoch 2?
(−3)² ergibt 9, weil minus mal minus plus ergibt. Ohne Klammer, bei −3², wird zuerst 3² gerechnet und danach erst das Minus davorgesetzt, sodass −9 herauskommt. Beide Schreibweisen sind deshalb nicht dasselbe.

Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.

Das solltest du vorher können

Das kommt als Nächstes

  • Potenzenin Arbeit
  • Teilbarkeitsregelnin Arbeit