Kreisdiagramme lesen und zeichnen
In dieser Lektion lernst du, wie ein Kreisdiagramm Anteile als Kreissektoren darstellt und wie du den Mittelpunktswinkel eines Sektors berechnest. Du übst, Prozentangaben in Winkelgrade umzurechnen und ein eigenes Kreisdiagramm zu zeichnen.
- Fach: Mathematik
- Klasse 7
- Thema: Stochastik
- Dauer: 18 Min
- Niveau: Mittel
Ein Kreis, der das Ganze zeigt
Ein Kreisdiagramm stellt dar, wie sich ein Ganzes auf mehrere Teile aufteilt. Der volle Kreis entspricht dabei immer 100 Prozent, und jeder Teil wird als Kreissektor eingezeichnet – ein Tortenstück, dessen Größe genau dem Anteil entspricht, den er darstellt. Wählen 120 von 300 befragten Schülern Pizza als Lieblingsessen, so nimmt „Pizza“ genau 40 % der Kreisfläche ein, denn 120 von 300 sind 40 %.
Kreisdiagramme eignen sich besonders gut, um Anteile an einem Ganzen zu vergleichen, zum Beispiel Wahlergebnisse, die Verteilung von Freizeitaktivitäten oder die Zusammensetzung eines Warenkorbs. Anders als ein Balkendiagramm, das absolute Werte nebeneinander zeigt, macht ein Kreisdiagramm auf einen Blick sichtbar, welcher Anteil am größten ist und wie sich die Teile zum Ganzen verhalten. Dafür eignet es sich weniger, wenn du genaue absolute Zahlen ablesen willst.
Um ein Kreisdiagramm zu zeichnen, brauchst du den Zusammenhang zwischen Prozent und Winkelgrad. Der volle Kreis hat 360°, und diese 360° entsprechen den vollen 100 %. Ein Anteil von 25 % entspricht deshalb einem Viertel des Kreises, also 90°. Diesen Zusammenhang nutzt du, um aus jeder Prozentangabe den passenden Mittelpunktswinkel zu berechnen.
Vom Anteil zum Mittelpunktswinkel
Um den Mittelpunktswinkel eines Sektors zu berechnen, teilst du den Anteilswert durch den Gesamtwert und multiplizierst mit 360°. Das ist im Grunde dieselbe Rechnung wie bei der Prozentrechnung, nur dass du statt mit 100 % mit 360° arbeitest. Kennst du bereits den Prozentsatz eines Anteils, multiplizierst du ihn einfach mit 3,6, denn 360° geteilt durch 100 % ergibt 3,6° pro Prozent.
Diese Formel funktioniert in beide Richtungen. Kennst du den Winkel eines Sektors und willst den Prozentsatz wissen, teilst du den Winkel durch 3,6. Ein Sektor mit 108° entspricht also 108° durch 3,6°, das sind 30 %. Diese Umrechnung brauchst du besonders dann, wenn du ein vorhandenes Kreisdiagramm mit dem Geodreieck ausmisst und die Anteile daraus bestimmen willst.
- w
- Mittelpunktswinkel des Sektors in Grad
- a
- Anteilswert, also die Häufigkeit eines Merkmals
- g
- Gesamtwert, also die Summe aller Häufigkeiten
| Prozentsatz | Rechenweg | Mittelpunktswinkel |
|---|---|---|
| 10 % | 10 · 3,6° | 36° |
| 25 % | 25 · 3,6° | 90° |
| 50 % | 50 · 3,6° | 180° |
| 30 % | 30 · 3,6° | 108° |
Beispiel 1: Mittelpunktswinkel für eine Umfrage berechnen
In einer Klasse mit 30 Schülern nennen 12 Fußball als Lieblingssport. Welcher Mittelpunktswinkel gehört zu diesem Anteil im Kreisdiagramm?
Gegeben:
- a12 Schüler
- g30 Schüler
Gesucht:
wLösung:
- Formel anwenden: wag · 360°
- Werte einsetzen: w1230 · 360°
- Bruch kürzen: 123025
- w25 · 360°144°
Der Sektor für Fußball hat einen Mittelpunktswinkel von 144°. Zur Kontrolle: 12 von 30 sind 40 %, und 40 % von 360° sind ebenfalls 144°, denn 40 · 3,6° = 144°. Mit dem Geodreieck trägst du diesen Winkel vom Mittelpunkt aus ab und zeichnest den Sektor ein.
Beispiel 2: Ein vorhandenes Kreisdiagramm auswerten
In einem Kreisdiagramm zu 200 befragten Personen hat der Sektor „Fahrrad“ einen Mittelpunktswinkel von 72°. Wie viele Personen fahren Fahrrad?
Gegeben:
- w72°
- g200 Personen
Gesucht:
aLösung:
- Winkel in Prozent umrechnen: pw3,6°72°3,6°20 %
- Prozentwert berechnen: ag · p100
- a200 · 20100
- a40 Personen
40 der 200 befragten Personen fahren Fahrrad. Die Probe gelingt über den Winkel: 40 von 200 sind 20 %, und 20 % von 360° sind 72°, genau der angegebene Winkel. Diese Rückrechnung brauchst du oft, wenn in einer Aufgabe nur das fertige Diagramm gegeben ist.
Typische Fehler
Ein häufiger Fehler ist, die Anteilswerte statt der Prozentsätze direkt als Winkelgrad zu verwenden, also zum Beispiel 12 Schüler unverändert als 12° einzuzeichnen. Der Winkel ergibt sich aber immer erst aus dem Verhältnis von Anteil zu Gesamtwert, multipliziert mit 360°, niemals aus der absoluten Zahl allein. Ohne diesen Bezug zum Gesamtwert lässt sich kein sinnvoller Winkel bestimmen.
Ein zweiter Fehler passiert beim Aufsummieren der Winkel: Am Ende müssen alle Mittelpunktswinkel eines Kreisdiagramms zusammen genau 360° ergeben. Rundest du bei jedem Sektor einzeln, kann die Summe leicht auf 358° oder 362° kommen. In solchen Fällen gleichst du die Rundungsdifferenz beim größten Sektor aus, damit die Summe wieder exakt 360° beträgt.
Ein dritter Fehler ist das ungenaue Abtragen der Winkel mit dem Geodreieck. Schon eine Abweichung von wenigen Grad verschiebt die Größe des Sektors sichtbar, besonders bei kleinen Anteilen. Miss deshalb sorgfältig vom Mittelpunkt aus und beginne jeden neuen Sektor genau dort, wo der vorherige endet, damit sich die Fehler nicht aufaddieren.
Tipps für die Klassenarbeit
Lege dir vor dem Zeichnen eine kleine Tabelle mit Anteil, Prozentsatz und Winkel für jeden Sektor an. So behältst du den Überblick und kannst am Ende sofort prüfen, ob die Winkelsumme 360° und die Prozentsumme 100 % ergibt. Diese Kontrollsumme ist die zuverlässigste Methode, Rechenfehler vor dem Zeichnen zu entdecken.
Zeichne die Sektoren immer in absteigender Reihenfolge, beginnend mit dem größten Anteil bei der 12-Uhr-Position im Uhrzeigersinn. Das ist zwar keine mathematische Pflicht, macht das Diagramm aber übersichtlicher und ist die in Lehrbüchern übliche Darstellung. Beschrifte jeden Sektor direkt mit Name und Prozentsatz, damit das Diagramm ohne zusätzliche Legende lesbar ist.
Kreisdiagramme begegnen dir auch außerhalb der Schule ständig: in Nachrichtensendungen bei Wahlergebnissen, in Geschäftsberichten bei der Aufteilung von Ausgaben oder in Umfragen zu Freizeitverhalten. Wer den Zusammenhang zwischen Prozent und Winkelgrad einmal verstanden hat, kann solche Diagramme nicht nur lesen, sondern auch kritisch prüfen, ob die dargestellten Anteile realistisch wirken.
Jetzt bist du dran!
In einer Umfrage mit 50 Personen mögen 15 Personen Katzen am liebsten. Welchen Mittelpunktswinkel bekommt der Sektor „Katzen“?
Das Wichtigste in Kürze
- Ein Kreisdiagramm stellt Anteile an einem Ganzen als Kreissektoren dar, der volle Kreis entspricht 100 %.
- Der Zusammenhang zwischen Prozent und Winkelgrad lautet 360° entsprechen 100 %, also 3,6° pro Prozent.
- Der Mittelpunktswinkel berechnet sich mit w = a/g · 360°.
- Alle Mittelpunktswinkel eines Diagramms müssen sich zu genau 360° addieren.
- Typischer Fehler: den Anteilswert direkt als Winkelgrad verwenden, statt ihn zuerst ins Verhältnis zum Gesamtwert zu setzen.
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Häufige Fragen zu Kreisdiagramme lesen und zeichnen
- Was zeigt ein Kreisdiagramm?
- Ein Kreisdiagramm zeigt, wie sich ein Ganzes prozentual auf verschiedene Teile aufteilt. Der volle Kreis mit 360° entspricht dabei 100 %, und jeder Teil wird als Kreissektor eingezeichnet, dessen Größe genau seinem Anteil am Ganzen entspricht. So lassen sich Anteile auf einen Blick vergleichen.
- Wie berechnet man den Winkel eines Kreisdiagramms?
- Du teilst den Anteilswert durch den Gesamtwert und multiplizierst das Ergebnis mit 360°, also w = a/g · 360°. Kennst du bereits den Prozentsatz, multiplizierst du ihn einfach mit 3,6°, denn ein Prozent entspricht genau 3,6° eines Vollkreises.
- Was ist der Unterschied zwischen einem Kreisdiagramm und einem Balkendiagramm?
- Ein Kreisdiagramm zeigt Anteile an einem Ganzen und eignet sich, wenn die Summe aller Teile 100 % ergibt. Ein Balkendiagramm stellt dagegen absolute oder unabhängige Werte nebeneinander dar und eignet sich besser, wenn du genaue Zahlen vergleichen willst, die nicht zwingend ein Ganzes ergeben müssen.
- Wie zeichnet man ein Kreisdiagramm mit dem Geodreieck?
- Zuerst berechnest du für jeden Anteil den Mittelpunktswinkel mit w = a/g · 360°. Dann zeichnest du einen Kreis, markierst den Mittelpunkt und trägst die Winkel nacheinander mit dem Geodreieck ab, meist beginnend bei der 12-Uhr-Position im Uhrzeigersinn. Zum Schluss beschriftest du jeden Sektor mit Name und Prozentsatz.
- In welcher Klasse lernt man Kreisdiagramme?
- Kreisdiagramme werden meist in Klasse 6 oder 7 eingeführt, im Zusammenhang mit der Prozentrechnung und der beschreibenden Statistik. Voraussetzung ist sicheres Rechnen mit Prozentsätzen und Brüchen. Später werden Kreisdiagramme in der Stochastik und in vielen Sachfächern verwendet, um Daten übersichtlich darzustellen.
- Warum müssen sich alle Winkel eines Kreisdiagramms zu 360° addieren?
- Weil der volle Kreis das gesamte Ganze darstellt, also 100 % aller erfassten Werte. Jeder Sektor ist ein Teil davon, und die Summe aller Teile muss wieder das Ganze ergeben. Ergibt die Summe der Winkel nicht 360°, liegt ein Rechenfehler vor oder es wurden nicht alle Werte erfasst.
- Wie rechnet man einen Winkel wieder in Prozent um?
- Du teilst den gemessenen Mittelpunktswinkel durch 3,6°. Ein Sektor mit 72° entspricht also 72° geteilt durch 3,6°, das ergibt 20 %. Diese Rückrechnung brauchst du, wenn du ein fertiges Kreisdiagramm auswerten und die dargestellten Prozentsätze bestimmen willst.
- Können Kreisdiagramme auch irreführend sein?
- Ja, zum Beispiel wenn die Sektoren nicht maßstabsgetreu gezeichnet sind oder wenn ein Diagramm in 3D-Perspektive dargestellt wird, wodurch vordere Sektoren größer wirken, als sie tatsächlich sind. Auch wenn zu viele kleine Sektoren dargestellt werden, wird das Diagramm schnell unübersichtlich und schwer zu lesen.
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