Bernoulli-Kette: Formel, Voraussetzungen und Beispiele
Eine Bernoulli-Kette ist ein Zufallsexperiment mit zwei Ergebnissen, das n-mal unabhängig mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit p wiederholt wird. Du lernst die Voraussetzungen, die Formel für genau k Treffer und rechnest zwei Beispiele. Dazu kommen fünf Aufgaben und typische Klausurfehler.
- Fach: Mathematik
- Klasse 11
- Thema: Stochastik
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Bernoulli-Kette: Zufallsversuche mit nur zwei Ausgängen
Eine Bernoulli-Kette ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen, das n-mal nacheinander mit immer gleicher Trefferwahrscheinlichkeit p wiederholt wird. Die beiden Ergebnisse heißen Treffer und Niete. Die einzelnen Versuche beeinflussen sich nicht, sie sind unabhängig voneinander.
Typische Beispiele sind der mehrfache Münzwurf mit Kopf als Treffer, das Würfeln mit der 6 als Treffer oder die Qualitätskontrolle, bei der ein Bauteil entweder fehlerhaft oder in Ordnung ist. Immer fragst du: Wie wahrscheinlich sind genau k Treffer in n Versuchen? Die Antwort liefert die Formel von Bernoulli.
Der Name erinnert an den Mathematiker Jakob Bernoulli. Das Besondere an der Kette: Egal in welcher Reihenfolge die Treffer auftreten, jeder einzelne Ablauf hat dieselbe Wahrscheinlichkeit. Du musst nur noch zählen, wie viele solcher Abläufe es gibt. Die Bernoulli-Kette ist die Grundlage der Binomialverteilung, die im nächsten Schritt folgt.
| Situation | Bernoulli-Kette? | Begründung |
|---|---|---|
| Münze 10-mal werfen | ja | zwei Ergebnisse, p bleibt 0,5 |
| Würfel 8-mal werfen, 6 zählt | ja | Treffer 6, Niete alle anderen, p = 1/6 |
| Kugeln ohne Zurücklegen ziehen | nein | p ändert sich bei jedem Zug |
| Alle 10 Schüler einer Klasse fragen | oft ja, wenn p gleich | Nur wenn alle gleich wahrscheinlich Ja sagen |
Bernoulli-Kette: Die Formel für genau k Treffer
Ein einzelner Weg mit genau k Treffern und n − k Nieten hat nach der Pfadregel die Wahrscheinlichkeit pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Denn jeder Treffer bringt den Faktor p, jede Niete den Faktor 1 − p. Die Reihenfolge ändert daran nichts, weil beim Multiplizieren die Faktoren vertauscht werden dürfen.
Wie viele Wege gibt es? Das sind alle Möglichkeiten, aus n Stellen k auszuwählen, an denen ein Treffer steht. Diese Zahl heißt Binomialkoeffizient und wird als n über k gelesen. Für n = 5 und k = 2 sind es 10 Wege. Du findest den Wert im Taschenrechner unter nCr oder im Pascalschen Dreieck.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist das Produkt: Zahl der Wege mal Wahrscheinlichkeit eines Weges. Das ist die Formel von Bernoulli. Sie liefert dir für jedes k zwischen 0 und n die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer. Alle diese Werte zusammen ergeben genau 1.
- n
- Zahl der Versuche (Länge der Kette)
- k
- Zahl der Treffer
- p
- Trefferwahrscheinlichkeit je Versuch
- X
- Zufallsgröße: Anzahl der Treffer
Beispiel 1: Bernoulli-Kette beim Münzwurf
Eine faire Münze wird 5-mal geworfen. Wie wahrscheinlich ist es, genau 2-mal Zahl zu erhalten?
Gegeben:
- n5 Würfe
- p0,5 für Zahl
- k2 Treffer
Gesucht:
P(X2)Lösung:
- Prüfe die Voraussetzungen: zwei Ergebnisse (Zahl oder Kopf), p = 0,5 bleibt gleich, die Würfe sind unabhängig. Es ist eine Bernoulli-Kette mit n = 5.
- Zahl der Wege: (5 über 2) = 10, zum Beispiel ZZKKK, ZKZKK und so weiter.
- Wahrscheinlichkeit eines Weges: 0,5² · 0,5³0,5⁵0,03125.
- Zusammen: P(X2)10 · 0,031250,3125.
Die Wahrscheinlichkeit für genau zweimal Zahl beträgt 0,3125, also 31,25 Prozent. Die Tabelle zeigt alle Werte von k = 0 bis k = 5, ihre Summe ist 1.
Beispiel 2: Bernoulli-Kette beim Würfeln
Ein Würfel wird 4-mal geworfen. Treffer ist eine 6. Wie wahrscheinlich ist genau eine 6, und wie wahrscheinlich ist mindestens eine 6?
Gegeben:
- n4 Würfe
- p1 : 6 für eine 6
- k1 beziehungsweise k ≥ 1
Gesucht:
P(X1) und P(X ≥ 1)Lösung:
- Genau eine 6: Es gibt (4 über 1) = 4 Wege, und jeder Weg hat die Wahrscheinlichkeit (1 : 6) · (5 : 6)³ = 125 : 1296.
- Zusammen: P(X1)4 · 125 : 1296500 : 1296 ≈ 0,386.
- Mindestens eine 6: Das Gegenereignis ist keine 6, also P(X = 0) = (5 : 6)⁴ = 625 : 1296 ≈ 0,482.
- Daraus folgt P(X ≥ 1)1 − 0,4820,518, genau 1 − 625 : 1296671 : 1296.
Genau eine 6 erscheint mit 38,6 Prozent, mindestens eine 6 mit 51,8 Prozent. Der Trick mit dem Gegenereignis spart viel Arbeit bei Aufgaben zu mindestens.
| Ereignis | Rechnung | Wert |
|---|---|---|
| genau eine 6 | 4 · (1 : 6) · (5 : 6)³ | ≈ 0,386 |
| keine 6 | (5 : 6)⁴ | ≈ 0,482 |
| mindestens eine 6 | 1 − (5 : 6)⁴ | ≈ 0,518 |
Typische Fehler bei der Bernoulli-Kette
Der häufigste Fehler ist, den Binomialkoeffizienten zu vergessen. Wer nur pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ rechnet, erhält die Wahrscheinlichkeit für eine einzige Reihenfolge, nicht für alle. Frage dich immer: In welcher Reihenfolge dürfen die Treffer auftreten? Wenn es egal ist, brauchst du (n über k).
Der zweite Fehler ist, ein Experiment fälschlich als Bernoulli-Kette zu behandeln. Zieht man Kugeln ohne Zurücklegen, ändert sich die Wahrscheinlichkeit bei jedem Zug, und die Versuche sind nicht unabhängig. Auch wenn mehr als zwei Ergebnisse interessieren, musst du die Ergebnisse zu Treffer und Niete zusammenfassen.
Der dritte Fehler betrifft die Exponenten. Der Exponent der Niete lautet n − k, nicht k. Bei n = 10 und k = 3 stehen also p mit dem Exponenten 3 und (1 − p) mit dem Exponenten 7. Prüfe, dass die beiden Exponenten zusammen n ergeben. Bei Aufgaben mit mindestens oder höchstens lohnt der Blick auf das Gegenereignis.
Bernoulli-Kette in Klausur und Alltag
In Klausuren kommt die Bernoulli-Kette als Aufgabe mit Textbezug vor: Ein Medikament wirkt bei 70 Prozent der Patienten, eine Maschine produziert 3 Prozent Ausschuss, ein Spieler trifft mit 60 Prozent. Zuerst begründest du, dass eine Bernoulli-Kette vorliegt, indem du die Voraussetzungen nennst. Dann legst du n, p und k fest und rechnest. Schreibe immer den Ansatz in der Form P(X = k) auf, denn dafür gibt es Punkte.
Zur Begründung gehören vier Punkte: zwei Ergebnisse pro Versuch, gleichbleibendes p, Unabhängigkeit und eine feste Zahl n. Bei Stichproben aus sehr großen Mengen darf man die Unabhängigkeit als näherungsweise gegeben annehmen. Das ist bei Umfragen und Produktionsserien üblich.
Im Alltag steckt die Bernoulli-Kette hinter Qualitätskontrollen, Umfragen, Wahlprognosen und Studien. Wer verstehen will, wie wahrscheinlich ein Ergebnis ist, das aus vielen unabhängigen Ja-Nein-Entscheidungen besteht, nutzt dieses Modell. Der nächste Schritt ist die Binomialverteilung mit Erwartungswert und Standardabweichung.
Jetzt bist du dran!
Welches Experiment ist keine Bernoulli-Kette?
Noch nicht. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich die Wahrscheinlichkeit bei jedem Zug, und die Versuche sind abhängig. Deshalb ist es keine Bernoulli-Kette.
Das Wichtigste in Kürze
- Eine Bernoulli-Kette hat zwei Ergebnisse je Versuch, gleichbleibendes p, unabhängige Versuche und eine feste Länge n.
- Die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer lautet P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
- (n über k) zählt die Wege, pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ ist die Wahrscheinlichkeit eines Weges.
- Bei mindestens einem Treffer hilft das Gegenereignis: 1 − (1 − p)ⁿ.
- Typischer Fehler: den Binomialkoeffizienten vergessen oder Ziehen ohne Zurücklegen als Bernoulli-Kette behandeln.
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Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Bernoulli-Kette: Formel, Voraussetzungen und Beispiele
- Was ist eine Bernoulli-Kette?
- Eine Bernoulli-Kette ist eine Folge von n unabhängigen Zufallsversuchen mit jeweils nur zwei Ergebnissen, Treffer und Niete. Die Trefferwahrscheinlichkeit p ist bei jedem Versuch gleich. Beispiele sind der mehrfache Münzwurf oder das Würfeln mit der 6 als Treffer.
- Welche Voraussetzungen muss eine Bernoulli-Kette erfüllen?
- Es gibt genau zwei Ergebnisse je Versuch, die Trefferwahrscheinlichkeit p bleibt gleich, die Versuche sind unabhängig voneinander, und die Zahl n steht vorher fest. Fehlt eine dieser Bedingungen, darfst du die Formel von Bernoulli nicht verwenden.
- Wie lautet die Formel von Bernoulli?
- P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ gibt die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer in n Versuchen an. Der Binomialkoeffizient zählt die Wege, der Rest ist die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Weges nach der Pfadregel.
- Wie berechne ich mindestens einen Treffer?
- Du nutzt das Gegenereignis: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ. Das ist einfacher, als alle Werte von k = 1 bis n zu addieren. Bei vier Würfen mit der 6 als Treffer gilt 1 − (5 : 6)⁴ ≈ 0,518.
- Was ist der Unterschied zwischen Bernoulli-Kette und Binomialverteilung?
- Die Bernoulli-Kette ist das Experiment, die Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Trefferzahl in dieser Kette. Die Formel von Bernoulli liefert die einzelnen Werte der Binomialverteilung mit den Parametern n und p.
- Wann ist Ziehen ohne Zurücklegen keine Bernoulli-Kette?
- Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert jede Ziehung die Zusammensetzung der Urne und damit die Wahrscheinlichkeit des nächsten Zuges. Die Versuche sind also abhängig. Nur bei sehr großen Grundgesamtheiten ist die Änderung so klein, dass man näherungsweise eine Bernoulli-Kette annimmt.
- Was bedeutet n über k?
- n über k ist der Binomialkoeffizient. Er gibt an, auf wie viele Arten du k Treffer auf n Versuche verteilen kannst. Du berechnest ihn mit n! : (k! · (n − k)!) oder mit der Taste nCr des Taschenrechners. Für n = 5 und k = 2 ist er 10.
- In welcher Klasse lernt man die Bernoulli-Kette?
- Die Bernoulli-Kette steht in der Oberstufe, meist in Klasse 11, vor der Binomialverteilung. Je nach Bundesland gehört sie zum Pflichtbereich Stochastik. Vorkenntnisse sind Baumdiagramme, Pfadregeln und Kombinatorik aus Klasse 9 und 10.
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