Bewegungsaufgaben mit Gleichungen lösen: Begegnung und Einholen
Bewegungsaufgaben mit Gleichungen löst du, indem du für jedes Fahrzeug die Strecke als Geschwindigkeit mal Zeit schreibst und diese Strecken in Beziehung setzt. Du lernst die Fälle Begegnung und Einholen, rechnest zwei Beispiele vor und übst mit fünf Aufgaben typische Klausurfragen.
- Fach: Mathematik
- Klasse 9
- Thema: Sachrechnen
- Dauer: 18 Min
- Niveau: Mittel
Bewegungsaufgaben mit Gleichungen: Strecke, Geschwindigkeit, Zeit
Bewegungsaufgaben fragen, wann und wo sich zwei Fahrzeuge treffen, wann eines das andere einholt oder wie weit sie nach einer Zeit voneinander entfernt sind. Du löst sie, indem du für jedes Fahrzeug die zurückgelegte Strecke mit der Formel Strecke gleich Geschwindigkeit mal Zeit aufschreibst und danach beide Strecken in Beziehung setzt.
Der erste Schritt ist immer eine Skizze. Zeichne eine Linie, markiere die beiden Startpunkte und die Fahrtrichtungen. Fahren die beiden aufeinander zu, legen sie zusammen genau den Abstand zurück. Fährt einer dem anderen hinterher, haben beide am Treffpunkt dieselbe Strecke vom Start des ersten aus zurückgelegt. Aus der Skizze liest du ab, ob du die Strecken addierst oder gleichsetzt.
Die zweite Entscheidung betrifft die Zeit. Starten beide gleichzeitig, gilt dieselbe Zeit t für beide. Startet einer später, ist seine Fahrzeit kürzer. Du wählst t für das Fahrzeug, das zuletzt losfährt, und schreibst für das frühere Fahrzeug t plus die Vorlaufzeit.
Zum Schluss prüfst du die Einheiten. Geschwindigkeit in Kilometern pro Stunde passt zu Zeiten in Stunden. Minuten rechnest du vorher in Stunden um: 15 Minuten sind 0,25 Stunden, 30 Minuten 0,5 Stunden, 45 Minuten 0,75 Stunden.
| Minuten | Stunden als Bruch | Stunden als Dezimalzahl |
|---|---|---|
| 15 | 1/4 | 0,25 |
| 20 | 1/3 | 0,333… |
| 30 | 1/2 | 0,5 |
| 45 | 3/4 | 0,75 |
Bewegungsaufgaben mit Gleichungen: Die Formel s = v · t
Die Grundformel verbindet drei Größen. Kennst du zwei, berechnest du die dritte. Die Strecke s ist Geschwindigkeit v mal Zeit t. Daraus folgen die Umstellungen t = s : v und v = s : t. Das hast du in der Mittelstufe oft gebraucht, hier kommt es in einer Gleichung mit einer Unbekannten wieder vor.
Bei Begegnung addierst du die beiden Strecken. Mit den Geschwindigkeiten v₁ und v₂ und dem Abstand d gilt v₁ · t + v₂ · t = d. Du darfst t ausklammern: (v₁ + v₂) · t = d. Die beiden nähern sich also mit der Summe ihrer Geschwindigkeiten, das ist ihre Annäherungsgeschwindigkeit.
Beim Einholen setzt du die Strecken gleich, achtest aber auf den Vorsprung. Das schnellere Fahrzeug muss den Vorsprung aufholen und fährt zusätzlich dieselbe Strecke wie das langsamere. Es nähert sich mit der Differenz der Geschwindigkeiten, also v₂ − v₁.
- s
- Strecke in km
- v
- Geschwindigkeit in km/h
- t
- Zeit in h
Beispiel 1: Begegnung von Rad und Auto
Zwei Orte A und B sind 160 km voneinander entfernt. Um 9:00 Uhr fährt ein Radfahrer mit 20 km/h von A nach B, gleichzeitig ein Auto mit 60 km/h von B nach A. Wann und wo treffen sie sich?
Gegeben:
- Abstand d160 km
- Radfahrer v₁20 km/h
- Auto v₂ = 60 km/h, beide starten gleichzeitig
Gesucht:
Zeit t und TreffpunktLösung:
- Strecken: Radfahrer 20t, Auto 60t. Sie fahren aufeinander zu, also addierst du die Strecken zum Abstand: 20t + 60t = 160.
- Fasse zusammen: 80t160.
- Teile durch 80: t = 2. Sie treffen sich nach 2 Stunden, also um 11:00 Uhr.
- Ort: Der Radfahrer hat 20 · 2 = 40 km zurückgelegt, das Auto 60 · 2 = 120 km. Probe: 40 + 120 = 160 km.
Die beiden begegnen sich um 11:00 Uhr in 40 km Entfernung von A und 120 km Entfernung von B.
Beispiel 2: Einholen mit späterem Start
Ein Radfahrer startet um 10:00 Uhr mit 15 km/h. Ein Motorradfahrer folgt um 10:30 Uhr mit 45 km/h auf derselben Strecke. Wann holt er den Radfahrer ein?
Gegeben:
- Radfahrer 15 kmh, Start 10:00 Uhr
- Motorrad 45 kmh, Start 10:30 Uhr
Gesucht:
Zeitpunkt des EinholensLösung:
- Vorsprung: In 30 Minuten legt der Radfahrer 15 · 0,5 = 7,5 km zurück.
- Sei t die Fahrzeit des Motorrads in Stunden. Es gilt: Strecke Motorrad gleich Vorsprung plus Strecke Rad. 45t = 7,5 + 15t.
- Sortiere: 45t − 15t = 7,5, also 30t = 7,5 und t = 0,25 Stunden, das sind 15 Minuten.
- Das Motorrad holt den Radfahrer um 10:45 Uhr ein. Probe: Motorrad 45 · 0,25 = 11,25 km, Rad 15 · 0,75 = 11,25 km.
Das Einholen geschieht um 10:45 Uhr, 11,25 km vom Start entfernt. Das Motorrad nähert sich mit 30 km/h und braucht für 7,5 km Vorsprung 15 Minuten.
| Fahrzeug | Fahrzeit | Geschwindigkeit | Strecke |
|---|---|---|---|
| Rad | 0,75 h | 15 km/h | 11,25 km |
| Motorrad | 0,25 h | 45 km/h | 11,25 km |
Typische Fehler bei Bewegungsaufgaben
Ein klassischer Fehler ist, bei verschiedenen Startzeiten für beide Fahrzeuge dieselbe Zeit t zu verwenden. Wer das tut, setzt für den Motorradfahrer 30 Minuten zu viel an und erhält ein falsches Ergebnis. Entscheide dich bewusst, welches Fahrzeug t bekommt, und drücke die Zeit des anderen mit t plus oder minus der Vorlaufzeit aus.
Der zweite Fehler ist, Minuten und Stunden zu mischen. Wer 45 km/h mit 15 Minuten multipliziert, bekommt 675 und denkt, das wären Kilometer. Rechne 15 Minuten immer in 0,25 Stunden um. Auch beim Ergebnis lohnt der Rückweg: 0,25 Stunden sind 15 Minuten, nicht 25 Minuten. Eine Dezimalzahl nach dem Komma ist kein Minutenwert.
Der dritte Fehler betrifft die Richtung. Bei der Begegnung addierst du die Strecken, beim Einholen setzt du sie gleich. Wer beides verwechselt, löst die falsche Gleichung. Eine Skizze macht den Unterschied sofort sichtbar: Zwei Pfeile aufeinander zu ergeben zusammen den Abstand, zwei Pfeile in dieselbe Richtung enden am selben Punkt.
Bewegungsaufgaben in Klassenarbeit und Alltag
In Klassenarbeiten kommen Bewegungsaufgaben meist als Geschichten mit zwei Fahrzeugen, zwei Radfahrern oder zwei Zügen. Die Lösung besteht aus Skizze, Gleichung, Rechnung und Antwortsatz. Schreibe die Gleichung immer in der Form „Strecke von A plus Strecke von B gleich Abstand“ auf, auch wenn du sie im Kopf lösen könntest. Teilpunkte gibt es für den Ansatz.
Im Alltag stecken Bewegungsaufgaben im Verkehr und im Sport. Wer überlegt, wann er mit dem Rad beim Treffpunkt ankommt, wann ein Zug den anderen überholt oder wann ein Marathonläufer die Führenden einholt, löst eine Begegnungs- oder Einholaufgabe. Auch die Navigations-App berechnet Ankunftszeiten mit der Formel s = v · t.
Später begegnen dir die gleichen Ideen in der Physik wieder, wo Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit untersucht werden, und in der Oberstufe bei linearen Funktionen. Der Treffpunkt zweier Bewegungen ist dann der Schnittpunkt zweier Geraden im Weg-Zeit-Diagramm.
Jetzt bist du dran!
Welche Rechnung passt zu zwei Fahrzeugen, die gleichzeitig starten und aufeinander zu fahren?
Noch nicht. Beim Aufeinanderzufahren legen beide zusammen den ganzen Abstand zurück. Deshalb gilt: Strecke 1 plus Strecke 2 gleich Abstand.
Das Wichtigste in Kürze
- Bewegungsaufgaben mit Gleichungen beruhen auf s = v · t für jedes Fahrzeug.
- Bei Begegnung addierst du die Strecken zum Abstand, die Annäherungsgeschwindigkeit ist v₁ + v₂.
- Beim Einholen setzt du die Strecken gleich und berücksichtigst den Vorsprung, die Annäherung ist v₂ − v₁.
- Minuten werden vor dem Rechnen in Stunden umgewandelt, 15 Minuten sind 0,25 Stunden.
- Typischer Fehler: bei späterem Start dieselbe Zeit für beide Fahrzeuge ansetzen.
Lektion abschließen
Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Bewegungsaufgaben mit Gleichungen lösen: Begegnung und Einholen
- Wie löse ich Bewegungsaufgaben mit Gleichungen?
- Du zeichnest eine Skizze, nennst die gesuchte Zeit t und schreibst für jedes Fahrzeug die Strecke als Geschwindigkeit mal Zeit auf. Danach verknüpfst du die Strecken: Bei Begegnung addierst du sie zum Abstand, beim Einholen setzt du sie gleich. Die Gleichung löst du nach t und prüfst das Ergebnis.
- Wie lautet die Formel für Strecke, Geschwindigkeit und Zeit?
- Die Grundformel ist s = v · t, also Strecke gleich Geschwindigkeit mal Zeit. Umgestellt gilt t = s : v und v = s : t. Wichtig ist, dass die Einheiten zusammenpassen: Kilometer pro Stunde und Stunden ergeben Kilometer, Meter pro Sekunde und Sekunden ergeben Meter.
- Wann addiere ich bei Bewegungsaufgaben die Strecken?
- Du addierst die Strecken, wenn zwei Fahrzeuge aufeinander zu oder voneinander weg fahren und gleichzeitig starten. Bei der Begegnung ergeben beide Strecken zusammen den Abstand. Beim Auseinanderfahren ergeben sie zusammen den Abstand, den die beiden nach der Zeit t voneinander haben.
- Wie berechne ich, wann ein Fahrzeug ein anderes einholt?
- Du berechnest zuerst den Vorsprung des früheren Fahrzeugs. Dann setzt du die Strecke des späteren Fahrzeugs gleich Vorsprung plus Strecke des früheren. Alternativ teilst du den Vorsprung durch den Unterschied der Geschwindigkeiten. Bei 7,5 km Vorsprung und 30 km/h Unterschied dauert es 0,25 Stunden.
- Wie rechne ich Minuten in Stunden um?
- Du teilst die Minuten durch 60. 15 Minuten sind 0,25 Stunden, 30 Minuten 0,5 Stunden, 45 Minuten 0,75 Stunden und 20 Minuten ein Drittel einer Stunde. Umgekehrt multiplizierst du den Dezimalanteil mit 60: 0,25 Stunden sind 15 Minuten.
- Was ist die Annäherungsgeschwindigkeit?
- Die Annäherungsgeschwindigkeit sagt, wie schnell sich der Abstand zwischen zwei Fahrzeugen verkleinert. Fahren sie aufeinander zu, addierst du die Geschwindigkeiten. Fährt das schnellere hinterher, subtrahierst du sie. Mit ihr rechnest du schnell: Zeit gleich Abstand geteilt durch Annäherungsgeschwindigkeit.
- Was mache ich, wenn die Fahrzeuge zu verschiedenen Zeiten starten?
- Du wählst die Fahrzeit des später gestarteten Fahrzeugs als t. Für das frühere Fahrzeug setzt du t plus die Vorlaufzeit in Stunden ein. Alternativ berechnest du zuerst den Vorsprung als Strecke und rechnest danach, als würden beide gleichzeitig starten, wobei der Abstand dem Vorsprung entspricht.
- In welcher Klasse lernt man Bewegungsaufgaben?
- Einfache Aufgaben mit Strecke, Geschwindigkeit und Zeit kommen schon in Klasse 6 und 7 vor. Bewegungsaufgaben mit Gleichungen und Begegnung oder Einholen stehen meist in Klasse 8 bis 9. In Klasse 10 und in der Oberstufe wiederholen sie sich mit linearen Funktionen und Gleichungssystemen.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.