Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende konstruieren mit Zirkel und Lineal
Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende konstruieren geht mit Zirkel und Lineal in nur fünf Schritten. In dieser Lektion lernst du beide Konstruktionen, verstehst, warum sie funktionieren, und rechnest zwei Beispiele vor. Dazu bekommst du fünf Übungsaufgaben und Tipps für die Klassenarbeit.
- Fach: Mathematik
- Klasse 7
- Thema: Geometrie
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende konstruieren: Worum geht es?
Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende konstruieren heißt, mit Zirkel und Lineal eine Strecke senkrecht zu halbieren und einen Winkel in zwei gleich große Teile zu teilen. Du brauchst dafür weder Geodreieck noch Taschenrechner, nur zwei Kreisbögen und ein Lineal. Die Konstruktionen sind genauer als Messen und gehören zum Pflichtprogramm in Klasse 7.
Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB ist die Gerade, die durch die Mitte der Strecke geht und senkrecht auf ihr steht. Die Winkelhalbierende ist die Halbgerade, die vom Scheitel eines Winkels ausgeht und ihn halbiert. Beide Linien tauchen immer wieder auf: beim Konstruieren von Dreiecken, bei Umkreis und Inkreis und in der Technik.
Warum funktioniert das Ganze? Jeder Kreisbogen um einen Punkt besteht aus lauter Punkten mit demselben Abstand zu diesem Punkt. Zeichnest du zwei Bögen mit gleichem Radius um A und um B, sind ihre Schnittpunkte von A und B gleich weit entfernt. Das ist genau die Eigenschaft der Mittelsenkrechten. Die Winkelhalbierende nutzt dieselbe Idee mit einem Winkel statt einer Strecke.
| Werkzeug | Wofür | Wichtig |
|---|---|---|
| Zirkel | Kreisbögen mit gleichem Radius | Radius nicht verstellen |
| Lineal | gerade Linien ziehen | spitzer Bleistift |
| Bleistift (hart) | dünne Hilfslinien | nicht radieren |
| Geodreieck | nur zur Kontrolle | nicht zum Konstruieren |
So geht es: Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende konstruieren
Mittelsenkrechte in fünf Schritten: Zeichne die Strecke AB. Öffne den Zirkel auf einen Radius, der größer ist als die halbe Strecke. Ziehe einen Kreisbogen um A und einen mit demselben Radius um B, jeweils oberhalb und unterhalb der Strecke. Die Bögen schneiden sich in zwei Punkten. Die Gerade durch beide Punkte ist die Mittelsenkrechte, sie trifft AB im Mittelpunkt M.
Winkelhalbierende in fünf Schritten: Ziehe einen Kreisbogen um den Scheitel S, der beide Schenkel schneidet, und nenne die Schnittpunkte P und Q. Zeichne um P und um Q Bögen mit gleichem Radius, die sich im Innern des Winkels in R treffen. Der Strahl von S durch R teilt den Winkel in zwei gleiche Hälften.
Die Rechnung dahinter ist der Satz des Pythagoras. Ist AB die Strecke mit Länge a und der Radius r, dann liegen die Schnittpunkte der Bögen im Abstand h von der Strecke, wobei h² = r² − (a : 2)² gilt. Damit h überhaupt existiert, muss r größer als a/2 sein.
- h
- Abstand der Schnittpunkte von der Strecke
- r
- Radius der Kreisbögen
- a
- Länge der Strecke AB
Beispiel 1: Mittelsenkrechte einer Strecke konstruieren
Die Strecke AB ist 8 cm lang. Du konstruierst die Mittelsenkrechte mit dem Zirkelradius 5 cm. Wie weit liegen die beiden Schnittpunkte der Bögen von der Strecke entfernt?
Gegeben:
- a8 cm
- r5 cm
Gesucht:
Abstand h der Schnittpunkte von ABLösung:
- Zeichne AB mit 8 cm. Die Mitte M liegt bei 4 cm, denn 8 : 2 = 4.
- Prüfe den Radius: 5 cm ist größer als 4 cm. Die Bögen schneiden sich also tatsächlich.
- Die Schnittpunkte bilden mit A und M ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse 5 cm und der Kathete 4 cm. Mit dem Satz des Pythagoras folgt h² = 5² − 4² = 25 − 16 = 9.
- Daraus folgt h = 3 cm. Je ein Schnittpunkt liegt 3 cm oberhalb und 3 cm unterhalb von M, also ist die Verbindung 6 cm lang.
Die Schnittpunkte liegen 3 cm über und unter der Strecke. Die Gerade durch sie ist die Mittelsenkrechte, sie halbiert AB bei 4 cm und steht rechtwinklig darauf. Kontrolle: Jeder Schnittpunkt ist 5 cm von A und 5 cm von B entfernt.
Beispiel 2: Winkelhalbierende eines Winkels konstruieren
Der Winkel 60° soll halbiert werden. Der Bogen um den Scheitel hat den Radius 4 cm, die Bögen um P und Q haben den Radius 3 cm. Wie groß sind die Teilwinkel, und wie lang ist die Strecke PQ?
Gegeben:
- Winkel 60°
- Radius um S: 4 cm
- Radius um P und Q: 3 cm
Gesucht:
Teilwinkel und Länge von PQLösung:
- Die Winkelhalbierende teilt den Winkel in zwei gleiche Teile: 60° : 2 = 30°.
- Das Dreieck SPQ ist gleichschenklig mit zwei Seiten von 4 cm und dem Winkel 60° an der Spitze. Damit sind beide Basiswinkel 60°, das Dreieck ist gleichseitig und PQ = 4 cm.
- Die Bögen um P und Q mit 3 cm schneiden sich, weil 3 cm größer ist als die halbe Strecke PQ von 2 cm. Der Schnittpunkt R liegt h = √(3² − 2²) = √5 ≈ 2,24 cm von PQ entfernt.
- Der Strahl durch S und R halbiert den Winkel und steht senkrecht auf PQ.
Jeder Teilwinkel hat 30°, und PQ ist 4 cm lang. Du kannst das mit dem Geodreieck messen: Beide Teilwinkel zeigen 30°.
| Größe | Wert |
|---|---|
| Winkel | 60° |
| Teilwinkel | 30° |
| Länge von PQ | 4 cm |
| Abstand von R zu PQ | ≈ 2,24 cm |
Typische Fehler bei Zirkelkonstruktionen
Der häufigste Fehler ist ein zu kleiner Zirkelradius. Bei der Mittelsenkrechten muss der Radius größer sein als die halbe Strecke, sonst schneiden sich die Bögen nicht. Bei der Winkelhalbierenden muss er größer sein als der halbe Abstand von P und Q.
Der zweite Fehler ist, den Zirkel zwischen den beiden Bögen zu verstellen. Dann stimmen die Abstände nicht mehr, und die Gerade läuft schief. Halte den Zirkel beim Wechsel von A nach B ruhig und prüfe die Spitze, denn manche Zirkel rutschen leicht.
Der dritte Fehler passiert bei der Winkelhalbierenden: Der Bogen um den Scheitel wird zu groß oder zu klein gezeichnet, sodass P und Q nicht auf den Schenkeln liegen. Außerdem radieren viele Kinder die Hilfsbögen weg. In der Klassenarbeit müssen die Konstruktionsbögen aber sichtbar bleiben, denn sie zeigen den Lösungsweg.
Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende konstruieren in Klassenarbeit und Alltag
In Klassenarbeiten kommen die Konstruktionen fast immer als Teil einer größeren Aufgabe vor. Du konstruierst zum Beispiel ein Dreieck aus drei Seiten und bestimmst dann den Umkreismittelpunkt. Dieser liegt im Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten, und der Inkreismittelpunkt liegt im Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden. Schreibe immer eine kurze Konstruktionsbeschreibung auf: Bogen um A mit r gleich 5 cm, Bogen um B mit r gleich 5 cm, und so weiter.
Im Alltag helfen die Linien bei vielen Aufgaben. Wer einen Brunnen so platzieren möchte, dass er von zwei Häusern gleich weit entfernt ist, zeichnet die Mittelsenkrechte. Wer ein Dachfenster in die Mitte einer Ecke setzt, nutzt die Winkelhalbierende. Auch Navigationsprogramme und Computergrafik arbeiten mit diesen Linien, nur berechnen sie diese statt sie zu zeichnen.
Zum Üben lohnt sich ein einfacher Plan: Konstruiere erst die Mittelsenkrechte einer 6 cm langen Strecke, dann die Winkelhalbierende eines 80° großen Winkels. Miss danach nach und prüfe, ob du 3 cm und 40° erhältst.
Jetzt bist du dran!
Wie groß muss der Zirkelradius bei der Mittelsenkrechten der Strecke AB mindestens sein?
Noch nicht. Die beiden Bögen schneiden sich nur, wenn der Radius größer ist als die halbe Strecke. Bei kleineren Radien bleiben sie getrennt und es gibt keine Schnittpunkte.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Mittelsenkrechte einer Strecke steht senkrecht auf ihr und geht durch die Mitte. Ihre Punkte haben gleichen Abstand zu A und B.
- Die Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleiche Hälften. Ihre Punkte haben gleichen Abstand zu beiden Schenkeln.
- Bei beiden Konstruktionen brauchst du nur Zirkel und Lineal, und du ziehst zwei Bögen mit gleichem Radius.
- Der Radius muss groß genug sein, damit sich die Bögen schneiden. Bei der Mittelsenkrechten muss er größer sein als die halbe Strecke.
- Typischer Fehler: den Zirkel verstellen oder die Hilfsbögen wegradieren.
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Häufige Fragen zu Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende konstruieren mit Zirkel und Lineal
- Wie konstruiere ich eine Mittelsenkrechte?
- Zeichne die Strecke AB und öffne den Zirkel auf mehr als die halbe Länge. Ziehe einen Bogen um A und einen mit demselben Radius um B, jeweils auf beiden Seiten der Strecke. Verbinde die beiden Schnittpunkte mit dem Lineal. Diese Gerade ist die Mittelsenkrechte.
- Wie konstruiere ich eine Winkelhalbierende?
- Ziehe einen Bogen um den Scheitel, der beide Schenkel in P und Q schneidet. Zeichne dann um P und um Q Bögen mit gleichem Radius, die sich im Winkel in R treffen. Der Strahl vom Scheitel durch R ist die Winkelhalbierende und teilt den Winkel in zwei gleiche Teile.
- Was ist der Unterschied zwischen Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende?
- Die Mittelsenkrechte gehört zu einer Strecke: Sie halbiert sie und steht senkrecht darauf. Die Winkelhalbierende gehört zu einem Winkel und teilt ihn in zwei gleiche Teile. Beide entstehen mit Kreisbögen gleicher Radien, haben aber unterschiedliche Eigenschaften.
- Warum funktioniert die Konstruktion der Mittelsenkrechten?
- Die beiden Schnittpunkte der Bögen haben zu A und B denselben Abstand, nämlich den Zirkelradius. Alle Punkte, die von zwei Punkten gleich weit entfernt sind, liegen auf einer Geraden: der Mittelsenkrechten. Deshalb halbiert die Linie die Strecke und steht rechtwinklig darauf.
- Wie groß muss der Zirkelradius sein?
- Bei der Mittelsenkrechten muss der Radius größer sein als die halbe Strecke AB, sonst schneiden sich die Bögen nicht. Bei der Winkelhalbierenden muss er größer sein als der halbe Abstand der Punkte P und Q. Am besten nimmst du einen großzügigen Radius.
- Wozu braucht man die Mittelsenkrechte im Dreieck?
- Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt des Umkreises. Dieser Kreis läuft durch alle drei Ecken. Du brauchst ihn, um ein Dreieck in einen Kreis einzupassen oder einen Punkt zu finden, der von drei Orten gleich weit entfernt ist.
- Was ist der Inkreis und wo liegt sein Mittelpunkt?
- Der Inkreis berührt alle drei Seiten eines Dreiecks von innen. Sein Mittelpunkt liegt im Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden, denn er hat zu allen Seiten denselben Abstand. Den Radius misst du als Abstand von diesem Punkt zu einer Seite.
- In welcher Klasse lernt man Konstruktionen mit Zirkel und Lineal?
- Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende konstruierst du meistens in Klasse 7, manchmal schon in Klasse 6. Sie sind die Grundlage für Dreieckskonstruktionen, Umkreis und Inkreis sowie für spätere Beweise in der Geometrie.
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