Kongruenz und Ähnlichkeit: deckungsgleiche und formgleiche Figuren

Zwei Figuren heißen kongruent, wenn sie in Form und Größe vollständig übereinstimmen, sich also durch Verschieben, Drehen oder Spiegeln genau zur Deckung bringen lassen. Zwei ausgeschnittene, gleich große Dreiecke aus Papier, die exakt aufeinanderpassen, sind kongruent. Alle Seiten und alle Winkel stimmen dabei paarweise überein.

Zwei Figuren heißen dagegen ähnlich, wenn sie zwar dieselbe Form, aber unterschiedliche Größe haben. Ein Foto und dessen vergrößerter Ausdruck sind ähnlich: Alle Winkel bleiben gleich, aber alle Längen werden um denselben Faktor gestreckt oder gestaucht. Diesen Faktor nennt man Streckfaktor oder Ähnlichkeitsfaktor, meist mit dem Buchstaben k bezeichnet.

Kongruenz ist damit ein Spezialfall von Ähnlichkeit: Ist der Streckfaktor genau 1, sind zwei ähnliche Figuren zugleich kongruent. In der Praxis begegnen dir beide Begriffe beim Kartenlesen, bei Bauplänen im Maßstab oder beim Vergrößern von Bildern am Bildschirm.

Um zu zeigen, dass zwei Dreiecke kongruent sind, muss man nicht alle sechs Stücke – drei Seiten und drei Winkel – vergleichen. Es reichen bestimmte Kombinationen von drei Angaben, die sogenannten Kongruenzsätze. Der Satz SSS besagt: Stimmen alle drei Seiten zweier Dreiecke überein, sind die Dreiecke kongruent.

Der Satz SWS gilt, wenn zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel übereinstimmen. Der Satz WSW gilt, wenn zwei Winkel und die dazwischenliegende Seite übereinstimmen. Der Satz SsW schließlich gilt, wenn zwei Seiten und der Winkel übereinstimmen, der der größeren der beiden Seiten gegenüberliegt – hier ist die Reihenfolge wichtig, sonst ist die Aussage nicht eindeutig.

Der häufigste Fehler ist, den Streckfaktor auf die Fläche genauso anzuwenden wie auf die Länge. Verdoppelt sich eine Seite, verdoppelt sich die Fläche nicht auch nur, sondern vervierfacht sich, weil die Fläche von zwei Längen abhängt. Merke dir deshalb: Längen skalieren mit k, Flächen mit k².

Ein zweiter Fehler ist, beim Satz SsW die Reihenfolge der Buchstaben zu missachten. Der Winkel muss der größeren der beiden angegebenen Seiten gegenüberliegen, sonst ist die Aussage über die Kongruenz nicht eindeutig und es könnten sogar zwei unterschiedliche Dreiecke zu den gleichen Angaben passen.

Ein dritter Fehler ist, Kongruenz und Ähnlichkeit zu verwechseln und zu behaupten, ähnliche Figuren seien automatisch auch kongruent. Das stimmt nur, wenn der Streckfaktor genau 1 ist. Bei jedem anderen Streckfaktor sind die Figuren zwar formgleich, aber unterschiedlich groß und damit nicht kongruent.

Wenn du Kongruenz nachweisen sollst, sortiere zuerst die gegebenen Angaben nach Seiten und Winkeln und prüfe dann, welcher der vier Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW oder SsW zu genau diesen Angaben passt. Achte besonders darauf, ob ein angegebener Winkel wirklich zwischen den beiden Seiten liegt oder nicht.

Bei Ähnlichkeitsaufgaben lohnt es sich, zuerst den Streckfaktor zu bestimmen, indem du zwei einander entsprechende Seiten durcheinander teilst. Mit diesem einen Faktor lassen sich dann alle weiteren Seiten berechnen, ohne dass du jede Seite einzeln herleiten musst.

Behalte im Kopf, dass sich bei ähnlichen Figuren Längen mit k, Flächen mit k² und Volumina mit k³ verändern. Diese Regel wird in vielen Textaufgaben zu Modellen und Maßstäben abgefragt, etwa bei Architekturmodellen oder Landkarten.