Elektrischer Schwingkreis: Aufbau und Frequenz
Ein elektrischer Schwingkreis besteht aus Kondensator und Spule, zwischen denen die Energie hin und her pendelt, und seine Frequenz folgt aus der Thomsonschen Formel. In dieser Lektion lernst du den Ablauf einer Schwingung kennen, berechnest Periodendauer und Frequenz und verstehst, wie ein Radio einen Sender einstellt.
- Fach: Physik
- Klasse 12
- Thema: Elektrizität
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Schwer
Elektrischer Schwingkreis: Spule und Kondensator im Zusammenspiel
Ein elektrischer Schwingkreis besteht aus einem Kondensator und einer Spule, die zu einem geschlossenen Kreis verbunden sind. Lädt man den Kondensator auf und schließt den Kreis, entsteht eine elektrische Schwingung: Die Energie pendelt immer wieder zwischen dem elektrischen Feld des Kondensators und dem Magnetfeld der Spule hin und her. Der Strom ändert dabei periodisch Richtung und Betrag.
Dieses Verhalten kennst du von einem mechanischen Pendel. Beim Fadenpendel wandelt sich Lageenergie in Bewegungsenergie und zurück. Im Schwingkreis wandelt sich die Energie des elektrischen Feldes in die Energie des magnetischen Feldes und zurück. Der Kondensator übernimmt die Rolle der Feder, die Spule die der trägen Masse, weil sie nach der Selbstinduktion jede Stromänderung bremst.
Ohne Antrieb klingt die Schwingung langsam ab, denn der Draht und die Spule haben einen Widerstand, der Energie in Wärme umwandelt. Mit einer passenden Rückkopplung, die Energie nachliefert, lässt sich die Schwingung aufrechterhalten. So arbeiten Radiosender, Handys und alle drahtlosen Geräte. Der Schwingkreis ist deshalb ein Herzstück der Nachrichtentechnik.
Elektrischer Schwingkreis: Periodendauer und Frequenz berechnen
Wie schnell der Schwingkreis schwingt, hängt nur von der Induktivität L der Spule und der Kapazität C des Kondensators ab. Die Thomsonsche Schwingungsformel lautet T gleich 2π mal Wurzel aus L mal C. Quadriert ergibt sich T² gleich 4π² mal L mal C. Die Frequenz ist der Kehrwert: f gleich 1 geteilt durch T, also f gleich 1 durch 2π mal Wurzel aus L mal C.
Aus der Formel lassen sich Faustregeln ablesen. Eine größere Induktivität macht die Spule träger, die Schwingung wird langsamer. Eine größere Kapazität bedeutet, dass der Kondensator mehr Ladung speichert und länger zum Umladen braucht, auch das verlangsamt die Schwingung. Vervierfachst du L oder C, wird T doppelt so groß und die Frequenz halbiert sich, denn die Wurzel aus 4 ist 2.
Achte auf die Einheiten: L in Henry, C in Farad, T in Sekunden und f in Hertz. Typische Bauteile haben Millihenry und Mikrofarad, oft auch Nanofarad oder Pikofarad. Rechne sie vor dem Einsetzen in Basiseinheiten um: 10 Mikrofarad sind 10 mal 10 hoch minus 6 Farad. Die Amplitude hat keinen Einfluss auf die Frequenz, ein Schwingkreis schwingt mit seiner Eigenfrequenz, egal wie stark er angestoßen wurde.
- T
- Periodendauer in Sekunden (s)
- L
- Induktivität der Spule in Henry (H)
- C
- Kapazität des Kondensators in Farad (F)
| Federpendel | Schwingkreis |
|---|---|
| Auslenkung | Ladung am Kondensator |
| Geschwindigkeit | Stromstärke |
| Masse | Induktivität der Spule |
| Kehrwert der Federhärte | Kapazität des Kondensators |
| Reibung | ohmscher Widerstand |
Elektrischer Schwingkreis: Der Ablauf einer Schwingung
Zu Beginn ist der Kondensator voll geladen, und der Strom ist null. Die gesamte Energie steckt im elektrischen Feld zwischen den Platten. Sobald der Kreis geschlossen wird, fließt Strom durch die Spule. Wegen der Selbstinduktion baut er sich allmählich auf, und das Magnetfeld der Spule wächst. Der Kondensator entlädt sich.
Ist der Kondensator leer, ist die Spannung null und der Strom am größten. Jetzt steckt die ganze Energie im Magnetfeld der Spule. Der Strom will wegen der Selbstinduktion weiterfließen und lädt den Kondensator mit umgekehrter Polung wieder auf. Ist die Spule feldfrei, sitzt die Energie wieder im Kondensator, nur mit anderem Vorzeichen.
Danach läuft derselbe Vorgang rückwärts, und nach einer vollen Periode ist der Anfangszustand erreicht. Ladung und Strom schwingen dabei um eine Viertelperiode versetzt, wenn die Ladung maximal ist, ist der Strom null, und umgekehrt. Genau wie beim Pendel: Am Umkehrpunkt ruht es, in der Mitte ist es am schnellsten.
Beispiel 1: Periodendauer und Frequenz eines Schwingkreises
Ein Schwingkreis besteht aus einer Spule mit L = 0,1 H und einem Kondensator mit C = 10 µF. Berechne Periodendauer und Frequenz.
Gegeben:
- L0,1 H
- C10 µF1,0 · 10⁻⁵ F
Gesucht:
T und fLösung:
- T2π · √(L · C)2π · √(0,1 H · 1,0 · 10⁻⁵ F)
- √(1,0 · 10⁻⁶)1,0 · 10⁻³, also T2π · 10⁻³ s ≈ 6,28 ms
- f1T10,00628 s ≈ 159 Hz
Die Periodendauer beträgt etwa 6,3 Millisekunden und die Frequenz etwa 159 Hertz. Der Schwingkreis schwingt also gut 159-mal pro Sekunde. Diese Frequenz liegt im hörbaren Bereich, ein daran angeschlossener Lautsprecher würde einen tiefen Ton erzeugen. Für Radiowellen sind viel kleinere L und C nötig.
Beispiel 2: Radiosender einstellen
Ein Radio soll den Mittelwellensender mit 1 MHz empfangen. Der Drehkondensator ist auf 200 pF eingestellt. Welche Induktivität braucht die Spule?
Gegeben:
- f1 MHz1,0 · 10⁶ Hz
- C200 pF2,0 · 10⁻¹⁰ F
Gesucht:
LLösung:
- Umstellen von f1(2π · √(L · C)): L1(2π · f)² · C
- (2π · 10⁶)² ≈ 3,95 · 10¹³ und mal 2,0 · 10⁻¹⁰ ergibt ≈ 7 896
- L17 896 H ≈ 1,27 · 10⁻⁴ H ≈ 127 µH
Die Spule braucht etwa 127 Mikrohenry. Das ist eine kleine Induktivität, wie sie wenige Windungen auf einem Ferritstab haben. Mit dem Drehkondensator ändert sich C, und damit die Eigenfrequenz: Du stellst so den Sender ein. Trifft die Frequenz des Senders die Eigenfrequenz des Kreises, schwingt der Kreis besonders stark, man nennt das Resonanz.
Typische Fehler beim elektrischen Schwingkreis
Der erste Fehler ist, die Wurzel zu vergessen. Wer T gleich 2π mal L mal C rechnet, erhält völlig falsche Werte. Der zweite Fehler betrifft die Einheiten: Wer 10 Mikrofarad als 10 Farad einsetzt, bekommt eine Frequenz, die es in keinem Gerät gibt. Nutze deshalb Zehnerpotenzen und rechne mit Basiseinheiten Henry, Farad und Sekunde.
Der dritte Fehler ist die Annahme, die Frequenz hänge von der Anfangsladung ab. Sie tut es nicht: Ein stärker geladener Kondensator führt nur zu einer größeren Amplitude, nicht zu einer anderen Frequenz. Das ist genauso wie beim Pendel, dessen Schwingungsdauer nicht von der Auslenkung abhängt, solange sie klein bleibt.
Der vierte Fehler ist die Vorstellung, die Schwingung höre nie auf. Im realen Kreis wandelt der Widerstand der Spule und der Leitungen Energie in Wärme um, die Amplitude nimmt ab. Man spricht von einer gedämpften Schwingung. Nur wenn man Energie nachliefert, bleibt die Amplitude konstant.
Elektrischer Schwingkreis im Alltag und Tipps für die Klassenarbeit
Schwingkreise stecken in jedem Funkgerät. Das Radio wählt einen Sender aus, indem sein Schwingkreis auf die Frequenz des Senders abgestimmt wird: Passt die Eigenfrequenz, wird nur dieser Sender stark verstärkt, alle anderen werden unterdrückt. Auch bei Funkuhren, Bluetooth-Kopfhörern, Metalldetektoren und kontaktlosem Bezahlen arbeiten Schwingkreise. Beim Metalldetektor ändert ein Metallstück in der Nähe die Induktivität und damit die Frequenz.
Hertz zeigte 1886 mit einem Schwingkreis, dass es elektromagnetische Wellen gibt. Dazu verwandelte er einen Schwingkreis in einen offenen Dipol, einen geraden Draht. Dessen Schwingung strahlte als Welle in den Raum. Bei jedem Sender passiert das: Der Schwingkreis erzeugt die Frequenz, die Antenne strahlt sie ab.
Für die Klassenarbeit merkst du dir: die Formel T gleich 2π mal Wurzel aus L mal C aufschreiben, die Einheiten umrechnen, einsetzen und f als Kehrwert bestimmen. Beschreibe in Worten, wie die Energie zwischen Kondensator und Spule pendelt, und nutze den Vergleich mit dem Federpendel. Beim Umstellen nach L oder C quadrierst du zuerst beide Seiten.
Jetzt bist du dran
Was passiert mit der Energie in einem idealen Schwingkreis ohne Widerstand?
Noch nicht. Ohne Verluste bleibt die Gesamtenergie gleich. Sie wandelt sich periodisch von elektrischer Feldenergie im Kondensator in magnetische Feldenergie der Spule und zurück.
Das Wichtigste in Kürze
- Ein Schwingkreis aus Kondensator und Spule lässt Energie zwischen elektrischem und magnetischem Feld pendeln.
- Periodendauer: T gleich 2π mal Wurzel aus L mal C. Die Frequenz ist f gleich 1 durch T.
- Größere Induktivität oder Kapazität verlängern die Periodendauer. Vierfaches L oder C halbiert die Frequenz.
- Die Eigenfrequenz hängt nicht von der Anfangsladung ab, diese bestimmt nur die Amplitude.
- Im realen Kreis dämpft der Widerstand die Schwingung. Radios stellen Sender über die Kapazität ein.
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Häufige Fragen zu Elektrischer Schwingkreis: Aufbau und Frequenz
- Was ist ein elektrischer Schwingkreis?
- Ein elektrischer Schwingkreis besteht aus einem Kondensator und einer Spule, die zu einem geschlossenen Kreis verbunden sind. Die Energie pendelt darin periodisch zwischen dem elektrischen Feld des Kondensators und dem Magnetfeld der Spule. Dabei ändern Strom und Spannung ständig ihre Richtung.
- Wie berechnet man die Frequenz eines Schwingkreises?
- Die Frequenz ist der Kehrwert der Periodendauer. Mit der Thomsonschen Formel gilt f gleich 1 geteilt durch 2π mal Wurzel aus L mal C. L steht für die Induktivität in Henry, C für die Kapazität in Farad, das Ergebnis erhältst du in Hertz.
- Wie lautet die Thomsonsche Schwingungsformel?
- Sie lautet T gleich 2π mal Wurzel aus L mal C. Sie gibt die Periodendauer eines ungedämpften Schwingkreises an. Sie ist nach William Thomson benannt, dem späteren Lord Kelvin, der sie 1853 aufstellte.
- Warum klingt die Schwingung im Schwingkreis ab?
- Jeder echte Schwingkreis hat einen Widerstand, vor allem im Draht der Spule. Er wandelt bei jeder Schwingung einen Teil der Energie in Wärme um. Die Amplitude nimmt deshalb ab, es entsteht eine gedämpfte Schwingung, die ohne Energiezufuhr ausklingt.
- Was ist der Unterschied zwischen Schwingkreis und Federpendel?
- Beide schwingen nach dem gleichen mathematischen Muster. Beim Federpendel pendelt die Energie zwischen Spannenergie der Feder und Bewegungsenergie der Masse, beim Schwingkreis zwischen dem elektrischen Feld des Kondensators und dem Magnetfeld der Spule. Ladung entspricht der Auslenkung, der Strom der Geschwindigkeit.
- Wie funktioniert ein Radio mit Schwingkreis?
- Das Radio enthält einen Schwingkreis mit einem veränderbaren Kondensator. Drehst du am Senderknopf, änderst du die Kapazität und damit die Eigenfrequenz. Passt sie zur Senderfrequenz, schwingt der Kreis besonders stark mit, man nennt das Resonanz, und der Sender wird empfangen.
- Wovon hängt die Eigenfrequenz eines Schwingkreises ab?
- Sie hängt nur von der Induktivität der Spule und der Kapazität des Kondensators ab. Mit größerem L oder C sinkt die Frequenz. Die Anfangsladung oder die Spannung spielen keine Rolle, sie bestimmen nur die Amplitude der Schwingung.
- Wie hängen Schwingkreis und elektromagnetische Wellen zusammen?
- Ein Schwingkreis erzeugt hochfrequente Wechselströme. Wird er zu einem offenen Dipol, einer Antenne, geöffnet, strahlt er diese Schwingung als elektromagnetische Welle ab. Heinrich Hertz wies das 1886 nach. Alle Sender nutzen dieses Prinzip, vom Radio bis zum Handy.
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