Rechnen mit Klammern
Klammern ausrechnen bedeutet, in einer Rechnung mit mehreren Rechenzeichen die richtige Reihenfolge einzuhalten: Was in der Klammer steht, wird immer zuerst berechnet. In dieser Lektion lernst du die Regel „Klammer vor Punkt vor Strich“ und wie du Klammern auch durch Ausmultiplizieren auflösen kannst.
- Fach: Mathematik
- Klasse 5
- Thema: Terme
- Dauer: 15 Min
- Niveau: Einfach
Klammern ausrechnen: Warum die Reihenfolge zählt
Klammern ausrechnen heißt, eine Rechenaufgabe in der richtigen Reihenfolge zu lösen, wenn Klammern darin vorkommen. Ohne feste Regel könnte man eine Aufgabe wie 3 mal (4 plus 5) auf zwei verschiedene Arten lesen und würde zwei verschiedene Ergebnisse bekommen. Damit jeder auf der Welt beim Rechnen auf dasselbe Ergebnis kommt, gibt es die Regel: Die Klammer wird immer zuerst ausgerechnet.
Diese Regel begegnet dir nicht nur in der Schule. Wenn du im Kopf ausrechnest, was drei Familien mit je vier Erwachsenen und fünf Kindern insgesamt an Eintritt zahlen, denkst du automatisch in Klammern: erst die Personenzahl pro Familie addieren, dann mit der Anzahl der Familien malnehmen. Genau das steckt hinter 3 mal (4 plus 5).
Ein häufiger Fehler zu Beginn ist, die Klammer einfach zu ignorieren und stur von links nach rechts zu rechnen. Wer bei 3 mal (4 plus 5) zuerst 3 mal 4 rechnet und dann plus 5, bekommt 17 statt des richtigen Ergebnisses 27. Die Klammer sorgt also nicht nur für Übersicht, sondern verändert auch tatsächlich das Ergebnis der Rechnung.
Die Regel: Klammer vor Punkt vor Strich
Die vollständige Rangfolge beim Rechnen lautet: zuerst Klammern, dann Punktrechnung (mal und geteilt), zuletzt Strichrechnung (plus und minus). Stehen mehrere Klammern ineinander, wird immer von innen nach außen gerechnet, also zuerst die innerste Klammer.
Es gibt noch einen zweiten Weg, eine Klammer aufzulösen, ohne sie vorher auszurechnen: das Ausmultiplizieren. Dabei wird die Zahl vor der Klammer mit jeder einzelnen Zahl in der Klammer multipliziert, und die Ergebnisse werden anschließend addiert oder subtrahiert. Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis, das Ausmultiplizieren ist besonders praktisch, wenn in der Klammer noch eine unbekannte Zahl, also eine Variable, steht.
Steht ein Minuszeichen direkt vor einer Klammer, muss beim Auflösen jedes Vorzeichen in der Klammer umgedreht werden: aus einem Plus wird ein Minus und umgekehrt. Dieser Punkt wird besonders oft vergessen und führt zu falschen Ergebnissen.
- a
- Zahl vor der Klammer
- b
- erster Summand in der Klammer
- c
- zweiter Summand in der Klammer
| Regel | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
| Klammer zuerst | Was in der Klammer steht, wird als Erstes gerechnet | 3 mal (4 plus 5) = 3 mal 9 = 27 |
| Punkt vor Strich | Mal und geteilt vor plus und minus | 2 mal 3 plus 4 = 6 plus 4 = 10 |
| Ausmultiplizieren | Zahl vor der Klammer mit jeder Zahl in der Klammer malnehmen | 6 mal (10 minus 2) = 60 minus 12 = 48 |
Beispiel 1: Eine einfache Klammeraufgabe
Berechne 3 mal (4 plus 5).
Gegeben:
- Zahl vor der Klammer: 3
- Klammerinhalt: 4 plus 5
Gesucht:
Ergebnis der RechnungLösung:
- Klammer zuerst ausrechnen: 4 plus 5 ergibt 9.
- Jetzt bleibt die Malaufgabe stehen: 3 mal 9.
- 3 mal 9 ergibt 27.
3 mal (4 plus 5) ergibt 27. Zur Kontrolle kannst du die Klammer auch durch Ausmultiplizieren auflösen: 3 mal 4 plus 3 mal 5 ergibt 12 plus 15, also ebenfalls 27.
Beispiel 2: Klammer durch Ausmultiplizieren auflösen
Berechne 6 mal (10 minus 2) auf zwei Arten.
Gegeben:
- Zahl vor der Klammer: 6
- Klammerinhalt: 10 minus 2
Gesucht:
Ergebnis der Rechnung, auf zwei Wegen berechnetLösung:
- Erster Weg, Klammer zuerst: 10 minus 2 ergibt 8, danach 6 mal 8 ergibt 48.
- Zweiter Weg, Ausmultiplizieren: 6 mal 10 ergibt 60, und 6 mal 2 ergibt 12.
- Beim Ausmultiplizieren werden die Ergebnisse subtrahiert, weil in der Klammer ein Minus steht: 60 minus 12.
- 60 minus 12 ergibt ebenfalls 48.
Beide Wege liefern das gleiche Ergebnis: 48. Das zeigt, dass es egal ist, ob du zuerst die Klammer ausrechnest oder ausmultiplizierst, solange du sorgfältig arbeitest.
Typische Fehler beim Klammern ausrechnen
Der häufigste Fehler ist, die Klammer zu übersehen und von links nach rechts zu rechnen. Bei 3 mal (4 plus 5) darf man nicht zuerst 3 mal 4 rechnen, denn dann würde man 17 statt 27 erhalten. Die Klammer legt fest, dass 4 plus 5 zusammengehören und zuerst berechnet werden müssen.
Ein zweiter Fehler passiert beim Ausmultiplizieren: Manche Schüler vergessen, die Zahl vor der Klammer mit jeder Zahl in der Klammer zu multiplizieren, und multiplizieren nur mit der ersten Zahl. Bei 6 mal (10 minus 2) muss die 6 sowohl mit 10 als auch mit 2 malgenommen werden, sonst entsteht ein falsches Ergebnis.
Ein dritter Fehler betrifft ein Minus vor der Klammer. Bei einer Rechnung wie 20 minus (8 minus 3) muss beim Ausmultiplizieren jedes Vorzeichen in der Klammer umgedreht werden, weil davor ein Minus steht. Wer das übersieht, rechnet 20 minus 8 minus 3 statt richtig 20 minus 8 plus 3.
Tipps für die Klassenarbeit
Unterstreiche in einer Aufgabe zuerst alle Klammern, bevor du zu rechnen beginnst. So siehst du auf einen Blick, welche Teile der Aufgabe zusammengehören und in welcher Reihenfolge du vorgehen musst.
Rechne bei wichtigen Aufgaben beide Wege durch: einmal die Klammer zuerst ausrechnen, einmal ausmultiplizieren. Kommt bei beiden Wegen dasselbe Ergebnis heraus, hast du sicher richtig gerechnet.
Achte besonders auf ein Minuszeichen vor einer Klammer. Schreibe dir in Gedanken oder auf dem Rand die umgedrehten Vorzeichen auf, bevor du die Klammer weglässt, damit du keinen Vorzeichenfehler machst.
Jetzt bist du dran!
Berechne 5 mal (6 plus 4).
Das Wichtigste in Kürze
- Beim Rechnen mit Klammern gilt die Reihenfolge: Klammer vor Punkt vor Strich.
- Stehen mehrere Klammern ineinander, wird von innen nach außen gerechnet.
- Eine Klammer lässt sich auch durch Ausmultiplizieren auflösen: a mal (b plus c) ist gleich a mal b plus a mal c.
- Ein Minus vor der Klammer dreht beim Auflösen jedes Vorzeichen in der Klammer um.
- Beide Rechenwege, Klammer zuerst und Ausmultiplizieren, führen immer zum gleichen Ergebnis.
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Häufige Fragen zu Rechnen mit Klammern
- Wie rechnet man Klammern aus?
- Klammern werden immer zuerst ausgerechnet, noch vor dem Malnehmen, Teilen, Plus- und Minusrechnen. Stehen mehrere Zahlen mit Rechenzeichen in einer Klammer, löst man diesen Teil der Aufgabe komplett, bevor man mit dem Rest der Rechnung weitermacht.
- Warum gibt es die Regel Klammer vor Punkt vor Strich?
- Ohne feste Reihenfolge könnte jede Person eine Rechnung mit mehreren Rechenzeichen anders lesen und ein anderes Ergebnis bekommen. Die Regel Klammer vor Punkt vor Strich sorgt dafür, dass eine Aufgabe wie 3 mal (4 plus 5) weltweit immer dasselbe Ergebnis liefert.
- Was bedeutet Ausmultiplizieren einer Klammer?
- Ausmultiplizieren bedeutet, die Zahl vor der Klammer mit jeder einzelnen Zahl in der Klammer zu multiplizieren, statt die Klammer vorher auszurechnen. Aus 6 mal (10 minus 2) wird dabei 6 mal 10 minus 6 mal 2, was ebenfalls 48 ergibt.
- Was passiert, wenn ein Minus vor der Klammer steht?
- Ein Minus direkt vor einer Klammer dreht beim Auflösen jedes Vorzeichen innerhalb der Klammer um. Aus 20 minus (8 minus 3) wird deshalb 20 minus 8 plus 3, was 15 ergibt, und nicht 20 minus 8 minus 3.
- In welcher Klasse lernt man das Rechnen mit Klammern?
- Das Rechnen mit Klammern und die Regel Klammer vor Punkt vor Strich werden meist in Klasse 5 eingeführt, direkt nach den Grundrechenarten. Es ist die Grundlage für spätere Themen wie das Umformen von Termen und das Ausklammern.
- Wie kann ich mein Ergebnis bei Klammeraufgaben kontrollieren?
- Rechne die Aufgabe auf zwei Wegen: einmal, indem du zuerst die Klammer ausrechnest, und einmal, indem du ausmultiplizierst. Kommt bei beiden Wegen dasselbe Ergebnis heraus, hast du die Aufgabe richtig gelöst.
- Ändert eine Klammer immer das Ergebnis einer Rechnung?
- Ja, sobald in einer Rechnung sowohl Punkt- als auch Strichrechnung vorkommen, verändert eine Klammer das Ergebnis, weil sie die Reihenfolge der Rechenschritte festlegt. Bei 3 mal 4 plus 5 kommt ohne Klammer 17 heraus, mit Klammer um 4 plus 5 dagegen 27.
- Was ist der Unterschied zwischen Klammer zuerst und Ausmultiplizieren?
- Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis, unterscheiden sich aber im Vorgehen. Beim Weg Klammer zuerst wird der Klammerinhalt komplett ausgerechnet, bevor multipliziert wird, beim Ausmultiplizieren wird die Zahl vor der Klammer sofort mit jedem einzelnen Summanden verrechnet.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.
Das solltest du vorher können
- Punkt-vor-Strich-Regelin Arbeit
- Schriftliche Multiplikationin Arbeit