Bruchterme kürzen
Bruchterme kürzen bedeutet, einen Bruch mit Variablen im Zähler oder Nenner zu vereinfachen, indem gemeinsame Faktoren gestrichen werden. In dieser Lektion lernst du, wie du Zähler und Nenner zuerst faktorisierst, gemeinsame Faktoren erkennst und dabei die Definitionslücken des Bruchterms nicht vergisst.
- Fach: Mathematik
- Klasse 9
- Thema: Terme
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Bruchterme kürzen: Vereinfachen von Brüchen mit Variablen
Ein Bruchterm ist ein Bruch, bei dem im Zähler, im Nenner oder in beiden mindestens eine Variable vorkommt, etwa (2a hoch 2) durch (4a). Bruchterme kürzen bedeutet, diesen Bruch zu vereinfachen, indem ein Faktor gestrichen wird, der sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt.
Das Prinzip ist dasselbe wie beim Kürzen normaler Zahlenbrüche: 6 durch 8 lässt sich kürzen, weil 2 sowohl in 6 als auch in 8 als Faktor steckt. Bei Bruchtermen suchst du statt einer Zahl einen gemeinsamen Faktor aus Zahlen und Variablen.
Der entscheidende Unterschied zu Zahlenbrüchen ist, dass ein Bruchterm nicht für jeden Wert der Variable definiert ist. Wird der Nenner für einen bestimmten Wert Null, ist die Division nicht erlaubt, und dieser Wert muss als Definitionslücke ausgeschlossen werden.
Die Grundregel des Kürzens
Ein Bruchterm darf gekürzt werden, wenn Zähler und Nenner als Produkt geschrieben sind und beide denselben Faktor enthalten. Der Bruch (a mal c) durch (b mal c) wird dann zu a durch b, weil sich der gemeinsame Faktor c heraushebt.
Wichtig ist, dass nur ganze Faktoren gekürzt werden dürfen, niemals einzelne Summanden innerhalb einer Summe. Steht im Zähler oder Nenner eine Summe, muss diese zuerst faktorisiert werden, bevor überhaupt gekürzt werden darf.
Beim Faktorisieren helfen dir häufig das Ausklammern eines gemeinsamen Faktors sowie die drei binomischen Formeln. Erst wenn sowohl Zähler als auch Nenner als reines Produkt vorliegen, lässt sich sicher erkennen, welche Faktoren gekürzt werden dürfen.
- a
- verbleibender Faktor im Zähler
- b
- verbleibender Faktor im Nenner
- c
- gemeinsamer Faktor, der gekürzt wird
| Bruchterm | Kürzen erlaubt | Begründung |
|---|---|---|
| (6a) durch (2a) | Ja, ergibt 3 | a ist gemeinsamer Faktor in Zähler und Nenner |
| (a plus 2) durch a | Nein | a ist nur Summand im Zähler, kein gemeinsamer Faktor |
| (a hoch 2 minus 4) durch (a minus 2) | Ja, nach Faktorisieren | Zähler wird zu (a minus 2) mal (a plus 2) |
| (a plus b) durch (a plus c) | Nein | kein gemeinsamer Faktor vorhanden |
Beispiel 1: Kürzen mit gemeinsamem Faktor
Kürze den Bruchterm (8a hoch 2 b) durch (12ab) so weit wie möglich.
Gegeben:
- Zähler: 8a hoch 2 b
- Nenner: 12ab
- b ungleich 0
Gesucht:
Gekürzter Bruchterm mit DefinitionslückenLösung:
- Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen: 8a hoch 2 b ist 4 mal 2 mal a mal a mal b, und 12ab ist 4 mal 3 mal a mal b.
- Gemeinsame Faktoren bestimmen: 4, a und b kommen in beiden vor.
- Gemeinsame Faktoren kürzen: Es bleiben im Zähler 2a und im Nenner 3 übrig.
- Definitionslücken notieren: a und b dürfen nicht Null sein, da sie ursprünglich im Nenner standen.
Der gekürzte Bruchterm lautet (2a) durch 3, mit den Einschränkungen a ungleich 0 und b ungleich 0. Setzt man testweise a gleich 2 und b gleich 1 ein, ergeben beide Bruchterme den Wert 4 durch 3, was das Ergebnis bestätigt.
Beispiel 2: Kürzen mit binomischer Formel
Kürze den Bruchterm (x hoch 2 minus 9) durch (x minus 3) so weit wie möglich.
Gegeben:
- Zähler: x hoch 2 minus 9
- Nenner: x minus 3
- x ungleich 3
Gesucht:
Gekürzter Bruchterm mit DefinitionslückeLösung:
- Zähler faktorisieren: x hoch 2 minus 9 ist eine dritte binomische Formel und wird zu (x minus 3) mal (x plus 3).
- Nenner unverändert lassen: Der Nenner bleibt x minus 3.
- Gemeinsamen Faktor erkennen: Zähler und Nenner enthalten beide den Faktor (x minus 3).
- Gemeinsamen Faktor kürzen: Es bleibt x plus 3 als vereinfachter Term übrig.
Der gekürzte Bruchterm lautet x plus 3, mit der Einschränkung x ungleich 3, da der ursprüngliche Nenner sonst Null wäre. Für x gleich 5 ergeben beide Bruchterme den Wert 8, was das Ergebnis bestätigt.
Typische Fehler beim Kürzen von Bruchtermen
Der häufigste Fehler ist, einzelne Summanden zu kürzen, obwohl sie kein gemeinsamer Faktor sind. Bei (a plus 2) durch a darf die Variable a nicht einfach gestrichen werden, weil a im Zähler nur ein Summand ist, kein Faktor des gesamten Zählers.
Ein zweiter Fehler ist, das Faktorisieren zu überspringen. Wird der Zähler x hoch 2 minus 9 nicht als (x minus 3) mal (x plus 3) erkannt, findet man den gemeinsamen Faktor mit dem Nenner x minus 3 gar nicht.
Ein dritter Fehler ist, die Definitionslücken zu vergessen. Auch nach dem Kürzen bleibt der Wert ungültig, für den der ursprüngliche Nenner Null wurde, selbst wenn der gekürzte Term an dieser Stelle einen Wert liefern würde.
Tipps für die Klassenarbeit
Faktorisiere Zähler und Nenner immer vollständig, bevor du überhaupt an das Kürzen denkst. Achte dabei besonders auf die drei binomischen Formeln, weil sie in Bruchtermen sehr häufig vorkommen.
Notiere die Definitionslücken direkt zu Beginn, indem du prüfst, für welche Werte der ursprüngliche Nenner Null wird. Diese Werte bleiben auch nach dem Kürzen ausgeschlossen.
Mache am Ende eine Probe mit einer eingesetzten Zahl, die keine Definitionslücke ist. Ergibt der ursprüngliche und der gekürzte Bruchterm denselben Wert, hast du richtig gekürzt.
Jetzt bist du dran!
Kürze (10a) durch (15a) vollständig und gib das Ergebnis als Bruch mit Punkt statt Komma an, z. B. 2/3.
Das Wichtigste in Kürze
- Ein Bruchterm ist ein Bruch, in dem Zähler oder Nenner eine Variable enthält.
- Gekürzt werden dürfen nur gemeinsame Faktoren, niemals einzelne Summanden.
- Vor dem Kürzen müssen Zähler und Nenner vollständig faktorisiert werden, oft mit binomischen Formeln.
- Werte, die den ursprünglichen Nenner Null machen, sind Definitionslücken und bleiben ausgeschlossen.
- Eine Probe mit eingesetzten Zahlen zeigt, ob das Kürzen richtig durchgeführt wurde.
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Häufige Fragen zu Bruchterme kürzen
- Was ist ein Bruchterm?
- Ein Bruchterm ist ein Bruch, bei dem im Zähler, im Nenner oder in beiden mindestens eine Variable vorkommt. Beim Kürzen wird ein gemeinsamer Faktor aus Zähler und Nenner gestrichen, um den Term zu vereinfachen.
- Wie kürzt man einen Bruchterm?
- Man faktorisiert Zähler und Nenner vollständig, sucht einen gemeinsamen Faktor und streicht diesen anschließend in Zähler und Nenner. Übrig bleibt der vereinfachte Bruchterm ohne den gemeinsamen Faktor.
- Darf man beim Kürzen einzelne Summanden streichen?
- Nein, gekürzt werden dürfen nur gemeinsame Faktoren eines Produkts, niemals einzelne Summanden innerhalb einer Summe. Bei (a plus 2) durch a darf die Variable a deshalb nicht einfach weggestrichen werden.
- Was ist eine Definitionslücke bei einem Bruchterm?
- Eine Definitionslücke ist ein Wert der Variable, für den der ursprüngliche Nenner Null wird und die Division deshalb nicht erlaubt ist. Diese Werte bleiben auch nach dem Kürzen des Bruchterms ausgeschlossen.
- Welche Rolle spielen binomische Formeln beim Kürzen?
- Die drei binomischen Formeln helfen dabei, Summen im Zähler oder Nenner als Produkt zu schreiben, etwa x hoch 2 minus 9 als (x minus 3) mal (x plus 3). Erst dieses Produkt lässt einen gemeinsamen Faktor erkennen.
- In welcher Klasse werden Bruchterme unterrichtet?
- Bruchterme werden meist in Klasse 9 unterrichtet, nachdem binomische Formeln und das Faktorisieren von Termen bereits bekannt sind. Sie sind eine wichtige Grundlage für Bruchgleichungen und gebrochenrationale Funktionen.
- Wie prüft man, ob ein Bruchterm richtig gekürzt wurde?
- Man setzt für die Variable eine erlaubte Zahl in den ursprünglichen und in den gekürzten Bruchterm ein und vergleicht die Ergebnisse. Stimmen beide Werte überein, wurde korrekt gekürzt.
- Was ist der Unterschied zwischen Kürzen und Erweitern von Bruchtermen?
- Beim Kürzen wird ein gemeinsamer Faktor aus Zähler und Nenner entfernt, beim Erweitern wird Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert. Beide Verfahren ändern den Wert des Bruchterms nicht, nur seine Schreibweise.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.
Das solltest du vorher können
Das kommt als Nächstes
- Bruchgleichungen
- Gebrochenrationale Funktionenin Arbeit