Vielfache und Teiler
Vielfache und Teiler gehören zu den ersten Werkzeugen, mit denen du Zahlen genauer untersuchst, statt nur mit ihnen zu rechnen. In dieser Lektion lernst du, wie du Vielfache einer Zahl bildest, wie du systematisch alle Teiler einer Zahl findest und wie beide Begriffe zusammenhängen.
- Fach: Mathematik
- Klasse 5
- Thema: Teilbarkeit
- Dauer: 16 Min
- Niveau: Einfach
Vielfache und Teiler: zwei Blickrichtungen auf dieselbe Zahl
Vielfache und Teiler beschreiben, wie Zahlen durch Multiplikation und Division miteinander verbunden sind. Ein Vielfaches einer Zahl entsteht, wenn du diese Zahl mit 1, 2, 3 und so weiter multiplizierst, während ein Teiler einer Zahl ohne Rest in sie hineinpasst.
Im Alltag begegnen dir Vielfache und Teiler öfter, als du denkst: Wenn du Stühle in gleich großen Reihen aufstellst, suchst du einen Teiler der Gesamtzahl. Wenn du prüfst, ob ein Bus alle 15 Minuten fährt und du um 9:00 Uhr am Bahnhof stehst, rechnest du mit Vielfachen von 15.
Der wichtigste Unterschied: Eine Zahl hat unendlich viele Vielfache, aber nur endlich viele Teiler. Das liegt daran, dass du beim Vervielfachen immer weiterzählen kannst, während ein Teiler nie größer sein kann als die Zahl selbst.
Vielfache einer Zahl bilden
Ein Vielfaches einer Zahl a erhältst du, indem du a mit einer natürlichen Zahl n multiplizierst: das Vielfache v ist gleich a mal n. Für n setzt du der Reihe nach 1, 2, 3, 4 und so weiter ein und erhältst so die Liste aller Vielfachen von a.
Da es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, hat jede Zahl auch unendlich viele Vielfache. In der Schule reicht es meist, die ersten fünf bis zehn Vielfachen aufzuschreiben, um ein Muster zu erkennen oder eine Aufgabe zu lösen.
Um zu prüfen, ob eine Zahl b ein Vielfaches von a ist, teilst du b durch a. Geht die Division ohne Rest auf, ist b ein Vielfaches von a. Bleibt ein Rest übrig, ist b kein Vielfaches von a.
- v
- das gesuchte Vielfache
- a
- die Ausgangszahl
- n
- natürliche Zahl (1, 2, 3, …)
| Zahl | Erste fünf Vielfache |
|---|---|
| 4 | 4, 8, 12, 16, 20 |
| 6 | 6, 12, 18, 24, 30 |
| 7 | 7, 14, 21, 28, 35 |
| 10 | 10, 20, 30, 40, 50 |
Beispiel 1: Die ersten Vielfachen von 6
Bestimme die ersten sechs Vielfachen der Zahl 6.
Gegeben:
- Ausgangszahl a6
- n läuft von 1 bis 6
Gesucht:
Die ersten sechs Vielfachen von 6Lösung:
- Für n = 1 gilt: 6 mal 1 ergibt 6.
- Für n = 2 gilt: 6 mal 2 ergibt 12.
- Für n = 3, 4, 5 und 6 gilt entsprechend: 18, 24, 30 und 36.
- Alle Werte der Reihe nach notieren.
Die ersten sechs Vielfachen von 6 sind 6, 12, 18, 24, 30 und 36. Auffällig ist, dass alle Vielfachen von 6 gerade Zahlen sind, weil 6 selbst gerade ist.
Beispiel 2: Alle Teiler von 24 finden
Bestimme systematisch alle Teiler der Zahl 24.
Gegeben:
- Zahl a24
Gesucht:
Alle Teiler von 24Lösung:
- Mit der 1 beginnen: 1 mal 24 ergibt 24, also sind 1 und 24 Teiler.
- Der Reihe nach weiterprüfen: 2 mal 12 ergibt 24, also sind 2 und 12 Teiler.
- Weiterprüfen: 3 mal 8 ergibt 24 und 4 mal 6 ergibt 24, also kommen 3, 8, 4 und 6 hinzu.
- Bei 5 abbrechen, weil 24 durch 5 keine ganze Zahl ergibt und sich die Paare ab hier wiederholen würden.
Die Teiler von 24 sind 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24, insgesamt also acht Teiler. Zur Kontrolle kannst du jede Zahl aus dieser Liste durch 24 teilen und prüfen, ob dabei wieder ein Teiler herauskommt.
Typische Fehler bei Vielfachen und Teilern
Der häufigste Fehler ist, Vielfache und Teiler zu verwechseln. „Ist 6 ein Vielfaches von 24“ ist falsch gestellt, richtig ist entweder „Ist 6 ein Teiler von 24“ oder „Ist 24 ein Vielfaches von 6“. Die Richtung der Frage entscheidet, welcher Begriff gemeint ist.
Ein zweiter Fehler ist, beim Suchen der Teiler zu früh aufzuhören, etwa nur die kleinen Teiler wie 1, 2 und 3 zu notieren und die dazugehörigen großen Teiler wie 24, 12 und 8 zu vergessen. Teiler treten immer paarweise auf.
Ein dritter Fehler ist zu glauben, jede Zahl habe unendlich viele Teiler wie Vielfache. Tatsächlich hat jede Zahl außer der 0 nur endlich viele Teiler, weil kein Teiler größer sein kann als die Zahl selbst.
Tipps für die Klassenarbeit
Suche Teiler immer paarweise: Findest du einen Teiler, teile die Zahl durch diesen Teiler und du erhältst automatisch den passenden zweiten Teiler. So übersiehst du keinen.
Bei Vielfachen hilft dir das kleine Einmaleins direkt weiter, weil die ersten zehn Vielfachen einer Zahl genau den Ergebnissen der Malreihe entsprechen.
Wenn eine Zahl gerade Anzahl an Teilern zeigt, aber ein Teiler doppelt gezählt würde, prüfe, ob die Zahl eine Quadratzahl ist. Bei Quadratzahlen wie 16 ist ein Teiler, hier die 4, mit sich selbst gepaart.
Jetzt bist du dran!
Nenne das vierte Vielfache der Zahl 8.
Das Wichtigste in Kürze
- Ein Vielfaches einer Zahl entsteht durch Multiplikation mit 1, 2, 3 und so weiter.
- Ein Teiler einer Zahl geht ohne Rest in sie hinein und ist nie größer als die Zahl selbst.
- Jede Zahl hat unendlich viele Vielfache, aber nur endlich viele Teiler.
- Teiler treten paarweise auf, deshalb lohnt sich systematisches Suchen von klein nach groß.
- Vielfache und Teiler sind zwei Blickrichtungen auf dieselbe Beziehung zweier Zahlen.
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Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Vielfache und Teiler
- Was ist der Unterschied zwischen einem Vielfachen und einem Teiler?
- Ein Vielfaches einer Zahl entsteht durch Multiplikation dieser Zahl mit 1, 2, 3 und so weiter, während ein Teiler ohne Rest in eine Zahl hineinpasst. Eine Zahl hat unendlich viele Vielfache, aber nur endlich viele Teiler.
- Wie findet man alle Teiler einer Zahl?
- Man prüft der Reihe nach, ob 1, 2, 3 und so weiter ohne Rest in die Zahl passen, und notiert bei jedem Treffer gleich das dazugehörige Teilerpaar. Sobald sich die Teilerpaare wiederholen, sind alle Teiler gefunden.
- Ist jede Zahl ein Teiler von sich selbst?
- Ja, jede Zahl außer der 0 ist immer ein Teiler von sich selbst, weil die Zahl durch sich selbst geteilt ohne Rest 1 ergibt. Ebenso ist jede Zahl auch ihr eigenes erstes Vielfaches.
- Wie viele Vielfache hat eine Zahl?
- Jede Zahl hat unendlich viele Vielfache, weil man beliebig weiterzählen und immer wieder ein größeres Vielfaches bilden kann. In der Schule werden meist nur die ersten fünf bis zehn Vielfachen betrachtet.
- Was ist der Zusammenhang zwischen Teilern und dem größten gemeinsamen Teiler?
- Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen ist der größte Wert, der in den Teilerlisten beider Zahlen vorkommt. Man findet ihn, indem man die Teiler beider Zahlen bestimmt und den größten gemeinsamen Wert heraussucht.
- In welcher Klasse lernt man Vielfache und Teiler?
- Vielfache und Teiler werden meist in Klasse 5 eingeführt, direkt im Anschluss an das kleine Einmaleins. Sie bilden die Grundlage für spätere Themen wie Teilbarkeitsregeln, größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches.
- Warum haben Quadratzahlen eine besondere Anzahl an Teilern?
- Bei einer Quadratzahl wie 16 ist einer der Teiler, hier die 4, mit sich selbst gepaart, weil 4 mal 4 gleich 16 ist. Deshalb haben Quadratzahlen immer eine ungerade Anzahl an Teilern, alle anderen Zahlen eine gerade Anzahl.
- Wozu braucht man Vielfache und Teiler im Alltag?
- Vielfache und Teiler helfen dabei, Mengen gleichmäßig aufzuteilen, etwa Personen in Gruppen oder Waren in Packungen, und sie werden gebraucht, um wiederkehrende Ereignisse wie Busfahrpläne oder Schichtpläne zu berechnen.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.