Laplace-Wahrscheinlichkeit
Ein Laplace-Experiment liegt vor, wenn bei einem Zufallsexperiment alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, zum Beispiel beim Würfeln oder Münzwerfen. In dieser Lektion lernst du die Laplace-Formel, mit der du in solchen Fällen jede Wahrscheinlichkeit einfach durch Abzählen berechnen kannst.
- Fach: Mathematik
- Klasse 8
- Thema: Stochastik
- Dauer: 16 Min
- Niveau: Mittel
Laplace-Experiment: Wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind
Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem jedes mögliche Ergebnis genau die gleiche Chance hat, einzutreten. Ein fairer Würfel ist das klassische Beispiel: Jede der sechs Zahlen 1 bis 6 tritt mit derselben Wahrscheinlichkeit auf, kein Ergebnis wird bevorzugt.
Benannt ist dieses Konzept nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon Laplace, der als Erster systematisch beschrieben hat, wie man Wahrscheinlichkeiten allein durch Abzählen der möglichen Ergebnisse berechnen kann, ohne ein Experiment tatsächlich durchzuführen.
Nicht jedes Zufallsexperiment ist ein Laplace-Experiment. Wirft man eine verbogene Reißzwecke, landet sie meist häufiger auf der einen als auf der anderen Seite, die Ergebnisse sind also nicht gleich wahrscheinlich. Vor jeder Anwendung der Laplace-Formel muss deshalb geprüft werden, ob wirklich alle Ergebnisse die gleiche Chance haben.
Die Laplace-Formel: günstige durch mögliche Ergebnisse
Bei einem Laplace-Experiment berechnet sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem man die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilt. Günstige Ergebnisse sind dabei alle Ergebnisse, die das gesuchte Ereignis erfüllen.
Diese einfache Formel funktioniert nur, weil bei einem Laplace-Experiment jedes einzelne Ergebnis gleich wahrscheinlich ist. Wäre das nicht der Fall, dürfte man die Ergebnisse nicht einfach zählen, sondern müsste jedem Ergebnis seine eigene, unterschiedliche Wahrscheinlichkeit zuordnen.
Das Ergebnis der Laplace-Formel liegt immer zwischen 0 und 1 und lässt sich als Bruch, Dezimalzahl oder Prozentsatz angeben. Eine Wahrscheinlichkeit von 0 bedeutet, dass das Ereignis unmöglich ist, eine Wahrscheinlichkeit von 1 bedeutet, dass es sicher eintritt.
- P
- Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
- g
- Anzahl der günstigen Ergebnisse
- m
- Anzahl aller möglichen Ergebnisse
| Zufallsexperiment | Günstige Ergebnisse | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| Würfel, Zahl mindestens 5 | 2 von 6 Ergebnissen | 1 durch 3, rund 33,3 Prozent |
| Kartenspiel, Herz ziehen | 13 von 52 Karten | 1 durch 4, also 25 Prozent |
| Münzwurf, Kopf | 1 von 2 Ergebnissen | 1 durch 2, also 50 Prozent |
Beispiel 1: Gerade Zahl beim Würfeln
Mit einem fairen Würfel wird einmal gewürfelt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln.
Gegeben:
- Mögliche Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5, 6
- Günstige Ergebnisse: 2, 4, 6
Gesucht:
Wahrscheinlichkeit P für eine gerade ZahlLösung:
- Mögliche Ergebnisse zählen: Der Würfel hat 6 mögliche Ergebnisse.
- Günstige Ergebnisse zählen: Gerade Zahlen sind 2, 4 und 6, also 3 günstige Ergebnisse.
- Formel anwenden: P ist gleich 3 durch 6, also 0,5.
Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln, beträgt 0,5, also 50 Prozent. Das leuchtet auch anschaulich ein, weil genau die Hälfte der sechs Zahlen auf einem Würfel gerade ist.
Beispiel 2: Herzkarte aus einem Kartenspiel ziehen
Aus einem gut gemischten Kartenspiel mit 52 Karten, davon 13 Herzkarten, wird eine Karte gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine Herzkarte zu ziehen.
Gegeben:
- Mögliche Ergebnisse: 52 Karten
- Günstige Ergebnisse: 13 Herzkarten
Gesucht:
Wahrscheinlichkeit P für eine HerzkarteLösung:
- Mögliche Ergebnisse zählen: Das Kartenspiel hat 52 Karten.
- Günstige Ergebnisse zählen: Es gibt 13 Herzkarten.
- Formel anwenden: P ist gleich 13 durch 52, gekürzt 1 durch 4.
Die Wahrscheinlichkeit, eine Herzkarte zu ziehen, beträgt 1 durch 4, also 25 Prozent. Das entspricht genau einem der vier gleich großen Kartenfarben in einem vollständigen Kartenspiel.
Typische Fehler bei der Laplace-Wahrscheinlichkeit
Der häufigste Fehler ist, die Laplace-Formel anzuwenden, ohne vorher zu prüfen, ob wirklich alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Bei einem gezinkten Würfel oder einer unfair geformten Münze darf man nicht einfach günstige durch mögliche Ergebnisse teilen.
Ein zweiter Fehler entsteht beim Zählen der günstigen Ergebnisse, wenn ein Ergebnis vergessen oder doppelt gezählt wird. Bei der Frage nach Zahlen mindestens 5 beim Würfeln müssen sowohl die 5 als auch die 6 gezählt werden, nicht nur eine der beiden Zahlen.
Ein dritter Fehler passiert, wenn die Wahrscheinlichkeit nicht gekürzt oder falsch in Prozent umgerechnet wird. 13 durch 52 sollte zu 1 durch 4 gekürzt werden, und bei der Umrechnung in Prozent muss der Bruch mit 100 multipliziert werden.
Tipps für die Klassenarbeit
Liste bei jeder Aufgabe zuerst alle möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments vollständig auf, bevor du die günstigen Ergebnisse suchst. So übersiehst du keine Möglichkeit und zählst nicht versehentlich zu viel oder zu wenig.
Prüfe am Anfang jeder Aufgabe kurz, ob wirklich ein Laplace-Experiment vorliegt, also ob alle Ergebnisse die gleiche Chance haben. Wird das im Aufgabentext nicht ausdrücklich erwähnt, wird bei fairen Würfeln, Münzen und Kartenspielen meist automatisch davon ausgegangen.
Gib dein Ergebnis in der Form an, die in der Aufgabe verlangt wird, also als Bruch, als Dezimalzahl oder als Prozentsatz, und kürze Brüche möglichst vollständig.
Jetzt bist du dran!
Mit einem fairen Würfel wird gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln? Gib das Ergebnis als Bruch an, z. B. 1 durch 2.
Das Wichtigste in Kürze
- Ein Laplace-Experiment liegt vor, wenn alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.
- Die Laplace-Formel lautet P ist gleich g durch m, also günstige durch mögliche Ergebnisse.
- Vor jeder Anwendung der Formel muss geprüft werden, ob wirklich ein Laplace-Experiment vorliegt.
- Das Ergebnis liegt immer zwischen 0 und 1 und kann als Bruch, Dezimalzahl oder Prozentsatz angegeben werden.
- Günstige Ergebnisse müssen vollständig und ohne Doppelzählung erfasst werden.
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Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Laplace-Wahrscheinlichkeit
- Was ist ein Laplace-Experiment?
- Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle möglichen Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, etwa das Würfeln mit einem fairen Würfel oder das Werfen einer fairen Münze. Nur bei solchen Experimenten darf die Laplace-Formel angewendet werden.
- Wie lautet die Laplace-Formel?
- Die Laplace-Formel lautet P ist gleich g durch m, wobei g die Anzahl der günstigen Ergebnisse und m die Anzahl aller möglichen Ergebnisse ist. Man teilt also einfach die Zahl der günstigen durch die Zahl aller möglichen Ergebnisse.
- Was bedeutet günstig bei der Laplace-Wahrscheinlichkeit?
- Günstige Ergebnisse sind alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments, die das gesuchte Ereignis erfüllen. Fragt man nach der Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl beim Würfeln, sind die Zahlen 2, 4 und 6 die günstigen Ergebnisse.
- Warum darf man die Laplace-Formel nicht immer anwenden?
- Die Formel setzt voraus, dass alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Ist das nicht der Fall, etwa bei einem gezinkten Würfel oder einer verbogenen Münze, würde einfaches Abzählen zu falschen Wahrscheinlichkeiten führen.
- In welcher Klasse lernt man die Laplace-Wahrscheinlichkeit?
- Die Laplace-Wahrscheinlichkeit wird meist in Klasse 8 eingeführt, nachdem die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der relativen Häufigkeit bekannt sind. Sie ist die Grundlage für spätere Themen wie Baumdiagramme und bedingte Wahrscheinlichkeit.
- Wie unterscheidet sich die Laplace-Wahrscheinlichkeit von der relativen Häufigkeit?
- Die Laplace-Wahrscheinlichkeit wird theoretisch durch Abzählen der Ergebnisse berechnet, ohne das Experiment tatsächlich durchzuführen. Die relative Häufigkeit wird dagegen durch echte Versuche ermittelt und nähert sich bei sehr vielen Versuchen der Laplace-Wahrscheinlichkeit an.
- Wozu braucht man die Laplace-Wahrscheinlichkeit im Alltag?
- Die Laplace-Wahrscheinlichkeit hilft dabei, faire Chancen bei Glücksspielen, Losverfahren oder Verlosungen einzuschätzen. Sie zeigt zum Beispiel, wie hoch die Chance ist, bei einer Verlosung mit gleich großen Losen zu gewinnen.
- Wie kontrolliert man ein Ergebnis bei der Laplace-Wahrscheinlichkeit?
- Man prüft, ob die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse zusammen 1 beziehungsweise 100 Prozent ergibt, und ob alle günstigen Ergebnisse vollständig und ohne Doppelzählung erfasst wurden. Stimmen diese Kontrollen, ist das Ergebnis in der Regel richtig.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.