Bedingte Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeit beschreibt, wie wahrscheinlich ein Ereignis A ist, wenn bereits bekannt ist, dass ein anderes Ereignis B eingetreten ist. In dieser Lektion lernst du die Formel P(A gegeben B) = P(A und B) durch P(B), wie du sie aus einer Vierfeldertafel abliest und wie sie sich von der gewöhnlichen Wahrscheinlichkeit unterscheidet.
- Fach: Mathematik
- Klasse 10
- Thema: Stochastik
- Dauer: 18 Min
- Niveau: Mittel
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeit unter einer Bedingung
Bedingte Wahrscheinlichkeit beantwortet die Frage, wie wahrscheinlich ein Ereignis A ist, wenn du bereits weißt, dass ein anderes Ereignis B eingetreten ist. Diese zusätzliche Information verändert häufig die Wahrscheinlichkeit für A, verglichen mit der Situation, in der du nichts über B weißt.
Ein einfaches Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass es heute regnet, ist normalerweise ein fester Wert. Weißt du aber bereits, dass der Himmel stark bewölkt ist, ändert sich diese Wahrscheinlichkeit meist deutlich nach oben. Genau solche Situationen beschreibt die bedingte Wahrscheinlichkeit.
Geschrieben wird die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B als P(A gegeben B). Sie unterscheidet sich von der gewöhnlichen Wahrscheinlichkeit P(A), weil bei P(A gegeben B) die gesamte Betrachtung auf die Fälle eingeschränkt wird, in denen B bereits eingetreten ist.
Die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit
Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A und B gemeinsam eintreten, durch die Wahrscheinlichkeit von B geteilt wird. Die Formel lautet P(A gegeben B) = P(A und B) durch P(B), wobei P(B) größer als 0 sein muss, damit die Division überhaupt sinnvoll ist.
Anschaulich bedeutet das: Du betrachtest nur noch die Fälle, in denen B eingetreten ist, und fragst innerhalb dieser eingeschränkten Fälle, wie oft zusätzlich auch A eingetreten ist. Der ursprüngliche Ergebnisraum wird also gedanklich auf B verkleinert.
Wichtig ist, dass P(A gegeben B) im Allgemeinen nicht dasselbe ist wie P(B gegeben A). Beide Wahrscheinlichkeiten beziehen sich zwar auf dieselben Ereignisse A und B, betrachten aber unterschiedliche Bedingungen und können daher ganz unterschiedliche Werte annehmen.
- A
- gesuchtes Ereignis
- B
- Ereignis, das als Bedingung bereits eingetreten ist
| Tennis | kein Tennis | Summe | |
|---|---|---|---|
| Fußball | 15 | 45 | 60 |
| kein Fußball | 10 | 30 | 40 |
| Summe | 25 | 75 | 100 |
Beispiel 1: Bedingte Wahrscheinlichkeit aus einer Vierfeldertafel
In einer Schule spielen von 100 befragten Personen 60 Fußball und 15 davon zusätzlich Tennis. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Tennis spielt, wenn bekannt ist, dass sie Fußball spielt?
Gegeben:
- P(Fußball)601000,6
- P(Fußball und Tennis)151000,15
Gesucht:
P(Tennis gegeben Fußball)Lösung:
- Werte aus der Vierfeldertafel ablesen: 60 von 100 Personen spielen Fußball, davon spielen 15 auch Tennis.
- Wahrscheinlichkeiten bilden: P(Fußball) = 0,6 und P(Fußball und Tennis) = 0,15.
- Formel anwenden: P(Tennis gegeben Fußball) = P(Fußball und Tennis)/P(Fußball) = 0,15/0,6.
- Ergebnis berechnen: 0,15 durch 0,6 ergibt 0,25.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine fußballspielende Person auch Tennis spielt, beträgt 0,25, also 25 Prozent. Diese Wahrscheinlichkeit ist geringer als eine bloße Betrachtung der 25 von 100 Tennisspielenden vermuten lassen würde, weil hier gezielt nur die Gruppe der Fußballspielenden betrachtet wird.
Beispiel 2: Unabhängigkeit prüfen
Prüfe anhand der Vierfeldertafel, ob die Ereignisse Fußball und Tennis unabhängig voneinander sind.
Gegeben:
- P(Tennis)251000,25
- P(Tennis gegeben Fußball) = 0,25 (aus Beispiel 1)
Gesucht:
Sind Fußball und Tennis unabhängig?Lösung:
- Kriterium für Unabhängigkeit aufstellen: Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn P(A gegeben B) = P(A) gilt.
- Beide Werte vergleichen: P(Tennis) = 0,25 und P(Tennis gegeben Fußball) = 0,25.
- Werte gleichsetzen: Da beide Wahrscheinlichkeiten übereinstimmen, ist das Kriterium erfüllt.
Die Ereignisse Fußball und Tennis sind in diesem Datensatz unabhängig voneinander, weil die Information, dass jemand Fußball spielt, die Wahrscheinlichkeit für Tennis nicht verändert. Ob jemand Fußball spielt, sagt hier also nichts darüber aus, ob diese Person auch Tennis spielt.
Typische Fehler bei bedingter Wahrscheinlichkeit
Der häufigste Fehler ist, P(A gegeben B) mit P(B gegeben A) zu verwechseln. Beide Wahrscheinlichkeiten beziehen sich zwar auf dieselben Ereignisse, unterscheiden sich aber oft deutlich im Wert, weil bei der einen durch P(A) und bei der anderen durch P(B) geteilt wird.
Ein zweiter Fehler ist, in der Formel durch die falsche Wahrscheinlichkeit zu teilen, etwa bei P(A gegeben B) versehentlich durch P(A) statt durch P(B) zu teilen. Die Bedingung, die hinter dem Wort „gegeben“ steht, bestimmt immer den Nenner der Formel.
Ein dritter Fehler ist, aus einer einzelnen berechneten bedingten Wahrscheinlichkeit vorschnell auf Abhängigkeit oder Unabhängigkeit zu schließen, ohne den Vergleichswert P(A) tatsächlich zu berechnen. Nur der direkte Vergleich von P(A gegeben B) mit P(A) zeigt, ob beide Ereignisse unabhängig sind.
Alltagsbezug: Medizinische Tests und Wetterprognosen
Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind die Grundlage vieler Alltagsentscheidungen. Bei medizinischen Tests interessiert zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich krank zu sein, wenn ein Test positiv ausgefallen ist – eine bedingte Wahrscheinlichkeit, die sich stark von der Wahrscheinlichkeit unterscheiden kann, überhaupt krank zu sein.
Auch Wetterprognosen arbeiten mit bedingten Wahrscheinlichkeiten, wenn sie zum Beispiel angeben, wie wahrscheinlich Regen unter der Bedingung ist, dass bereits starke Bewölkung vorliegt. Solche Angaben sind meist deutlich aussagekräftiger als eine allgemeine Regenwahrscheinlichkeit ohne jede zusätzliche Information.
Jetzt bist du dran!
Wie lautet die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A gegeben B)?
Noch nicht. Die bedingte Wahrscheinlichkeit wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Eintreten von A und B durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung B geteilt wird: P(A gegeben B) = P(A und B) durch P(B).
Das Wichtigste in Kürze
- Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A gegeben B) beschreibt die Wahrscheinlichkeit von A, wenn B bereits eingetreten ist.
- Die Formel lautet P(A gegeben B) = P(A und B) durch P(B), mit P(B) größer 0.
- P(A gegeben B) und P(B gegeben A) sind im Allgemeinen unterschiedlich groß.
- Aus einer Vierfeldertafel lassen sich Zähler und Nenner der Formel direkt ablesen.
- A und B sind unabhängig, wenn P(A gegeben B) genau P(A) entspricht.
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Häufige Fragen zu Bedingte Wahrscheinlichkeit
- Was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit?
- Eine bedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich ein Ereignis A ist, wenn bereits bekannt ist, dass ein anderes Ereignis B eingetreten ist. Sie wird als P(A gegeben B) geschrieben und mit der Formel P(A und B) durch P(B) berechnet.
- Wie berechnet man bedingte Wahrscheinlichkeit aus einer Vierfeldertafel?
- Man liest die passende Zeile oder Spalte der Vierfeldertafel als Bedingung ab und teilt die gemeinsame Häufigkeit von A und B durch die Randsumme der Bedingung B. Dieses Vorgehen entspricht genau der Formel P(A gegeben B) = P(A und B) durch P(B).
- Was ist der Unterschied zwischen P(A gegeben B) und P(B gegeben A)?
- P(A gegeben B) betrachtet die Wahrscheinlichkeit von A innerhalb aller Fälle, in denen B eingetreten ist, und teilt dabei durch P(B). P(B gegeben A) betrachtet umgekehrt B innerhalb aller Fälle von A und teilt durch P(A). Beide Werte sind in der Regel unterschiedlich groß.
- Wie prüft man, ob zwei Ereignisse unabhängig sind?
- Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A gegeben B) genau der gewöhnlichen Wahrscheinlichkeit P(A) entspricht. Ist das der Fall, verändert das Wissen über B die Wahrscheinlichkeit von A nicht.
- Was bedeutet das Wort gegeben in P(A gegeben B)?
- Das Wort gegeben zeigt an, dass B bereits als eingetreten vorausgesetzt wird und die Betrachtung auf diesen Fall eingeschränkt ist. In der Formel steht deshalb immer P(B) im Nenner, weil B die bekannte Bedingung ist, unter der die Wahrscheinlichkeit von A gesucht wird.
- In welcher Klasse wird bedingte Wahrscheinlichkeit unterrichtet?
- Bedingte Wahrscheinlichkeit wird meist in Klasse 10 im Rahmen der Stochastik behandelt, aufbauend auf Vierfeldertafeln und Baumdiagrammen. Sie bildet eine wichtige Grundlage für spätere Themen wie den Satz von Bayes und Hypothesentests in der Oberstufe.
- Wie hängen bedingte Wahrscheinlichkeit und Baumdiagramme zusammen?
- In einem mehrstufigen Baumdiagramm entsprechen die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen der zweiten Stufe genau den bedingten Wahrscheinlichkeiten unter der Bedingung des jeweils vorherigen Astes. Die Pfadregel zur Berechnung von P(A und B) nutzt diese bedingten Wahrscheinlichkeiten direkt.
- Kann eine bedingte Wahrscheinlichkeit größer sein als die gewöhnliche Wahrscheinlichkeit?
- Ja, das ist sogar häufig der Fall. Wenn das Ereignis B positiv mit A zusammenhängt, kann P(A gegeben B) deutlich größer als P(A) sein, wie im Beispiel mit bewölktem Himmel und Regenwahrscheinlichkeit, bei dem die Bewölkung die Regenwahrscheinlichkeit erhöht.
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