Umfangswinkelsatz und Mittelpunktswinkel am Kreis
Der Umfangswinkelsatz sagt, dass alle Umfangswinkel über derselben Sehne gleich groß sind und der Mittelpunktswinkel doppelt so groß ist. In dieser Lektion rechnest du zwei Beispiele vor, wendest den Satz auf das Sehnenviereck an und erfährst, wie er mit dem Satz des Thales zusammenhängt und welche Fehler typisch sind.
- Fach: Mathematik
- Klasse 9
- Thema: Geometrie
- Dauer: 18 Min
- Niveau: Mittel
Umfangswinkelsatz: Winkel am Kreis verstehen
Der Umfangswinkelsatz besagt, dass alle Umfangswinkel über derselben Sehne gleich groß sind, wenn ihre Scheitelpunkte auf demselben Kreisbogen liegen. Außerdem ist der Mittelpunktswinkel über dieser Sehne immer doppelt so groß wie jeder dieser Umfangswinkel. Mit diesen zwei Aussagen löst du die meisten Winkelaufgaben am Kreis.
Ein Umfangswinkel entsteht, wenn du von einem Punkt C auf dem Kreis zu zwei anderen Punkten A und B auf dem Kreis gehst. Die Strecke AB ist eine Sehne des Kreises. Der Winkel bei C zwischen CA und CB heißt Umfangswinkel, manchmal auch Peripheriewinkel. Der Mittelpunktswinkel liegt dagegen im Kreismittelpunkt M und wird von den Radien MA und MB gebildet.
Das Überraschende am Satz ist: Egal, wo auf dem Bogen du den Punkt C wählst, der Winkel bleibt gleich groß. Du kannst C auf dem Kreisbogen hin und her schieben, und der Winkel ändert sich nicht. Das macht den Satz für Konstruktionen und für Beweise so wertvoll. Der Satz des Thales ist ein Sonderfall, bei dem die Sehne ein Durchmesser ist.
| Winkel | Scheitelpunkt | Gebildet aus |
|---|---|---|
| Mittelpunktswinkel | Kreismittelpunkt M | den Radien MA und MB |
| Umfangswinkel | Punkt C auf dem Kreis | den Sehnen CA und CB |
| Sehnen-Tangenten-Winkel | Punkt A auf dem Kreis | Tangente und Sehne AB |
Umfangswinkelsatz: Mittelpunktswinkel gleich zwei mal Umfangswinkel
Der Zusammenhang lässt sich in einer kurzen Formel schreiben: Der Mittelpunktswinkel M ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel U über derselben Sehne, also M = 2 · U. Hast du einen der beiden Winkel, kannst du den anderen sofort ausrechnen. Aus einem Umfangswinkel von 35° wird ein Mittelpunktswinkel von 70°, aus 124° im Mittelpunkt werden 62° am Umfang.
Der Satz gilt für alle Umfangswinkel auf demselben Bogen. Liegt der Punkt C aber auf dem anderen Bogen, also gegenüber, dann ergänzen sich die beiden Umfangswinkel zu 180°. Der Umfangswinkel auf dem Gegenbogen beträgt deshalb 180° minus den Winkel auf dem ersten Bogen. Schau also immer genau hin, auf welcher Seite der Sehne der Punkt liegt.
Beim Satz des Thales ist die Sehne ein Durchmesser, der Mittelpunktswinkel ist 180°, und der Umfangswinkel ist deshalb genau 90°. Beim Sehnenviereck, bei dem alle vier Ecken auf dem Kreis liegen, ergänzen sich gegenüberliegende Winkel zu 180°. Beides folgt direkt aus dem Umfangswinkelsatz und wird oft in Klassenarbeiten verlangt.
- M
- Mittelpunktswinkel über der Sehne
- U
- Umfangswinkel über derselben Sehne
Beispiel 1: Umfangswinkelsatz mit Mittelpunktswinkel
Auf einem Kreis mit Mittelpunkt M liegen die Punkte A, B und C. Der Umfangswinkel bei C über der Sehne AB beträgt 35°. Berechne den Mittelpunktswinkel und die Basiswinkel im Dreieck ABM.
Gegeben:
- Umfangswinkel bei C: 35°
- M liegt auf derselben Seite wie C
Gesucht:
Mittelpunktswinkel und BasiswinkelLösung:
- Mittelpunktswinkel: M2 · 35°70°.
- Das Dreieck ABM ist gleichschenklig, denn MA und MB sind beides Radien.
- Die beiden Basiswinkel sind gleich groß: (180° − 70°) : 2 = 110° : 2 = 55°.
- Probe: 70° + 55° + 55°180°.
Der Mittelpunktswinkel beträgt 70°, die beiden Basiswinkel im Dreieck ABM sind je 55°. Jeder andere Punkt auf demselben Bogen sieht die Sehne AB ebenfalls unter 35°.
Beispiel 2: Sehnenviereck mit Umfangswinkelsatz
Ein Viereck ABCD liegt mit allen Ecken auf einem Kreis. Es gilt α = 80° bei A und β = 105° bei B. Berechne γ bei C und δ bei D.
Gegeben:
- α80° bei A
- β105° bei B
Gesucht:
γ und δLösung:
- Im Sehnenviereck ergänzen sich gegenüberliegende Winkel zu 180°. A liegt C gegenüber, B liegt D gegenüber.
- γ180° − α180° − 80°100°.
- δ180° − β180° − 105°75°.
- Probe: Die Winkelsumme im Viereck ist 80° + 105° + 100° + 75° = 360°.
Es gilt γ = 100° und δ = 75°. Dass sich die gegenüberliegenden Winkel ergänzen, folgt aus dem Umfangswinkelsatz: Die beiden Winkel liegen auf entgegengesetzten Bögen über derselben Diagonale.
| Ecke | Winkel | Gegenüber | Summe |
|---|---|---|---|
| A | 80° | C mit 100° | 180° |
| B | 105° | D mit 75° | 180° |
Typische Fehler beim Umfangswinkelsatz
Der häufigste Fehler ist, die Winkel zu verwechseln. Viele nehmen den Umfangswinkel als doppelt so groß wie den Mittelpunktswinkel, dabei ist es genau umgekehrt: Der Mittelpunktswinkel ist immer der größere. Frage dich also vor jeder Rechnung, welcher der beiden Winkel gesucht ist.
Der zweite Fehler ist, die Seite der Sehne zu übersehen. Der Satz gilt nur für Punkte auf demselben Bogen. Liegt ein Punkt auf dem anderen Bogen, hat der Winkel einen anderen Wert, nämlich 180° minus den ersten. Zeichne zur Sicherheit immer eine Skizze und markiere die Bögen.
Der dritte Fehler ist, das gleichschenklige Dreieck nicht zu erkennen. Im Dreieck ABM sind MA und MB Radien und damit gleich lang. Das ist der Schlüssel, um mit dem Mittelpunktswinkel auch die anderen Winkel auszurechnen. Wer das übersieht, kommt oft nicht weiter, obwohl die Aufgabe leicht wäre.
Umfangswinkelsatz in der Klassenarbeit und im Alltag
In Klassenarbeiten kommt der Umfangswinkelsatz in zwei typischen Formen vor. Entweder ist ein Winkel gegeben und du sollst die übrigen Winkel einer Figur mit Kreis bestimmen. Oder du sollst begründen, dass zwei Winkel gleich groß sind. Dann reicht der Hinweis: Beide sind Umfangswinkel über derselben Sehne auf demselben Bogen.
Als Strategie für Aufgaben mit Kreis zeichnest du immer zuerst die Sehnen, dann den Mittelpunkt und die Radien. Radien bilden gleichschenklige Dreiecke, und die geben dir viele Winkel kostenlos. Danach wendest du den Umfangswinkelsatz an, den Satz des Thales oder die Regel für das Sehnenviereck. Am Ende prüfst du mit der Winkelsumme im Dreieck.
Im Alltag begegnet dir der Satz zum Beispiel in der Navigation. Beim Segeln peilt man zwei Leuchttürme an und misst den Winkel zwischen beiden. Dieser Winkel bleibt auf einem Kreisbogen konstant, deshalb lässt sich der eigene Standort auf der Seekarte zunächst als Kreisbogen einzeichnen.
Jetzt bist du dran!
Der Mittelpunktswinkel über einer Sehne beträgt 90°. Wie groß ist der Umfangswinkel auf dem passenden Bogen?
Noch nicht. Der Umfangswinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel. Aus 90° im Mittelpunkt werden also 45° am Kreisrand.
Das Wichtigste in Kürze
- Umfangswinkel über derselben Sehne auf demselben Bogen sind gleich groß.
- Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel über derselben Sehne: M = 2 · U.
- Über einem Durchmesser beträgt der Umfangswinkel 90°, das ist der Satz des Thales.
- Im Sehnenviereck ergänzen sich gegenüberliegende Winkel zu 180°.
- Typischer Fehler: Winkel verwechseln oder den Gegenbogen übersehen, dort gilt 180° minus Winkel.
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Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Umfangswinkelsatz und Mittelpunktswinkel am Kreis
- Was besagt der Umfangswinkelsatz?
- Der Umfangswinkelsatz besagt, dass alle Umfangswinkel über derselben Sehne gleich groß sind, wenn ihre Scheitelpunkte auf demselben Kreisbogen liegen. Der Mittelpunktswinkel über dieser Sehne ist doppelt so groß wie jeder dieser Umfangswinkel.
- Was ist ein Umfangswinkel?
- Ein Umfangswinkel ist ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf dem Kreis liegt und dessen Schenkel Sehnen des Kreises sind. Er wird auch Peripheriewinkel genannt. Im Gegensatz dazu liegt der Scheitelpunkt des Mittelpunktswinkels im Kreismittelpunkt.
- Wie hängen Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel zusammen?
- Der Mittelpunktswinkel ist immer doppelt so groß wie der zugehörige Umfangswinkel, wenn beide über derselben Sehne stehen. Aus 70° im Mittelpunkt werden 35° am Kreisrand, aus 124° werden 62°.
- Was ist der Unterschied zwischen Umfangswinkelsatz und Satz des Thales?
- Der Satz des Thales ist ein Sonderfall des Umfangswinkelsatzes. Er gilt, wenn die Sehne ein Durchmesser ist. Dann ist der Mittelpunktswinkel 180° und jeder Umfangswinkel darüber genau 90°.
- Was gilt für Winkel auf dem Gegenbogen?
- Liegt der Punkt auf dem anderen Bogen über der Sehne, ergänzen sich die beiden Umfangswinkel zu 180°. Bei 35° auf einer Seite sind es auf der anderen Seite 145°. Darauf beruht auch die Regel für das Sehnenviereck.
- Was ist ein Sehnenviereck und welche Winkel hat es?
- Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, dessen vier Ecken alle auf einem Kreis liegen. Gegenüberliegende Winkel ergänzen sich zu 180°. Sind zwei benachbarte Winkel bekannt, kannst du alle übrigen sofort berechnen.
- Wie beweise ich den Umfangswinkelsatz?
- Man zerlegt die Figur in gleichschenklige Dreiecke mit den Radien als Schenkeln. Die Basiswinkel dieser Dreiecke und die Winkelsumme führen dann auf die Aussage, dass der Mittelpunktswinkel doppelt so groß ist wie der Umfangswinkel.
- In welcher Klasse lernt man den Umfangswinkelsatz?
- Der Umfangswinkelsatz wird meist in Klasse 9 oder 10 behandelt, nachdem du den Satz des Thales und die Winkelsätze kennengelernt hast. Er gehört zum Standardstoff der Kreisgeometrie.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.