Flächeninhalt von Dreieck, Parallelogramm und Trapez
In dieser Lektion lernst du, wie du die Flächen von Dreieck, Parallelogramm und Trapez berechnest. Du siehst, dass alle drei Formeln aus dem Rechteck entstehen, und kannst sie sicher anwenden.
- Fach: Mathematik
- Klasse 6
- Thema: Geometrie
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Alles lässt sich auf das Rechteck zurückführen
Die Fläche eines Rechtecks kennst du schon: Länge mal Breite. Ein Parallelogramm ist ein schiefes Rechteck. Schneidest du auf einer Seite ein Dreieck ab und setzt es auf der anderen Seite wieder an, entsteht ein Rechteck mit derselben Grundseite g und derselben Höhe h. Beim Umlegen geht keine Fläche verloren und keine kommt hinzu. Deshalb gilt auch beim Parallelogramm: A = g · h. Du musst dir die Formel also nicht neu merken, sondern nur verstehen, woher sie kommt.
Ein Dreieck ist genau ein halbes Parallelogramm. Nimmst du zwei gleiche Dreiecke, drehst eines um und legst sie passend aneinander, ergibt sich ein Parallelogramm mit derselben Grundseite und Höhe. Darum ist die Dreiecksfläche g · h geteilt durch 2. Das gilt für jedes Dreieck, egal ob spitz, rechtwinklig oder stumpf. Beim rechtwinkligen Dreieck ist es besonders einfach: Die beiden Seiten am rechten Winkel sind zugleich Grundseite und Höhe.
Beim Trapez mit den parallelen Seiten a und c bildest du den Mittelwert der beiden Seiten und multiplizierst ihn mit der Höhe. Auch das lässt sich zeigen: Legst du zwei gleiche Trapeze verdreht aneinander, entsteht ein Parallelogramm mit der Grundseite a + c. Das Trapez ist die Hälfte davon. Solche Flächen begegnen dir bei Dachgiebeln, Grundstücken, Beeten oder dem Querschnitt eines Wassergrabens.
Ein typischer Fehler: Statt der Höhe wird die schräge Seite eingesetzt. Die Höhe steht aber immer senkrecht auf der Grundseite, sie ist der kürzeste Abstand zwischen Grundseite und gegenüberliegender Ecke oder Seite. Die schräge Seite ist fast immer länger als die Höhe, das Ergebnis wird dann zu groß. Beim stumpfwinkligen Dreieck kann die Höhe sogar außerhalb liegen, dann verlängerst du die Grundseite und misst senkrecht dazu.
Die Fläche des Dreiecks
Grundseite mal Höhe, geteilt durch 2. Die Teilung durch 2 kommt daher, dass das Dreieck genau die Hälfte eines Parallelogramms mit gleicher Grundseite und Höhe ist. Jede der drei Seiten kann Grundseite sein, du brauchst nur die passende Höhe dazu, die senkrecht auf genau dieser Seite steht.
Parallelogramm: A = g · h. Trapez: A = (a + c) : 2 · h. Achte darauf, dass alle Längen dieselbe Einheit haben, bevor du multiplizierst. Rechnest du mit cm, erhältst du cm², bei m erhältst du m². Sind die Maße gemischt, etwa 50 cm und 2 m, rechnest du vorher um.
- A
- Flächeninhalt
- g
- Grundseite
- h
- Höhe, senkrecht zur Grundseite
| Figur | Formel | Herleitung |
|---|---|---|
| Parallelogramm | A = g · h | schiefes Rechteck, Dreieck umgesetzt |
| Dreieck | A = g · h : 2 | halbes Parallelogramm |
| Trapez | A = (a + c) : 2 · h | Mittelwert der parallelen Seiten mal Höhe |
Beispiel 1: Ein trapezförmiges Beet
Ein Beet hat die Form eines Trapezes. Die parallelen Seiten sind 6 m und 4 m lang, die Höhe beträgt 3 m. Wie groß ist die Fläche?
Gegeben:
- a6 m
- c4 m
- h3 m
Gesucht:
ALösung:
- Figur erkennen: Zwei Seiten sind parallel, also gilt die Trapezformel.
- Mittelwert der parallelen Seiten: (6 m + 4 m) : 2 = 5 m
- Mit der Höhe multiplizieren: A = 5 m · 3 m
- A15 m²
- Überschlag: Ein Rechteck von 6 m mal 3 m hätte 18 m², eines von 4 m mal 3 m hätte 12 m².
Das Beet ist 15 m² groß. Das Ergebnis liegt genau zwischen den beiden Rechtecken aus dem Überschlag, und das muss so sein: Das Trapez ist breiter als das kleine und schmaler als das große Rechteck. Die Einheit m² entsteht, weil Meter mal Meter gerechnet wird.
Beispiel 2: Ein dreieckiger Dachgiebel
Ein Dachgiebel hat die Form eines Dreiecks. Die Grundseite ist 9 m breit, die Höhe beträgt 2,5 m. Wie groß ist die Fläche, die verputzt werden muss?
Gegeben:
- g9 m
- h2,5 m
Gesucht:
ALösung:
- Figur erkennen: Ein Dreieck, also gilt A = g · h : 2.
- Werte einsetzen: A9 m · 2,5 m : 2
- Zuerst multiplizieren: 9 m · 2,5 m22,5 m²
- Dann durch 2 teilen: 22,5 m² : 211,25 m²
Der Dachgiebel hat eine Fläche von 11,25 m². Zur Kontrolle: Das passende Parallelogramm mit derselben Grundseite und Höhe hätte 22,5 m², das Dreieck ist genau die Hälfte davon, wie es die Formel verlangt.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler ist, statt der Höhe eine schräge Seitenlänge einzusetzen. Bei einem Parallelogramm mit schräger Seite 5 cm und Höhe 4 cm gehört in die Formel die 4, nicht die 5. Die schräge Seite ist zwar auch eine reale Länge der Figur, aber sie steht nicht senkrecht zur Grundseite und liefert deshalb ein falsches Ergebnis.
Ein zweiter Fehler tritt beim Dreieck auf: Manche vergessen die Teilung durch 2 und geben die Fläche des dazugehörigen Parallelogramms als Dreiecksfläche an. Das Ergebnis ist dann genau doppelt so groß wie richtig. Kontrolliere dein Ergebnis deshalb immer mit der Überlegung, ob ein halbiertes Parallelogramm plausibel erscheint.
Ein dritter Fehler ist das Rechnen mit gemischten Einheiten, etwa Grundseite in Metern und Höhe in Zentimetern. Werden 6 m und 250 cm direkt multipliziert, kommt ein falscher Zahlenwert heraus. Rechne zuerst beide Längen in dieselbe Einheit um, erst dann multiplizierst du.
Alltagsbezug: Wo dir diese Flächen begegnen
Dreiecks-, Parallelogramm- und Trapezflächen stecken in vielen Alltagsgegenständen. Ein Dachgiebel ist meist dreieckig, ein schräg zugeschnittenes Grundstück oft trapezförmig, und die Fläche einer schräg gestellten Fensterscheibe oder eines Straßenschilds mit Rautenform ist ein Parallelogramm. Wer weiß, wie groß eine Fläche ist, kann berechnen, wie viel Farbe, Fliesen oder Rasen benötigt werden.
Auch beim Handwerk wird ständig mit diesen Formeln gerechnet: Ein Dachdecker berechnet die Dachfläche, um die Menge an Ziegeln zu bestimmen, ein Gärtner die Beetfläche für die richtige Menge Erde oder Samen. Diese Berechnungen sind nichts anderes als die Aufgaben, die du in dieser Lektion übst, nur mit größeren und manchmal krummen Zahlen.
Jetzt bist du dran!
Ein Dreieck hat die Grundseite 8 cm und die Höhe 5 cm. Berechne den Flächeninhalt.
Das Wichtigste in Kürze
- Parallelogramm: A = g · h.
- Dreieck: A = g · h : 2 – ein halbes Parallelogramm.
- Trapez: Mittelwert der parallelen Seiten mal Höhe.
- Die Höhe steht immer senkrecht auf der Grundseite – nie die schräge Seite einsetzen.
- Flächen haben Quadrateinheiten wie cm² oder m².
Lektion abschließen
Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Flächeninhalt von Dreieck, Parallelogramm und Trapez
- Wie berechne ich die Fläche eines Dreiecks?
- Multipliziere eine Seite mit der Höhe, die senkrecht auf dieser Seite steht, und teile das Ergebnis durch 2. Bei g = 6 cm und h = 4 cm ist A = 6 cm · 4 cm : 2 = 12 cm². Beim rechtwinkligen Dreieck nimmst du einfach die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, denn sie stehen bereits senkrecht aufeinander.
- Warum teilt man beim Dreieck durch 2?
- Weil zwei gleiche Dreiecke zusammen ein Parallelogramm ergeben. Das Parallelogramm hat die Fläche g · h, jedes der beiden Dreiecke also genau die Hälfte. Du kannst das selbst ausprobieren: Schneide zwei gleiche Dreiecke aus Papier aus, drehe eines und lege sie an der längsten Seite aneinander.
- Wie finde ich die Höhe in einem Dreieck oder Parallelogramm?
- Die Höhe ist die Strecke, die senkrecht auf der Grundseite steht und bis zur gegenüberliegenden Ecke oder Seite reicht. Du zeichnest sie mit dem Geodreieck, indem du die Mittellinie auf die Grundseite legst und an der Kante entlang zur Ecke ziehst. Bei stumpfen Dreiecken liegt sie manchmal außerhalb der Figur.
- Wie berechne ich die Fläche eines Trapezes?
- Addiere die beiden parallelen Seiten, teile durch 2 und multipliziere mit der Höhe: A = (a + c) : 2 · h. Bei a = 8 m, c = 4 m und h = 5 m ergibt das 6 m · 5 m = 30 m². Die beiden schrägen Seiten brauchst du dafür nicht, sie spielen nur für den Umfang eine Rolle.
- Was ist der Unterschied zwischen Umfang und Flächeninhalt?
- Der Umfang ist die Länge des Randes, also die Summe aller Seiten, und wird in cm oder m angegeben. Der Flächeninhalt misst, wie viel Fläche die Figur bedeckt, und hat die Einheit cm² oder m². Für den Zaun um ein Beet brauchst du den Umfang, für die Menge an Blumenerde die Fläche.
- Kann ich bei einem Dreieck jede Seite als Grundseite nehmen?
- Ja, jede der drei Seiten kann Grundseite sein, solange du die passende Höhe verwendest, die senkrecht auf genau dieser Seite steht. Das Ergebnis für die Fläche ist bei allen drei Varianten gleich, weil es sich um dieselbe Figur handelt. In Aufgaben wählt man meist die Seite, zu der die Höhe schon eingezeichnet oder am leichtesten zu bestimmen ist.
- Wie berechne ich die Fläche eines Parallelogramms ohne Höhe?
- Ist nur die schräge Seite und ein Winkel bekannt, brauchst du zunächst Trigonometrie, um die Höhe zu berechnen, das kommt aber erst in höheren Klassen dran. In der Regel gibt eine Aufgabe der Klasse 6 die Höhe direkt an oder du kannst sie mit dem Geodreieck aus einer Zeichnung ablesen. Ohne Höhe lässt sich die Fläche mit der Grundformel A = g · h nicht bestimmen.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.