Das Prisma: Oberfläche und Volumen
In dieser Lektion lernst du, was ein Prisma ist und wie du sein Volumen und seine Oberfläche berechnest. Du erkennst Prismen im Alltag und weißt, welche Flächen du zusammenzählen musst.
- Fach: Mathematik
- Klasse 8
- Thema: Geometrie
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Eine Fläche, die in die Höhe geschoben wird
Ein Prisma entsteht, wenn du ein Vieleck gerade nach oben verschiebst. Unten liegt die Grundfläche, oben die gleich große und parallele Deckfläche. Die Seiten dazwischen sind Rechtecke und bilden zusammen den Mantel. Ein Quader ist ein Prisma mit rechteckiger Grundfläche, ein Zeltdach oder ein Schokoriegel in Dreiecksform ist ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche. Auch ein Bleistift mit sechseckigem Querschnitt ist ein Prisma.
Woran erkennst du ein Prisma? Schneidest du es parallel zur Grundfläche durch, ist jede Schnittfläche genau so groß und so geformt wie die Grundfläche. Bei einer Pyramide ist das nicht so, dort werden die Schnitte nach oben immer kleiner. Ein Prisma kann übrigens auch liegen: Das Dachprisma eines Hauses steht auf einer Rechteckseite, seine Grundfläche ist aber das Dreieck an der Giebelseite.
Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe. Das kannst du dir wie einen Stapel dünner Scheiben vorstellen, die alle genau so groß sind wie die Grundfläche. Je höher der Stapel, desto mehr Volumen. Für die Oberfläche zählst du Grund- und Deckfläche sowie den Mantel zusammen. Der Mantel ist abgewickelt ein großes Rechteck: Seine Breite ist der Umfang der Grundfläche, seine Höhe die Prismenhöhe.
Ein typischer Fehler: Die Höhe des Prismas wird mit der Höhe der dreieckigen Grundfläche verwechselt. Das sind zwei verschiedene Strecken. Die Höhe des Dreiecks brauchst du nur, um die Grundfläche G auszurechnen. Die Höhe des Prismas ist der Abstand zwischen Grund- und Deckfläche. Beschrifte deshalb in einer Skizze beide Höhen deutlich unterschiedlich, etwa als Dreieckshöhe und Prismenhöhe.
Das Volumen des Prismas
Das Volumen ist Grundfläche mal Körperhöhe. Die Formel gilt für jedes gerade Prisma, egal ob die Grundfläche ein Dreieck, ein Trapez oder ein Sechseck ist. Du musst nur wissen, wie du die Fläche dieses Vielecks berechnest. Beim Quader wird daraus die bekannte Formel Länge mal Breite mal Höhe.
Für die Oberfläche gilt O = 2 · G + M, der Mantel ist M = u · h. Der Faktor 2 steht da, weil Grund- und Deckfläche gleich groß sind. Achte bei den Einheiten auf den Unterschied: Volumen in cm³, Oberfläche und Mantel in cm².
- V
- Volumen des Prismas
- G
- Grundfläche
- h
- Höhe des Prismas
- u
- Umfang der Grundfläche, für den Mantel M = u · h
| Grundfläche | Formel für G |
|---|---|
| Rechteck | G = a · b |
| Dreieck | G = g · h / 2 |
| Trapez | G = (a + c)/2 · h |
Beispiel 1: Ein dreieckiges Prisma
Die Grundfläche eines Prismas ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten 3 cm, 4 cm und 5 cm. Das Prisma ist 10 cm hoch. Berechne Volumen und Oberfläche.
Gegeben:
- Dreieck: 3 cm, 4 cm, 5 cm (rechter Winkel zwischen 3 cm und 4 cm)
- h10 cm
Gesucht:
V und OLösung:
- Grundfläche: Die beiden Seiten am rechten Winkel sind Grundseite und Höhe des Dreiecks.
- G3 · 42 cm²6 cm²
- Volumen: VG · h6 cm² · 10 cm60 cm³
- Umfang der Grundfläche: u3 cm + 4 cm + 5 cm12 cm
- Mantel: Mu · h12 cm · 10 cm120 cm²
- Oberfläche: O2 · 6 cm² + 120 cm²132 cm²
Das Prisma hat ein Volumen von 60 cm³ und eine Oberfläche von 132 cm². Für die Grundfläche wurden nur die beiden Seiten am rechten Winkel gebraucht, für den Umfang alle drei. Die Prismenhöhe von 10 cm taucht erst beim Volumen und beim Mantel auf.
Beispiel 2: Prisma oder Pyramide unterscheiden
Ein Zeltdach hat die Form eines Dreiecksprismas mit 2 m Grundseite, 1,5 m Dreieckshöhe und 4 m Länge. Ein Kirchturmdach daneben läuft dagegen spitz zu. Welcher Körper ist welcher, und wie unterscheiden sich die Volumenformeln?
Gegeben:
- Zeltdach: Dreiecksprisma, G2 · 1,521,5 m², Länge 4 m
- Kirchturmdach: Pyramide, läuft spitz zu
Gesucht:
Zuordnung und VolumenvergleichLösung:
- Das Zeltdach hat vorne und hinten dasselbe Dreieck, es ist also ein Prisma.
- Volumen Zeltdach: VG · h1,5 m² · 4 m6 m³
- Das Kirchturmdach läuft nach oben spitz zusammen, das ist das Kennzeichen einer Pyramide.
- Bei gleicher Grundfläche und Höhe hätte die Pyramide nur ein Drittel des Volumens: V = G · h/3
Das Zeltdach ist ein Prisma mit 6 m³ Volumen. Ein Kirchturmdach mit denselben Maßen wäre eine Pyramide und hätte nur 2 m³ Volumen, weil die Fläche nach oben immer kleiner wird. Der Unterschied zeigt, wie wichtig es ist, zuerst die Form richtig zu erkennen, bevor du eine Formel anwendest.
Typische Fehler
Neben der Verwechslung von Dreieckshöhe und Prismenhöhe wird häufig vergessen, dass die Oberfläche zwei gleich große Flächen für Boden und Deckel braucht. Bei O = 2 · G + M darf der Faktor 2 nicht weggelassen werden, sonst fehlt eine ganze Fläche.
Ein weiterer Fehler ist, beim Mantel nicht alle Seiten der Grundfläche in den Umfang einzurechnen. Bei einem Dreieck mit drei unterschiedlich langen Seiten müssen wirklich alle drei addiert werden, nicht nur die beiden am rechten Winkel.
Auch das Verwechseln von Volumen- und Oberflächeneinheiten kommt oft vor. Ein Volumen wird immer in einer Kubikeinheit wie cm³ angegeben, eine Fläche wie Mantel oder Oberfläche dagegen in einer Quadrateinheit wie cm².
Alltagsbezug
Prismen begegnen dir überall: Ein Tetra-Pak für Milch, ein Schokoriegel mit dreieckigem Querschnitt, ein Zeltdach oder ein Bleistift mit sechseckigem Querschnitt sind alles Prismen. Auch viele Aquarien und Regentonnen mit rechteckigem oder trapezförmigem Querschnitt lassen sich mit der Prismenformel berechnen.
Wenn du das Fassungsvermögen einer Verpackung oder eines Behälters berechnen willst, brauchst du meist genau das Volumen eines Prismas. Möchtest du wissen, wie viel Material für die Verpackung selbst gebraucht wird, etwa Karton oder Blech, rechnest du stattdessen mit der Oberfläche.
Jetzt bist du dran!
Ein Prisma hat eine Grundfläche von 12 cm² und ist 7 cm hoch. Berechne das Volumen.
Das Wichtigste in Kürze
- Ein Prisma hat zwei gleiche, parallele Grundflächen und Rechtecke als Seiten.
- Volumen: V = G · h.
- Mantel: M = u · h, Oberfläche: O = 2 · G + M.
- Dreieckshöhe und Prismenhöhe nicht verwechseln.
- Volumen in cm³, Oberfläche in cm².
- Läuft die Fläche nach oben spitz zu, ist es eine Pyramide, kein Prisma.
Lektion abschließen
Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Das Prisma: Oberfläche und Volumen
- Wie berechne ich das Volumen eines Prismas?
- Du berechnest zuerst die Grundfläche G mit der passenden Flächenformel, zum Beispiel g · h/2 für ein Dreieck oder (a + c)/2 · h für ein Trapez. Dann multiplizierst du G mit der Höhe des Prismas: V = G · h. Bei einer Grundfläche von 15 cm² und einer Höhe von 8 cm ergibt sich ein Volumen von 120 cm³.
- Was ist der Unterschied zwischen Mantel und Oberfläche?
- Der Mantel umfasst nur die rechteckigen Seitenflächen, also alles außer Boden und Deckel. Die Oberfläche ist die gesamte Außenfläche des Körpers: Mantel plus Grundfläche plus Deckfläche. Beim Etikett einer Dose oder der Wandfläche eines Raums ohne Boden und Decke brauchst du nur den Mantel, für die Verpackung eines ganzen Körpers die Oberfläche.
- Ist ein Zylinder auch ein Prisma?
- Streng genommen nicht, weil ein Prisma ein Vieleck als Grundfläche hat und ein Zylinder einen Kreis. Die Berechnung funktioniert aber genauso: Volumen ist Grundfläche mal Höhe, der Mantel ist Umfang mal Höhe. Deshalb lernst du den Zylinder meist direkt nach dem Prisma, und die Formeln V = π · r² · h und M = 2 · π · r · h ergeben sich daraus.
- Wie rechne ich cm³ in Liter um?
- Ein Liter entspricht genau einem Kubikdezimeter, also 1000 cm³. Du teilst das Volumen in cm³ deshalb durch 1000. Ein Prisma mit 2500 cm³ fasst 2,5 Liter. Umgekehrt entspricht ein Milliliter einem Kubikzentimeter. Bei Aufgaben zu Aquarien, Trögen oder Verpackungen wird das Ergebnis oft in Litern verlangt, achte also auf die Frage.
- In welcher Klasse lernt man das Prisma?
- Würfel und Quader lernst du meist in Klasse 5 oder 6. Allgemeine Prismen mit Dreiecks- oder Trapezgrundfläche kommen in den meisten Bundesländern in Klasse 7 oder 8 dazu, oft zusammen mit Schrägbildern und Körpernetzen. Danach folgen Zylinder, Pyramide und Kegel, bei denen du dieselben Grundideen von Grundfläche, Mantel und Höhe wieder brauchst.
- Wie erkenne ich die Grundfläche eines liegenden Prismas?
- Die Grundfläche ist immer die Fläche, die beim Verschieben entsteht, nicht unbedingt die Fläche, auf der der Körper gerade steht. Bei einem liegenden Dreiecksprisma, etwa einem Zeltdach, ist die Grundfläche das Dreieck an der Giebelseite, auch wenn das Prisma auf einer rechteckigen Seite liegt. Suche also die Fläche, die sich in gleicher Form und Größe durch den ganzen Körper zieht.
- Kann die Grundfläche eines Prismas ein beliebiges Vieleck sein?
- Ja, die Grundfläche kann jedes ebene Vieleck sein: ein Dreieck, ein Viereck, ein Fünfeck oder ein Sechseck. Entscheidend ist nur, dass du die Fläche dieses Vielecks berechnen kannst. Die Formel V = G · h gilt unabhängig von der Form der Grundfläche, solange das Prisma gerade ist, also die Seitenflächen im rechten Winkel zur Grundfläche stehen.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.